山東省青島市即墨區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1山東省青島市即墨區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（）A. B. C. D.【答案】B【解析】數(shù)列，則其分母為，分子為，則其通項(xiàng)公式為.故選：B2.某學(xué)校有學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，現(xiàn)按分層抽樣從中隨機(jī)選擇200人，則其中女生為（）A.70人 B.80人 C.90人 D.100人【答案】B【解析】根據(jù)分層抽樣，女生人數(shù)為人，故選：B.3.已知在等差數(shù)列中，，則（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】由等差數(shù)列中，因?yàn)椋傻?，所以，又由，且，可?故選：C.4.一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間，設(shè)，，則（）A.與互斥 B.與相互對(duì)立C.與相互獨(dú)立 D.【答案】D【解析】依題得，，，，對(duì)A，有共同的樣本點(diǎn)2,3，所以不互斥，A錯(cuò)誤；對(duì)B，與共同的樣本點(diǎn)，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)C，，，則，則，，，則，則C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，D正確.故選：D5.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，,，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槭菙?shù)列的前項(xiàng)和，，，所以，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公比為，則，解得.故選：A.6.某同學(xué)參與了自媒體《數(shù)學(xué)的維度》欄目約稿啟事，為了估計(jì)投稿人數(shù)，隨機(jī)了解到個(gè)投稿回執(zhí)編號(hào)，從小到大依次為、、、、、，這個(gè)編號(hào)把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，可以用前個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度估計(jì)第個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得投稿人數(shù)的估計(jì)值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，前個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度分別為、、、、、，這個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度為，因此，投稿人數(shù)的估計(jì)值為.故選：C.7.天氣預(yù)報(bào)元旦假期甲地降雨的概率為，乙地降雨的概率為，假定這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互獨(dú)立，則這段時(shí)間甲乙兩地至少有一個(gè)降雨的概率為（）A.0.58 B.0.82 C.0.12 D.0.42【答案】A【解析】甲地不降雨的概率為，乙地不降雨的概率為，所以甲乙兩地都不降雨的概率為，所以甲乙兩地至少有一個(gè)降雨的概率為，故選：A8.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)取得最大值時(shí)， D.【答案】D【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以，，即，所以，，且，所以B錯(cuò)誤，D正確；因?yàn)椋缘炔顢?shù)列是遞減數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以C錯(cuò)誤.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，公比為，則（）A.將數(shù)列中的前項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列B.取出數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列C.從數(shù)列中每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列D.數(shù)列不是等比數(shù)列【答案】ABC【解析】由于數(shù)列是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，公比為，對(duì)于A：將數(shù)列中的前項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列，故A正確；對(duì)于B：取出數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列且公比為，故B正確；對(duì)于C：從數(shù)列中每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為，故C正確；對(duì)于D：數(shù)列是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，故數(shù)列仍是公比為的等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.一個(gè)盒子裝有標(biāo)號(hào)的5張標(biāo)簽，則（）A.有放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，標(biāo)號(hào)相等的概率為B.有放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，第一次標(biāo)號(hào)大于第二次的概率為C.無(wú)放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，標(biāo)號(hào)之和為5的概率為D.無(wú)放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，第一次標(biāo)號(hào)大于第二次的概率為【答案】AD【解析】對(duì)于A中，有放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，有種取法，其中標(biāo)號(hào)相等的取法有種，所以概率為，所以A正確；對(duì)于B中，有放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，，有種取法，其中第一次標(biāo)號(hào)大于第二次的取法有種，所以概率為，所以B不正確；對(duì)于C中，無(wú)放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，有種取法，其中標(biāo)號(hào)之和為5的有種取法，所以概率為，所以C不正確；對(duì)于D中，無(wú)放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，有種取法，其中第一次標(biāo)號(hào)大于第二次有種，所以概率為，所以D正確；故選：AD.11.為了解甲?乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）中各隨機(jī)抽查20個(gè)，得到如圖所示的數(shù)據(jù)圖（用頻率分布直方圖估計(jì)總體平均數(shù)時(shí)，每個(gè)區(qū)間的值均取該區(qū)間的中點(diǎn)值），關(guān)于甲?乙兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)，則（）A.甲班眾數(shù)大于乙班眾數(shù)B.乙班成績(jī)的60百分位數(shù)為125C.甲班的中位數(shù)為124D.甲班平均數(shù)大于乙班平均數(shù)估計(jì)值【答案】ABD【解析】對(duì)于A中，由數(shù)據(jù)圖，可得甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)為分，乙班數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)為分，所以甲班眾數(shù)大于乙班眾數(shù)，所以A正確；對(duì)于B中，乙班數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖，可得：前二個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，所以乙班成績(jī)的60百分位數(shù)為分，所以B正確；對(duì)于C中，根據(jù)中位數(shù)的定義，可得甲班的中位數(shù)為分，所以C不正確；對(duì)于D中，甲班的平均數(shù)為：乙班的平均估計(jì)值為：，可得，即甲班平均數(shù)大于乙班的平均數(shù)的估計(jì)值，所以D正確.故選：ABD.12.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由，可得，設(shè)，則，所以因?yàn)?，可得，解得，所以A正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以的最大值為，所以D正確；由，可得，則有，所以，即，所以C正確；由，所以B錯(cuò)誤.故選：ACD.三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.已知一個(gè)古典概型樣本空間和事件和，若，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，故答案為?14.等差數(shù)列滿(mǎn)足，則__________.【答案】【解析】等差數(shù)列滿(mǎn)足設(shè)等差數(shù)列公差為，則，故答案為：.15.某數(shù)學(xué)老師隨機(jī)抽取了10名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)：作為樣本.經(jīng)計(jì)算得：平均分，則該樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差__________.（參考公式及數(shù)據(jù)：樣本方差）【答案】10【解析】由，得，所以該樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.故答案為：1016.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則__________.【答案】【解析】對(duì)任意的，，則，當(dāng)時(shí)，則有，可得；當(dāng)時(shí)，，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，所以，，則，故當(dāng)時(shí)，，也滿(mǎn)足，故對(duì)任意的，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.某校高二年級(jí)的1000名學(xué)生參加了一次考試，考試成績(jī)?nèi)拷橛?5分到95分之間，為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況，從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的考試成績(jī)作為樣本，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求的值；（2）估算這次考試成績(jī)的平均分；（3）從這1000名學(xué)生中選10名學(xué)生，已知他們上次考試成績(jī)的平均分，標(biāo)準(zhǔn)差；記他們本次考試成績(jī)的平均分，標(biāo)準(zhǔn)差，他們的本次考試成績(jī)?nèi)绫硭?判斷他們的平均分是否顯著提高（如果，則認(rèn)為本次考試平均分較上次考試有顯著提高，否則不認(rèn)為顯著提高）.這10名同學(xué)的本次考試成績(jī)70727272747172727273解：（1）由題知：，所以（2）平均數(shù)約為（3），，則，所以，可以判斷平均分顯著提高18.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：.解：（1）由已知得，當(dāng)時(shí)，，，于是，也滿(mǎn)足，綜上，的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，記，所以，，所以，，故.19.為研究某茶品價(jià)格變化的規(guī)律，收集了該茶品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如表所示，在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同.用頻率估計(jì)概率.時(shí)段價(jià)格變化第1天到第10天-++0++0第11天到第20天+0--+-+0-+第21天到第30天0++0++0第31天到第40天0+00+-+（1）試估計(jì)該茶品價(jià)格“上漲”?“下跌”?“不變”的概率；（2）假設(shè)該茶品每天的價(jià)格變化只受前一天影響，判斷第41天該茶品價(jià)格“上漲”?“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大？解：（1）由表知：40天中價(jià)格“上漲”15天，“下跌”15天，“不變”10天該茶品價(jià)格“上漲”的概率為該茶品價(jià)格“下跌”的概率為該茶品價(jià)格“不變”的概率為（2）研究：40天中除去最后一天價(jià)格“上漲”的有14天，價(jià)格“上漲”后仍“上漲”的有4次，概率為，價(jià)格“上漲”后“下跌”的有2次，概率為，價(jià)格“上漲”后“不變”的有8次，概率為，所以第41天該茶品價(jià)格“不變”的概率估計(jì)值最大20.已知非零數(shù)列滿(mǎn)足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由題意，得，且，所以，因，所以，所以是首項(xiàng)為9，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，所?21.已知甲?乙兩人進(jìn)行臺(tái)球比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.設(shè)事件分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”.（1）若進(jìn)行三局比賽，求“甲至少勝2局”的概率；（2）若規(guī)定多得兩分的一方贏得比賽.記“甲贏得比賽”為事件，最多進(jìn)行6局比賽，求.解：（1）記“甲至少勝2局”為事件，則因?yàn)榛コ猓?，?）若比賽最多進(jìn)行6局，甲贏得比賽包括以下3種情況：比賽進(jìn)行2局甲贏得比賽，比賽進(jìn)