河北省滄州市部分學校2023-2024學年高一上學期月考數學試題（解析版）

PAGEPAGE1河北省滄州市部分學校2023-2024學年高一上學期月考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知得，又，所以．故選：A．2.函數的定義域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，易得．故選：C．3.下列表示同一個函數的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】C【解析】對于A，的定義域為R，的定義域為，定義域不同，不是同一個函數，故A錯誤；對于B，的定義域為的定義域為R，定義域不同，不是同一個函數，故B錯誤；對于C，，這兩個函數的定義域都是，且對應法則也相同，故是同一個函數，故C正確；對于D，與的定義域和對應法則都不同，不是同一個函數，故D錯誤.故選：C．4.已知冪函數的圖像過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】為冪函數，設，依題意，解得，所以，則．故選：B．5.已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知，，，所以，故．故選：A．6.用二分法研究函數的零點時，第一次計算，得，，第二次應計算，則等于（）A.1 B. C.0.25 D.0.75【答案】C【解析】因為，，所以在內存在零點，根據二分法第二次應該計算，其中.故選：C.7.若存在正實數x，y滿足于，且使不等式有解，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，且，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，即，解得或，所以m的取值范圍是．故選：D．8.已知函數，若對任意的正數，恒有，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，在上單調遞增；當時，易知函數在上單調遞增，且，即函數在上單調遞增，因為，，所以，即，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列函數有最小值的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A：，當且僅當，即時等號成立，故，A正確；對于B：當時，則，當且僅當，即時等號成立；當時，則，當且僅當，即時等號成立，故；∴的值域為，無最小值，B錯誤；對于C：的值域為，無最小值，C錯誤；對于D：由題意可得，解得，故的定義域為，∵在定義域內單調遞增，在定義域內單調遞增，∴在定義域內單調遞增，則，故有最小值0，D正確．故選：AD．10.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，原式，A正確；對于B，原式，B正確；對于C，原式，C錯誤；對于D，原式，D正確．故選：ABD．11.若，則函數的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由，可得：當時，∵在定義域內單調遞減，∴，此時，且在定義域內單調遞減，B成立，D錯誤；當時，∵在定義域內單調遞增，∴，此時，且在定義域內單調遞增，A錯誤，C成立．故選：BC.12.已知函數（，且），則（）A.有兩個零點 B.不可能為偶函數C.的單調遞增區(qū)間為 D.的單調遞減區(qū)間為【答案】ABD【解析】對于A，令，則或，所以或有兩個零點，A正確；對于B，的定義域為為非奇非偶函數，B正確；對于C，當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，同理當時，的單調區(qū)間與時相同，C錯誤，D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數，則____________．【答案】3【解析】，．故答案為：3.14.函數（且）的圖象恒過定點是______.【答案】【解析】當，即時，為定值，此時，故（且）的圖象恒過定點.故答案為：.15.請寫出“”一個必要不充分條件：________________________．【答案】（答案不唯一）【解析】對于，兩邊平方可得，即“”是“”的必要條件；對于，兩邊開平方可得；即“”不是“”的充分條件，所以“”是“”的必要不充分條件．故答案為：（答案不唯一）.16.歐拉函數（）的函數值等于所有不超過正整數n，且與n互質的正整數的個數，例如，，則____________．【答案】【解析】在1～中，2的倍數共有個，3的倍數共有個，6的倍數共有個，所以．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計算：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.已知集合，，R.（1）若，求實數的取值范圍；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍.解：（1）若，則，解得，即實數的取值范圍.（2）由題知，，，因為“”是“”的充分不必要條件，所以集合B是集合A的真子集，即，解得，即實數a的取值范圍是.19.已知函數是定義在上的偶函數，且當時，，函數在y軸左側的圖象如圖所示．（1）求函數的解析式；（2）討論關于x的方程的根的個數．解：（1）由圖可知，解得，設，則，∵函數是定義在上的偶函數，∴，∴，∴．（2）作出函數的圖象如圖所示：，由圖可知，當時，關于x的方程的根的個數為0；當或時，關于x方程的根的個數為2；當時，關于x的方程的根的個數為4；當時，關于x的方程的根的個數為3．20.已知是R上的奇函數．（1）求b的值；（2）若不等式對恒成立，求m的取值范圍．解：（1）∵，是R上的奇函數，∴，可得，經檢驗，此時為奇函數，滿足題意，∴．（2）∵，∴在R上單調遞增，又為R上的奇函數，∴由，，∴，即恒成立，當時，不等式為不可能對恒成立，故不合題意；當時，要滿足題意，需，解得，實數m的取值范圍為．21.過去，新材料的發(fā)現主要依賴“試錯”的實驗方案或者偶然性的發(fā)現，一種新材料從研發(fā)到應用需要10～20年，已無法滿足工業(yè)快速發(fā)展對新材料的需求．隨著計算與信息技術的發(fā)展，利用計算系統(tǒng)發(fā)現新材料成為了可能．科學家們正在構建由數千種化合物組成的數據庫，用算法來預測是什么讓材料變得堅固和更輕．某科研單位在研發(fā)某種產品的過程中發(fā)現了一種新材料，由大數據測得該產品的性能指標值y與這種新材料的含量x（單位：克）的關系為；當時，y是x的指數函數；當時，y是x的二次函數．性能指標值y越大，性能越好，測得數據如下表（部分）：x（單位：克）146…y284…（1）求y關于x的函數關系式；（2）求這種新材料的含量為何值時該產品的性能達到最佳．解：（1）當時，y是x的指數函數，設（且），由數表知，滿足指數函數解析式，于是得，即當時，；易知時，，當時，y是x的二次函數，設（），顯然，，滿足二次函數解析式，即，解得，，，即當時，，所以y關于x的函數關系式．（2）當時，，則當時，y取得最大值4；當時，，則當時，y取得最大值8，而，因此當時，y取得最大值8，綜上可知，當這種新材料的含量為4克時，該產品的性能達到最佳．22.已知函數．（1）求的定義域，并證明的圖象關于點對稱；（2）若關于x的方程有解，求實數a的取值范圍．解：（1）由題設可得，解得，故的定義域為，而