陜西省漢中市2024屆高三上學(xué)期第三次校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

PAGEPAGE1陜西省漢中市2024屆高三上學(xué)期第三次校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，故z的虛部為故選：2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】命題“，”的否定是：.故選：.3.已知全集，集合，，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；或，故錯(cuò)誤；，故正確，故選：.4.若，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋瘮?shù)滿足，解答或，即函數(shù)的定義域?yàn)?，排除A、B，又由，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是函數(shù)的圖像向右平移一個(gè)單位得到的，可排除C.故選：D.5.已知等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和滿足，則（）A.4 B. C. D.3【答案】A【解析】是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)為，，，.故選：A.6.若圓與圓有且僅有3條公切線，則m=（）A.14 B.28 C.9 D.【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓有且僅有3條公切線，所以兩圓外切，則，即，解得.故選：A7.等比數(shù)列為遞減數(shù)列，若，，則（）A. B. C. D.6【答案】A【解析】由為等比數(shù)列，得，又，∴為方程的兩個(gè)根，解得，或，，由為遞減數(shù)列得，∴，，∴，則，故選：A.8.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)才能駕駛?（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】設(shè)經(jīng)過個(gè)小時(shí)才能駕駛，則，即，由于在定義域上單調(diào)遞減，∴，∴他至少經(jīng)過小時(shí)才能駕駛.故選：C.9.在某校高中籃球聯(lián)賽中，某班甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在8場(chǎng)比賽中的單場(chǎng)得分用莖葉圖表示（如圖一），莖葉圖中甲的得分有部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但甲得分的折線圖（如圖二）完好，則下列結(jié)論正確的是（）A.甲得分的極差是18 B.乙得分的中位數(shù)是16.5C.甲得分更穩(wěn)定 D.甲的單場(chǎng)平均得分比乙低【答案】B【解析】對(duì)于甲，其得分的極差大于或等于，故A錯(cuò)誤；從折線圖看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分?jǐn)?shù)有3個(gè)，故其得分不穩(wěn)定，故C錯(cuò)誤；乙的數(shù)據(jù)由小到大依次為：乙得分的中位數(shù)為，故B正確.乙得分的平均數(shù)為，從折線圖上，莖葉圖中甲的得分中丟失的數(shù)據(jù)為一個(gè)為，另一個(gè)可設(shè)為，其中，故其平均數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：B.10.如下圖所示，在正方體中，如果點(diǎn)E是的中點(diǎn)，那么過點(diǎn)、B、E的截面圖形為（）A.三角形 B.矩形 C.正方形 D.菱形【答案】D【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，如圖即為過點(diǎn)、B、E截正方體所得的截面圖形，由題意可知：且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)榍遥遥郧?，所以四邊形為平行四邊形，所?所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)?，所以平行四邊形為菱形，故選：.11.設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn)，，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，在中，，得．故選．12.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，由，得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，又，所以，故，∴，則，即有，故.故選:C．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在該拋物線上，且P的橫坐標(biāo)為4，則____________．【答案】5【解析】根據(jù)題意可知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，連接，如下圖所示：由拋物線定義可得.故答案為：14.在中，，，則____________.【答案】【解析】根據(jù)題意易得為等腰直角三角形，,則，故答案為：15.根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，我國(guó)勞動(dòng)人民就普遍使用算籌進(jìn)行計(jì)數(shù)．算籌計(jì)數(shù)法就是用一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子以不同的排列方式來表示數(shù)字，如圖所示．如果用算籌隨機(jī)擺出一個(gè)不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，則個(gè)位和十位上的算籌不一樣多的概率為____________．縱式：橫式：【答案】【解析】用算籌隨機(jī)擺出一個(gè)不含數(shù)字的兩位數(shù)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，共可以擺出個(gè)兩位數(shù)，其中個(gè)位和十位上的算籌都為的有種；個(gè)位和十位上的算籌都為的有種；個(gè)位和十位上的算籌都為的有種；個(gè)位和十位上的算籌都為的有種；個(gè)位和十位上的算籌都為的有種；共有種；所以，個(gè)位和十位上算籌不一樣多的概率為種；故答案為：16.兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和為____________．【答案】【解析】設(shè)球的半徑，圓錐的底面半徑，兩個(gè)圓錐的高分別為，如下圖：因?yàn)榍虻捏w積為，所以，即，得.因?yàn)閮蓚€(gè)圓錐的高之比為，所以，，，結(jié)合球的性質(zhì)，利用勾股定理得，又，同理，，由圓錐的側(cè)面積公式得，兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和等于.故答案為：.三、解答題（一）必考題：共60分．17.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求角B；（2）若，，求的面積.解：（1）在中，由正弦定理及，得，而，則，即，又，所以.（2）由（1）知，，，由余弦定理得，即，解得，，所以的面積.18.某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量分為一等品和二等品，該企業(yè)計(jì)劃對(duì)現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取200件產(chǎn)品作為樣本，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如表：一等品二等品合計(jì)設(shè)備改造前12080200設(shè)備改造后15050200合計(jì)270130400（1）判斷是否有99%的把握，認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān)；（2）按照分層抽樣的方法，從設(shè)備改造前的產(chǎn)品中取得了5件產(chǎn)品，其中有3件一等品和2件二等品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任選3件，記所選的一等品件數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）∵，∴有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān)．（2）由題意得X的可能值是1，2，3，，，，∴X的分布列為：X123P∴．19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，，，E為PC的中點(diǎn)．（1）證明：平面PBC．（2）求直線AE與平面PBC所成角的正弦值．（1）證明：在梯形ABCD中，因?yàn)?，，所以．又平面PBC，平面PBC，即可得平面PBC．（2）解：易知AB，AD，AP兩兩垂直，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．∴，，，設(shè)平面PBC的法向量，則，取，則，．∴平面PBC的一個(gè)法向量為．設(shè)直線AE與平面PBC所成角為，則，即可知直線AE與平面PBC所成角的正弦值為.20.已知函數(shù).（1）若在處的切線與x軸平行，求實(shí)數(shù)a的值；（2）是否存在極值點(diǎn)，若存在，求出極值點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）由，得，∵在處的切線與x軸平行，∴，解得.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，可得，由，可得，由，可得.此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處取得極小值，無極大值.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，無極大值點(diǎn).21.已知拋物線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，的左?右焦點(diǎn)分別為，，該橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，若直線與軸，橢圓順次交于，，（點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)），若與互補(bǔ)，試問直線是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)？若直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，試求此定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由.（1）解：由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為，橢圓的半焦距，又橢圓的離心率為，，即，，，即，橢圓的方程為；（2）解：，設(shè)，，，，與互補(bǔ)，，，化簡(jiǎn)整理，可得①，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡(jiǎn)整理，可得，，可得②，由韋達(dá)定理，可得③，將，代入①，可得④，再將③代入④，可得，解得，的方程為，所以直線經(jīng)過定點(diǎn).（二）選考題【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓的方程為.（1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，圓與直線交于、兩點(diǎn)，求的值.解：（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得直線的普通方程為，在圓的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，可得，由可得圓的直角坐標(biāo)方程為，即；（2）設(shè)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、，將直