期末復(fù)習(xí)專題三：圖形與幾何-長(zhǎng)方體和正方體【四大篇目】-2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列（解析版）蘇教版

第第頁(yè)2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列期末復(fù)習(xí)專題三：圖形與幾何—長(zhǎng)方體和正方體【四大篇目】專題解讀本專題是期末復(fù)習(xí)專題三：圖形與幾何—長(zhǎng)方體和正方體。本部分內(nèi)容包括長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)、棱長(zhǎng)、表面積、體積等，該部分根據(jù)篇目進(jìn)行分類，每個(gè)篇目又包含多個(gè)常考考點(diǎn)，建議作為期末復(fù)習(xí)核心內(nèi)容進(jìn)行講解，一共劃分為四個(gè)篇目，歡迎使用。目錄導(dǎo)航TOC\o"1-1"\h\u【第一篇】長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)與棱長(zhǎng)和【知識(shí)總覽】 4【考點(diǎn)一】長(zhǎng)方體和正方體的展開圖 5【考點(diǎn)二】長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和與實(shí)際應(yīng)用 8【考點(diǎn)三】正方體的棱長(zhǎng)和與實(shí)際應(yīng)用 10【考點(diǎn)四】長(zhǎng)方體和正方體的等長(zhǎng)轉(zhuǎn)化問(wèn)題 12【第二篇】長(zhǎng)方體和正方體的表面積“基礎(chǔ)篇”【知識(shí)總覽】 15【考點(diǎn)一】長(zhǎng)方體的表面積 15【考點(diǎn)二】根據(jù)表面展開圖求長(zhǎng)方體的表面積 17【考點(diǎn)三】正方體的表面積 20【考點(diǎn)四】棱長(zhǎng)擴(kuò)倍問(wèn)題 21【考點(diǎn)五】不規(guī)則或組合立體圖形的表面積 23【考點(diǎn)六】染色問(wèn)題 26【第三篇】長(zhǎng)方體和正方體的表面積“進(jìn)階篇”【知識(shí)總覽】 29【考點(diǎn)一】拼切問(wèn)題 29【考點(diǎn)二】高的變化問(wèn)題 32【考點(diǎn)三】切掉最大的正方體 35【第四篇】長(zhǎng)方體和正方體的體積【知識(shí)總覽】 38【考點(diǎn)一】體積和容積單位及換算 39【考點(diǎn)二】長(zhǎng)方體的體積 41【考點(diǎn)三】正方體的體積 43【考點(diǎn)四】折疊圖形中的體積 45【考點(diǎn)五】等積變形問(wèn)題 48【考點(diǎn)六】排水法求不規(guī)則物體的體積 50【考點(diǎn)七】組合立體圖形的體積 53【第一篇】長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)與棱長(zhǎng)和【知識(shí)總覽】一、長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)。1.長(zhǎng)方體的特征：注意：長(zhǎng)方體的6個(gè)面都是長(zhǎng)方形，特殊情況有兩個(gè)面是正方形。2.長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高：相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。二、正方體的認(rèn)識(shí)。1.正方體的特征：（1）正方體的6個(gè)面都是正方形，且大小完全相同。（2）正方體有12條棱，且正方體的12條棱長(zhǎng)度都相等。2.正方體和長(zhǎng)方體的關(guān)系：總結(jié)：正方體是特殊的長(zhǎng)方體。三、長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)及棱長(zhǎng)和。1.棱長(zhǎng)和一般表示的是12條棱的長(zhǎng)度之和.2.長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和=4x長(zhǎng)+4×寬+4x高=4x（長(zhǎng)+寬+高）。3.根據(jù)棱長(zhǎng)和公式反求長(zhǎng)、寬、高。長(zhǎng)=棱長(zhǎng)和÷4-寬-高寬=棱長(zhǎng)和÷4-長(zhǎng)-高高=棱長(zhǎng)和÷4-長(zhǎng)-寬四、正方體的棱長(zhǎng)及棱長(zhǎng)和。1.正方體的棱長(zhǎng)和=12x棱長(zhǎng)；2.反求棱長(zhǎng)，棱長(zhǎng)=棱長(zhǎng)和÷12?！究键c(diǎn)一】長(zhǎng)方體和正方體的展開圖?！镜湫屠}】1．下列圖形中，折疊后不能圍成一個(gè)長(zhǎng)方體的是（

）。A． B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的特征，長(zhǎng)方體的6個(gè)面都是長(zhǎng)方形（同時(shí)情況有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形），相對(duì)面的面積相等。據(jù)此解答即可?！驹斀狻緼．根據(jù)長(zhǎng)方體展開圖的特征可知：沿虛線折疊后能圍成長(zhǎng)方體；B．不符合長(zhǎng)方體展開圖的特征，所以不能圍成長(zhǎng)方體；C．沿虛線折疊后能圍成長(zhǎng)方體；D．沿虛線折疊后能圍成長(zhǎng)方體。故答案為：B【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握長(zhǎng)方體展開圖的特征及應(yīng)用。2．下列幾何圖形的展開圖中，可以折疊成一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子的是（

）。A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④【答案】D【分析】根據(jù)正方體11種展開圖，添上1個(gè)小正方形，是正方體11種展開圖的可以折疊成一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子，據(jù)此分析?！驹斀狻咳鐖D，②號(hào)能組成1－4－1型正方體展開圖，④號(hào)能組成2－2－2型正方體展開圖，可以折疊成一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子的是②和④。故答案為：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是具有一定的空間想象能力，掌握正方體11種展開圖?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】1．下面圖形沿著虛線折疊，不能圍成長(zhǎng)方體的是（

）。A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的特征，長(zhǎng)方體的6個(gè)面都是長(zhǎng)方形（同時(shí)情況有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形），相對(duì)面的面積相等。據(jù)此解答即可?！驹斀狻緼．根據(jù)長(zhǎng)方體展開圖的特征可知：沿虛線折疊后能圍成長(zhǎng)方體；B．沿虛線折疊后能圍成長(zhǎng)方體；C．不能圍成長(zhǎng)方體，因?yàn)樗鄬?duì)的面不相等；D．沿虛線折疊后能圍成長(zhǎng)方體。故答案為：C【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握長(zhǎng)方體展開圖的特征及應(yīng)用。2．下面圖形中能拼成正方體的有（

）個(gè)。

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】能拼成正方體的圖形有四種類型：一四一型，有6種，即中間4個(gè)小正方形相連，兩側(cè)各一個(gè)小正方形；二三一型有3種，2個(gè)正方形與3個(gè)正方形相鄰成兩排，剩下一個(gè)在另一排；二二二型有1種，即3組2個(gè)正方形相連，錯(cuò)位一格；三三型1種，2組三個(gè)正方形相連，對(duì)齊一個(gè)。據(jù)此可得出答案?！驹斀狻康谝粋€(gè)圖形符合一四一型，能拼成正方體；第二個(gè)圖形符合一四一型，能拼成正方體；第三個(gè)圖形中出現(xiàn)“凹”形狀，不能拼成正方體；第四個(gè)圖形符合二三一型，能拼成正方體。即能拼成正方體的圖形有3個(gè)。故答案為：B【點(diǎn)睛】本題主要考查的是正方體的展開圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方體展開圖的11種圖形，進(jìn)而判斷得出答案?！究键c(diǎn)二】長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和與實(shí)際應(yīng)用?！镜湫屠}】1.用鐵絲焊接一個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬5厘米、高4厘米的長(zhǎng)方體框架，至少需要鐵絲()厘米。解析：602.一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是80cm，其中長(zhǎng)是10cm，寬是7cm，高是()cm。解析：80÷4－10－7＝20－10－7＝3（cm）3.一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為40厘米、30厘米、20厘米的小紙箱，在所有的棱上粘上一圈膠帶，至少需要多長(zhǎng)的膠帶？解析：（40＋30＋20）×4＝90×4＝360（厘米）答：至少需要360厘米的膠帶。【對(duì)應(yīng)練習(xí)】1．蛋糕店用要用彩帶包裝下面的蛋糕盒，接頭處彩帶長(zhǎng)27厘米，一共要用多少厘米彩帶？

【答案】251厘米【分析】觀察可知，長(zhǎng)×2＋寬×2＋高×4＋接頭長(zhǎng)度＝彩帶長(zhǎng)度，據(jù)此列式解答?！驹斀狻?0×2＋30×2＋26×4＋27＝60＋60＋104＋27＝251（厘米）答：一共要用251厘米彩帶?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和公式。2．母親節(jié)到了，小悅想把送給媽媽的禮品盒包裝得更精美，按照右圖的方法捆扎，打結(jié)處需要20厘米，捆扎這個(gè)禮品盒一共需要多少厘米絲帶？

【答案】340厘米【分析】觀察圖片可知，絲帶的長(zhǎng)度＝4條高＋2條長(zhǎng)＋2條寬＋打結(jié)處，據(jù)此解答即可?！驹斀狻?0×2＋40×2＋30×4＋20＝120＋80＋120＋20＝340（厘米）答：捆扎這個(gè)禮品盒一共需要340厘米絲帶?！军c(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)和公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握公式。3．用一根絲帶捆扎一個(gè)禮盒（如下圖），打結(jié)處的絲帶長(zhǎng)30厘米，捆扎這個(gè)禮盒至少需要多長(zhǎng)的絲帶？【答案】160厘米【分析】觀察圖形可知，捆扎這個(gè)禮盒至少需要絲帶的長(zhǎng)度＝2條長(zhǎng)＋2條寬＋4條高＋打結(jié)用的長(zhǎng)度，據(jù)此解答?！驹斀狻?5×2＋20×2＋10×4＋30＝50＋40＋40＋30＝90＋40＋30＝130＋30＝160（厘米）答：捆扎這個(gè)禮盒至少需要160厘米的絲帶。【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和公式的實(shí)際應(yīng)用，弄清是如何捆扎的，也就是弄清需要求哪些棱的長(zhǎng)度之和。【考點(diǎn)三】正方體的棱長(zhǎng)和與實(shí)際應(yīng)用。【典型例題】五一期間，外地游客小明到“廣州市場(chǎng)步行街”買到一個(gè)禮物，這個(gè)禮物的禮盒是一個(gè)正方體，這個(gè)禮盒用打包帶按如圖所示方法捆起來(lái)（打結(jié)處打包帶長(zhǎng)20厘米），一共要用多少厘米的打包帶？【答案】660厘米【分析】由圖可知，正方體上下兩個(gè)面分別需要計(jì)算4條棱的長(zhǎng)度，四個(gè)側(cè)面分別需要計(jì)算2條棱的長(zhǎng)度，－共需要計(jì)算（4×2＋2×4）條正方體的棱長(zhǎng)，再乘正方體每條棱的長(zhǎng)度，最后加上打結(jié)處打包帶的長(zhǎng)度，據(jù)此解答?！驹斀狻浚?×2＋2×4）×40＋20＝（8＋8）×40＋20＝16×40＋20＝640＋20＝660（厘米）答：一共要用660厘米的打包帶。【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體棱長(zhǎng)之和的應(yīng)用，分析圖形求出需要計(jì)算棱長(zhǎng)的數(shù)量是解答題目的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)】1．媽媽給奶奶買了一件母親節(jié)禮物，她用絲帶把禮物按照下圖的方法捆扎，打結(jié)處需要45厘米。捆扎這個(gè)禮物一共需要多少厘米絲帶？【答案】245厘米【分析】根據(jù)題意和圖形可知，所需絲帶的長(zhǎng)度等于8條棱長(zhǎng)的長(zhǎng)度＋打結(jié)處用的45厘米，由此列式解答?！驹斀狻?×25＋45＝200＋45＝245（厘米）答：捆扎這個(gè)禮物一共需要245厘米絲帶?！军c(diǎn)睛】此題屬于正方體的棱長(zhǎng)總和的實(shí)際應(yīng)用，首先分清是如何捆扎的，然后根據(jù)棱長(zhǎng)總和的計(jì)算方法解答。2．給一個(gè)正方體禮品盒包裝，用了50厘米長(zhǎng)的絲帶，其中，打結(jié)用了14厘米。禮品盒一個(gè)面的邊長(zhǎng)是多少厘米？【答案】9厘米【分析】根據(jù)正方體的特征：12條棱分別相等，由圖形可知，絲帶一共繞了正方體的四個(gè)棱長(zhǎng)的長(zhǎng)度，總長(zhǎng)度減去打結(jié)用了14厘米，再除以4，即可求出正方體的棱長(zhǎng)，解答即可。【詳解】（50－14）÷4＝36÷4＝9（厘米）答：禮品盒一個(gè)面的邊長(zhǎng)是9厘米。【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是理解正方體棱長(zhǎng)的特征，弄清圍繞的長(zhǎng)度是圍了幾條棱?！究键c(diǎn)四】長(zhǎng)方體和正方體的等長(zhǎng)轉(zhuǎn)化問(wèn)題?！镜湫屠}】一根鐵絲恰好可以焊接成一個(gè)長(zhǎng)14厘米、寬6厘米、高4厘米的長(zhǎng)方體框架，若這根鐵絲也恰好能焊接成一個(gè)正方體框架，那么這個(gè)正方體框架的棱長(zhǎng)是多少厘米？【答案】8厘米【分析】先根據(jù)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和＝（長(zhǎng)＋寬＋高）×4，代入數(shù)據(jù)求出長(zhǎng)方體框架的棱長(zhǎng)和，再根據(jù)題意可知：長(zhǎng)方體框架的棱長(zhǎng)和也就是正方體的棱長(zhǎng)和，用正方體的棱長(zhǎng)和除以12就可以計(jì)算出正方體框架的棱長(zhǎng)。【詳解】（14＋6＋4）×4÷12＝24×4÷12＝8（厘米）答：這個(gè)正方體框架的棱長(zhǎng)是8厘米?！军c(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是熟練掌握長(zhǎng)方體和正方體的棱長(zhǎng)和公式?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】1．用一根鐵絲正好可以做成一個(gè)棱長(zhǎng)為7厘米的正方體框架，如果用這根鐵絲做成一個(gè)長(zhǎng)為9厘米、寬為4厘米的長(zhǎng)方體框架，它的高應(yīng)是多少厘米？（接頭處忽略不計(jì)）【答案】8厘米【分析】根據(jù)正方體的總棱長(zhǎng)公式：L＝12a，據(jù)此求出鐵絲的長(zhǎng)度，再根據(jù)長(zhǎng)方體的總棱長(zhǎng)公式：L＝（a＋b＋h）×4，用鐵絲的長(zhǎng)度除以4，再減去長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬即可求出它的高應(yīng)是多少厘米?！驹斀狻?2×7＝84（厘米）84÷4－9－4＝21－9－4＝12－4＝8（厘米）答：它的高應(yīng)是8厘米。【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體和正方體的總棱長(zhǎng)，熟記公式是解題的關(guān)鍵。2．長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)之和相等，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是5.2米，寬是4米，高是3.4米。正方體的棱長(zhǎng)是多少米？【答案】4.2米【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)和＝（長(zhǎng)＋寬＋高）×4，用（5.2＋4＋3.4）×4即可求出長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和，因?yàn)殚L(zhǎng)方體和一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)之和相等，根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)和＝棱長(zhǎng)×12，用求得的棱長(zhǎng)和除以12，即可求出正方體的棱長(zhǎng)?！驹斀狻浚?.2＋4＋3.4）×4＝12.6×4＝50.4（米）50.4÷12＝4.2（米）答：正方體的棱長(zhǎng)是4.2米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)和公式和正方體棱長(zhǎng)和公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握公式。【第二篇】長(zhǎng)方體和正方體的表面積“基礎(chǔ)篇”【知識(shí)總覽】一、長(zhǎng)方體的表面積。1.長(zhǎng)方體的表面積=2x（長(zhǎng)x寬+長(zhǎng)x高+寬x高），用字母表示為S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。2.已知表面積，反求長(zhǎng)、寬、高：方程法。二、正方體的表面積。正方體的表面積=6x棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)，用字母表示為：S=6a2。三、長(zhǎng)方體和正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)倍問(wèn)題。1.如果正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，那么它的表面積就擴(kuò)大到原來(lái)的n2倍。例如：若正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，則它的表面積就擴(kuò)大到原來(lái)的9倍。如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，那么它的表面積就擴(kuò)大到原來(lái)的n2倍。四、染色問(wèn)題。三面涂色的在頂點(diǎn)，兩面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，沒有涂色的在里面：染三個(gè)面的小正方體數(shù)量∶8個(gè)。染兩個(gè)面的小正方體數(shù)量∶12×（a-2）。染一個(gè)面的小正方體數(shù)量∶6×（a-2）x（a-2）。沒有染色的面的小正方體數(shù)量∶（a-2）×（a-2）×（a-2）。【考點(diǎn)一】長(zhǎng)方體的表面積?！镜湫屠}】1.一節(jié)長(zhǎng)方體的通風(fēng)管長(zhǎng)是3分米，寬是2分米，高是8分米。做一節(jié)這樣的通風(fēng)管至少需要多大的鐵皮？解析：3×2×2＋2×8×2＝12＋32＝44（平方分米）答：做一節(jié)這樣的通風(fēng)管至少需要44平方分米的鐵皮。2.一個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是242平方厘米，它的寬是7厘米，高是3厘米。那么，聰明的你知道這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是多少厘米嗎?解析：方法一：用算術(shù)方法求解∶（242÷2-21）÷（7+3）=10。方法二：用方程求解∶解：設(shè)長(zhǎng)為c厘米，那么根據(jù)表面積公式可得出如下的方程：2×（21+7×x+3×x）=242解方程可得：x=10答：這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是10厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)】1．李師傅用木板做了一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋收納箱，這個(gè)收納箱長(zhǎng)5分米，寬4分米，高3分米。做這個(gè)收納箱用了多少平方分米的木板？【答案】74平方分米【分析】根據(jù)無(wú)蓋長(zhǎng)方體的表面積公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】5×4＋5×3×2＋4×3×2＝20＋30＋24＝74（平方分米）所以做這個(gè)收納箱用了74平方分米的木板?！军c(diǎn)睛】此題主要考查無(wú)蓋長(zhǎng)方體的表面積公式，解題的關(guān)鍵是熟記公式。2．小明的臥室長(zhǎng)5米、寬4米、高3米，門窗面積是5平方米，如果粉刷這個(gè)房間的頂棚和四壁，每平方米需0.5千克涂料，一共需要多少千克涂料？【答案】34.5千克【分析】首先計(jì)算出小明的臥室要粉刷的地方的面積大小：用側(cè)面積加上頂面面積再減去門窗面積，其中側(cè)面積應(yīng)該為（長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，頂面面積為長(zhǎng)×寬；算出粉刷面積后再乘上0.5就能計(jì)算出需要的涂料?！驹斀狻糠鬯⒚娣e：（5×3＋4×3）×2＋5×4－5＝（15＋12）×2＋20－5＝27×2＋20－5＝54＋20－5＝74－5＝69（平方米）69×0.5＝34.5（千克）答：一共需要34.5千克涂料?！究键c(diǎn)二】根據(jù)表面展開圖求長(zhǎng)方體的表面積?！镜湫屠}】下圖是長(zhǎng)方體盒子的展開圖，原來(lái)長(zhǎng)方體盒子的表面積是多少平方米？解析：高：8－5＝3（米）長(zhǎng)：（20－3×2）÷2＝（20－6）÷2＝14÷2＝7（米）寬：8－3×2＝8－6＝2（米）（7×2＋7×3＋2×3）×2＝（14＋21＋6）×2＝41×2＝82（平方米）答：原來(lái)長(zhǎng)方體盒子的表面積是82平方米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】1．立體圖形的表面積。用如圖的硬紙板中的五塊做一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒，可以做成不同規(guī)格的紙盒，如果要使紙盒的表面積最大，應(yīng)該選哪幾塊？先選擇序號(hào)（

），再計(jì)算它所需硬紙板是多少平方分米？（單位：分米）

【答案】（1）、（4）、（5）、（7）、（9）；26平方分米【分析】做一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒，即紙盒表面有五個(gè)面，要使表面積最大則盡可能選取面積大的長(zhǎng)方形或正方形，同時(shí)需要保證長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高對(duì)等；再根據(jù)長(zhǎng)方形面積＝長(zhǎng)×寬，將5面面積相加得出面積?！驹斀狻恳辜埡械谋砻娣e最大，可選擇（1）作為長(zhǎng)方體紙盒的正面，（4）作為背面，（5）作為左側(cè)面，（9）作為右側(cè)面，（7）作為底面，即應(yīng)該選用：（1）、（4）、（5）、（7）、（9）；所需硬紙板面積為：（平方分米）答：應(yīng)該選用（1）、（4）、（5）、（7）、（9）序號(hào)的紙板；它所需硬紙板是26平方分米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查的是長(zhǎng)方體的表面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握長(zhǎng)方體的表面展開圖，進(jìn)而得出答案。2．如圖，是一個(gè)長(zhǎng)方體六個(gè)面展開后的形狀。（1）想一想：如果將展開圖還原成長(zhǎng)方體，A點(diǎn)將與（

）重合，B點(diǎn)將與（

）重合。（2）算一算：長(zhǎng)方體的表面積是多少？【答案】（1）C點(diǎn)、F點(diǎn)；G點(diǎn)（2）52平方厘米【分析】將長(zhǎng)方體的展開圖圍成長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體相對(duì)面的面積相等可知，兩個(gè)紅色面相對(duì)，則A點(diǎn)將與C點(diǎn)、F點(diǎn)重合，B點(diǎn)將與G點(diǎn)重合；長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，據(jù)此解答即可?！驹斀狻浚?）想一想：如果將展開圖還原成長(zhǎng)方體，A點(diǎn)將與C點(diǎn)、F點(diǎn)重合，B點(diǎn)將與G點(diǎn)重合。（2）（4×3＋4×2＋3×2）×2＝（12＋8＋6）×2＝（20＋6）×2＝26×2＝52（平方厘米）答：長(zhǎng)方體的表面積是52平方厘米?！军c(diǎn)睛】熟練掌握長(zhǎng)方體展開圖的特征以及表面積計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵。【考點(diǎn)三】正方體的表面積?！镜湫屠}】制作一個(gè)棱長(zhǎng)為2分米的正方體燈籠框架，至少需要多少分米長(zhǎng)的木條？若在燈籠的各個(gè)面糊上彩紙（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩紙？【答案】24分米；20平方分米【分析】求木條的長(zhǎng)度，就是求正方體的總棱長(zhǎng)，根據(jù)正方體的總棱長(zhǎng)公式：L＝12a，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；求彩紙的面積就是求正方體的五個(gè)面的面積，根據(jù)正方形的面積公式：S＝a2，據(jù)此求出正方體1個(gè)面的面積，再乘5即可求解。【詳解】2×12＝24（分米）2×2×5＝4×5＝20（平方分米）答：至少需要24分米長(zhǎng)的木條，至少需要20平方分米的彩紙?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】1．一個(gè)正方體禮品盒，棱長(zhǎng)總和是36分米，制作這個(gè)禮品盒至少需要多少平方分米的硬紙？【答案】54平方分米【分析】正方體的棱長(zhǎng)總和＝棱長(zhǎng)×12，用棱長(zhǎng)總和除以12求出棱長(zhǎng)，再根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，把數(shù)據(jù)分別代入公式解答即可。【詳解】36÷12＝3（分米）3×3×6＝9×6＝54（平方分米）答：制作這個(gè)禮品盒至少需要54平方分米的硬紙。【點(diǎn)睛】此題考查了正方體的表面積公式的靈活運(yùn)用，解題關(guān)鍵是正確計(jì)算正方體的棱長(zhǎng)。2．李叔叔用白鐵皮焊接20個(gè)棱長(zhǎng)是1.2米的正方體無(wú)蓋水箱，預(yù)計(jì)在制作過(guò)程中一共要損耗0.8平方米白鐵皮。制作這些水箱一共需要準(zhǔn)備多少白鐵皮？【答案】144.8平方米【分析】一個(gè)無(wú)蓋的正方體水箱需要的白鐵皮的面積就是正方體的五個(gè)面的面積，先求出一個(gè)無(wú)蓋的正方體水箱需要的白鐵皮的面積再乘20，最后再加上損耗的鐵皮的面積即可求解?！驹斀狻?.2×1.2×5×20＋0.8＝1.44×5×20＋0.8＝7.2×20＋0.8＝144＋0.8＝144.8（平方米）答：制作這些水箱一共需要準(zhǔn)備144.8平方米的白鐵皮?！军c(diǎn)睛】本題考查正方體的表面積，熟記公式解題的關(guān)鍵。【考點(diǎn)四】棱長(zhǎng)擴(kuò)倍問(wèn)題。【典型例題】一個(gè)正方體棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，表面積擴(kuò)大原來(lái)的()倍，體積擴(kuò)大到原來(lái)的()倍。【答案】48【分析】采用設(shè)數(shù)法解決此題。假設(shè)原來(lái)正方體的棱長(zhǎng)為1，棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍后是2。正方體的表面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6，根據(jù)正方體的表面積公式分別計(jì)算出正方體原來(lái)的表面積、擴(kuò)大后的表面積；再用擴(kuò)大后的表面積÷原來(lái)的表面積，求出表面積擴(kuò)大到原的幾倍。正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，根據(jù)正方體的體積公式分別計(jì)算出正方體原來(lái)的體積、擴(kuò)大后的體積；再用擴(kuò)大后的體積÷原來(lái)的體積，求出體積擴(kuò)大到原的幾倍。【詳解】假設(shè)原來(lái)正方體的棱長(zhǎng)為1。2×1＝22×2×6÷（1×1×6）＝24÷6＝42×2×2÷（1×1×1）＝8÷1＝8所以，表面積擴(kuò)大原來(lái)的4倍，體積擴(kuò)大到原來(lái)的8倍?！军c(diǎn)睛】當(dāng)正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的n倍時(shí)，它的表面積就擴(kuò)大到原來(lái)的n2倍；它的體積就擴(kuò)大到原來(lái)的n3倍?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】1．現(xiàn)在將正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，下列表述正確的是（

）。A．?dāng)U大后這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和是擴(kuò)大前的12倍 B．?dāng)U大后這個(gè)正方體的表面積是擴(kuò)大前的6倍C．?dāng)U大后這個(gè)正方體的體積是擴(kuò)大前的8倍 D．?dāng)U大后這個(gè)正方體的體積是擴(kuò)大前的4倍【答案】C【分析】假設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)和＝棱長(zhǎng)×12；正方體的表面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6，正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)；分別求出擴(kuò)大前后正方體的棱長(zhǎng)和、表面積和體積，進(jìn)而求出它們變化前后的關(guān)系?！驹斀狻考僭O(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，擴(kuò)大后的棱長(zhǎng)：1×2＝2原來(lái)的棱長(zhǎng)總和：1×12＝12擴(kuò)大后的棱長(zhǎng)總和：2×12＝2424÷12＝2擴(kuò)大后這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和是擴(kuò)大前的2倍；原來(lái)的表面積：1×1×6＝6擴(kuò)大后的表面積：2×2×6＝2424÷6＝4擴(kuò)大后這個(gè)正方體的表面積是擴(kuò)大前的4倍；原來(lái)的體積：1×1×1＝1擴(kuò)大后的體積：2×2×2＝88÷1＝8擴(kuò)大后這個(gè)正方體的體積是擴(kuò)大前的8倍。故答案為：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體的棱長(zhǎng)和公式、表面積公式、體積公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握相關(guān)公式。2．長(zhǎng)方體的體積擴(kuò)大9倍，可能是（

）。A．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各擴(kuò)大3倍B．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大3倍，寬和高不變C．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬各擴(kuò)大3倍，高縮小3倍D．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)不變，寬和高各擴(kuò)大3倍【答案】D【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的體積計(jì)算方法和積的變化規(guī)律，長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，積擴(kuò)大的倍數(shù)等于因數(shù)擴(kuò)大倍數(shù)的乘積；由此解答。【詳解】A．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各擴(kuò)大3倍，它的體積擴(kuò)大3×3×3＝27倍，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大3倍，寬和高不變，它的體積擴(kuò)大3×1×1＝3倍，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬各擴(kuò)大3倍，高縮小3倍，它的體積擴(kuò)大3×3÷3＝3倍，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)不變，寬和高各擴(kuò)大3倍，它的體積擴(kuò)大1×3×3＝9倍，故選項(xiàng)正確。故答案為：D【點(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體的體積計(jì)算方法和積的變化規(guī)律?！究键c(diǎn)五】不規(guī)則或組合立體圖形的表面積?！镜湫屠}】下圖是一個(gè)由實(shí)心正方體和長(zhǎng)方體組合而成的塑料部件。下面正方體的棱長(zhǎng)是20cm，上面是長(zhǎng)方體的前、后、左、右四個(gè)面的面積總和為80cm2。這個(gè)塑料部件的表面積是多少平方厘米？

【答案】2480平方厘米【分析】根據(jù)題意，通過(guò)平移補(bǔ)齊，這個(gè)塑料部件的表面積＝正方體的表面積＋長(zhǎng)方體的側(cè)面積（前、后、左、右四個(gè)面的面積），正方體的表面積＝6a2，據(jù)此解答?！驹斀狻浚ㄆ椒嚼迕祝ㄆ椒嚼迕祝┐穑哼@個(gè)塑料部件的表面積是平方厘米?！军c(diǎn)睛】此題考查了長(zhǎng)方體與正方體的面積計(jì)算，關(guān)鍵熟記計(jì)算公式。【對(duì)應(yīng)練習(xí)】1．有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的零件，中間挖去一個(gè)小正方體（如圖），你能算出剩余部分的體積和表面積嗎？（圖中單位：cm）【答案】體積：232立方厘米；體積：252平方厘米【分析】觀察圖形可知，剩余部分的體積＝長(zhǎng)方體的體積－小正方體的體積；根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：體積＝長(zhǎng)×寬×高；正方體體積公式：體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)，求出剩余部分的體積；剩余部分的表面積是長(zhǎng)方體的表面積減去小正方體的一個(gè)面的面積，再加上小正方體的5個(gè)面的面積，即長(zhǎng)方體的表面積＋正方體的4個(gè)面的面積；根據(jù)長(zhǎng)方體表面積公式：表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，正方體的面積公式：表面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×4，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻矿w積：8×6×5－2×2×2＝48×5－4×2＝240－8＝232（立方厘米）表面積：（8×6＋8×5＋6×5）×2＋2×2×4＝（48＋40＋30）×2＋4×4＝（88＋30）×2＋16＝118×2＋16＝236＋16＝252（平方厘米）答：體積是232立方厘米，表面積是252平方厘米。【點(diǎn)睛】熟練掌握長(zhǎng)方體體積公式和表面積公式，正方體體積公式和表面積公式是解答本題的關(guān)鍵。2．給學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的各個(gè)面都涂漆（底面不涂），需要涂漆的面積是多少平方厘米？如果每平方米的油漆需要75元，給這個(gè)領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)涂漆一共需要多少錢？（單位：厘米）【答案】33280平方厘米；249.6元【分析】觀察圖形可知，從前面看，如下圖：將圖形分成三個(gè)長(zhǎng)方形，然后分別計(jì)算這三個(gè)長(zhǎng)方形的面積，再相加，即可求出前面的面積；從左面看，如下圖：根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，代入數(shù)據(jù)求出左面的面積；從上面看，如下圖：根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，代入數(shù)據(jù)求出上面的面積；最后用前面的面積×2＋左面的面積×2＋上面的面積即可求出這個(gè)立體圖形的表面積；然后把表面積化為平方米作單位，如果每平方米的油漆需要75元，根據(jù)單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)，用表面積乘75即可求出涂漆需要多少錢。【詳解】前、后面的面積：[80×40＋80×（32＋24）＋80×24]×2＝[80×40＋80×56＋80×24]×2＝[3200＋4480＋1920]×2＝9600×2＝19200（平方厘米）左、右面的面積：40×（32＋24）×2＝40×56×2＝4480（平方厘米）上面的面積：80×3×40＝240×40＝9600（平方厘米）19200＋4480＋9600＝33280（平方厘米）33280平方厘米＝3.328平方米3.328×75＝249.6（元）答：需要涂漆的面積是33280平方厘米；如果每平方米的油漆需要75元，給這個(gè)領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)涂漆一共需要249.6元?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了不規(guī)則立體圖形的表面積的靈活計(jì)算，通過(guò)三視圖觀察出每個(gè)面的組成是解答本題的關(guān)鍵?！究键c(diǎn)六】染色問(wèn)題?！镜湫屠}】將一個(gè)棱長(zhǎng)5厘米的正方體表面涂色，再切割成棱長(zhǎng)1厘米的小正方體，其中三面涂色的有()個(gè)，兩面涂色的有()個(gè)，一面涂色的有()個(gè)。解析：8；36；54【對(duì)應(yīng)練習(xí)】1．有一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方體，用紅色染料對(duì)其表面染色，然后切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，那么兩個(gè)面染色的正方體有()個(gè)?！敬鸢浮?6【分析】在各棱處，除去頂點(diǎn)處的正方體，其他的是兩面油漆，棱長(zhǎng)被分成10個(gè)小正方體，所以每條棱有（10－2）個(gè)兩面油漆的小正方體，所以用（10－2）×12即可求出有幾個(gè)兩面涂色的小正方體?！驹斀狻?jī)擅嫱可挠校海?0－2）×12＝8×12＝96（個(gè)）兩面涂色小正方體有96個(gè)?！军c(diǎn)睛】此題主要考查了染色問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是抓住三面涂色的在頂點(diǎn)處，兩面涂色的在棱長(zhǎng)上，一面涂色的在正方體的面中間上。2．用棱長(zhǎng)1cm的小正方體拼成棱長(zhǎng)是4cm的大正方體，然后把大正方體的表面涂上顏色。那么小正方體中，三面涂色的有()個(gè)，兩面涂色的有()個(gè)?！敬鸢浮?24【分析】由題意可知，大正方體每條棱長(zhǎng)上面都有4÷1＝4個(gè)小正方體，三個(gè)面均涂色的是各頂點(diǎn)處的小正方體；在各棱處，除去頂點(diǎn)處的正方體，其他的有兩面涂色，據(jù)此解答即可?！驹斀狻咳嫱可男≌襟w有8個(gè)；兩面涂色的有：（4－2）×12＝2×12＝24（個(gè)）則三面涂色的有8個(gè)，兩面涂色的有24個(gè)。【點(diǎn)睛】熟記不同面涂色的小正方體的位置特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵。3．某小學(xué)要做一個(gè)展臺(tái)，工人師傅用每個(gè)面都是1平方米的正方體靠墻角擺放（如下圖）。把這個(gè)展臺(tái)露在外面的面涂上紅色，那么共要涂()個(gè)面，這些紅色面的面積之和是()平方米?！敬鸢浮?9【分析】觀察圖形可知，從上面看，有3個(gè)面露在外面，從正面看，有3個(gè)面露在外面，從右面看，有3個(gè)面露在外面，總共有9個(gè)面露在外面，所以要涂9個(gè)面，每個(gè)面的面積是1平方米，即可求出這些紅色面的面積之和?！驹斀狻扛鶕?jù)分析得，3＋3＋3＝9（個(gè)）9×1＝9（平方米）【點(diǎn)睛】本題主要考查立體圖形的切拼。通過(guò)從不同方向觀察，確定露在外面的小正方形的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵?！镜谌块L(zhǎng)方體和正方體的表面積“進(jìn)階篇”【知識(shí)總覽】表面積的增減變化問(wèn)題主要有三種，一種是切片問(wèn)題，表面積會(huì)相應(yīng)增加，一種是拼接問(wèn)題，表面積會(huì)相應(yīng)減少，一種是高的變化引起的表面積變化。1.切片問(wèn)題。（1）切一刀增加兩個(gè)切面，沿著不同的方向切，多出的表面積一般是不一樣的，其中正方體比較特殊，它的表面積的增減變化都是都是正方形在進(jìn)行變化，相對(duì)比較簡(jiǎn)單。（2）刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。2.拼接問(wèn)題。（1）長(zhǎng)方體或正方體的拼接會(huì)使表面積減少，兩個(gè)正方體的拼接，有兩個(gè)重合面，會(huì)減少兩個(gè)正方形的面積，同理，三個(gè)正方體的拼接會(huì)減少四個(gè)正方形的面積，與切片問(wèn)題類似，可以先判斷刀數(shù)，再根據(jù)刀數(shù)去推正方形的個(gè)數(shù)，但是長(zhǎng)方體的拼接要根據(jù)不同的拼接面來(lái)判斷具體減少的面積。（2）段數(shù)-1=刀數(shù)；刀數(shù)×2=切面?zhèn)€數(shù)。3.高的變化問(wèn)題。（1）正方體高的變化，即棱長(zhǎng)的增減變化，會(huì)引起正方體側(cè)面積的增減變化。（2）長(zhǎng)方體高的變化，會(huì)引起長(zhǎng)方體側(cè)面積的增減變化，長(zhǎng)方體的側(cè)面指的是前后左右四個(gè)面?！究键c(diǎn)一】拼切問(wèn)題?！镜湫屠}】1．把下圖的木塊平均分成兩塊，兩塊木塊的表面積的和比原來(lái)木塊的表面積增加了多少平方厘米？

【答案】96平方厘米【分析】根據(jù)題意可知，木塊平均分成兩塊，表面積增加了2個(gè)長(zhǎng)方形面，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8厘米，寬為6厘米，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，用6×8×2即可求出增加的表面積?！驹斀狻?×8×2＝96（平方厘米）答：兩塊木塊的表面積的和比原來(lái)木塊的表面積增加了96平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了立體圖形的切拼，注意表面積增加了哪些面。2．把一根長(zhǎng)60厘米的長(zhǎng)方體木料鋸成大小一樣的3段，表面積比原來(lái)增加了100平方厘米。這根木料原來(lái)的體積是多少立方厘米？【答案】1500立方厘米【分析】把長(zhǎng)方體木料鋸成大小一樣的3段，鋸了（3－1）＝2次，增加了2×2＝4個(gè)截面，即增加的表面積相當(dāng)于這根長(zhǎng)方體木料的4個(gè)底面積，用增加的面積除以4，可得長(zhǎng)方體木料的底面積。根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：V＝Sh，將數(shù)據(jù)代入即可求出木料原來(lái)的體積?！驹斀狻坑煞治隹傻茫海?－1）×2＝2×2＝4（個(gè)）100÷4×60＝25×60＝1500（立方厘米）答：這根木料原來(lái)的體積是1500立方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體體積的計(jì)算，關(guān)鍵明白100平方厘米是4個(gè)底面積的和，從而求出一個(gè)截面的面積，再計(jì)算該長(zhǎng)方體木料的體積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】1．把一根2米長(zhǎng)的長(zhǎng)方體木料，沿與橫截面平行的方向鋸成4段，表面積增加了192平方厘米，這根長(zhǎng)方體木料的體積是多少立方厘米？【答案】6400立方厘米【分析】根據(jù)題意，沿與橫截面平行的方向鋸成4段，那么增加了6個(gè)底面，用增加的面積192平方厘米除以6求出一個(gè)底面積，再乘高即可求出長(zhǎng)方體木料的體積；據(jù)此解答?！驹斀狻?米＝200厘米192÷6×200＝32×200＝6400（立方厘米）答：這根長(zhǎng)方體木料的體積是6400立方厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查立體圖形的切割問(wèn)題，根據(jù)增加的面積求出長(zhǎng)方體的底面積是解題關(guān)鍵；注意統(tǒng)一單位。2．用4個(gè)完全一樣的小正方體積木拼成一個(gè)長(zhǎng)方體（如下圖所示），表面積減少了32平方厘米，每個(gè)小正方體的體積是多少？拼成的這個(gè)長(zhǎng)方體的底面積是多少？【答案】8立方厘米；16平方厘米【分析】如圖，拼成一個(gè)長(zhǎng)方體后，表面積減少了8個(gè)小正方形的面積，用32除以8可求出其中一個(gè)小正方形的面積為4平方厘米，所以小正方形的邊長(zhǎng)為2厘米，即小正方體的棱長(zhǎng)為2厘米，根據(jù)正方體的體積公式即可求出每個(gè)小正方體的體積；長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬都為（2＋2）厘米，利用長(zhǎng)乘寬即可求出拼成的這個(gè)長(zhǎng)方體的底面積?！驹斀狻?2÷8＝4（平方厘米）因?yàn)?×2＝4（平方厘米）所以小正方體的棱長(zhǎng)是2厘米。2×2×2＝8（立方厘米）（2＋2）×（2＋2）＝4×4＝16（平方厘米）答：每個(gè)小正方體的體積是8立方厘米，拼成的這個(gè)長(zhǎng)方體的底面積是16平方厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查立體圖形的拼接，熟練運(yùn)用正方體的體積和長(zhǎng)方體的底面積公式，弄清減少的是幾個(gè)面的面積是解題的關(guān)鍵。3．如圖，把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為12厘米、7厘米、9厘米的長(zhǎng)方體木塊沿著一個(gè)方向鋸開，能夠得到兩個(gè)小一些的長(zhǎng)方體木塊。怎樣鋸才能使得到的兩個(gè)小長(zhǎng)方體木塊的表面積之和最??？請(qǐng)?jiān)趫D中畫一畫，并求出鋸開后的兩個(gè)小長(zhǎng)方體木塊的表面積之和?！敬鸢浮繄D見詳解；636平方厘米【分析】以大長(zhǎng)方體的寬和高為鋸開面的長(zhǎng)和寬，增加的表面積最小。據(jù)此，先求出大長(zhǎng)方體的表面積，再加上兩個(gè)鋸開面的面積，即可求出鋸開后的兩個(gè)小長(zhǎng)方體木塊的表面積之和。【詳解】如圖：

（12×9＋12×7＋9×7）×2＋9×7×2＝（108＋84＋63）×2＋126＝255×2＋126＝510＋126＝636（平方厘米）答：鋸開后的兩個(gè)小長(zhǎng)方體木塊的表面積之和是636平方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的表面積，長(zhǎng)方體表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2?！究键c(diǎn)二】高的變化問(wèn)題?！镜湫屠}】一個(gè)高40厘米，底面是正方形的長(zhǎng)方體，如果高增加5厘米，表面積就增加80平方厘米，求原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積和體積各是多少？【答案】672平方厘米；640立方厘米【分析】如圖所示，原來(lái)長(zhǎng)方體的高增加5厘米后，表面積增加上面小長(zhǎng)方體4個(gè)側(cè)面的面積，長(zhǎng)方體的底面是正方形時(shí)，其它4個(gè)側(cè)面是形狀完全相同的長(zhǎng)方形，根據(jù)增加的表面積表示出上面小長(zhǎng)方體一個(gè)側(cè)面的面積，再求出底面正方形的邊長(zhǎng)，最后利用“長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋寬×高＋長(zhǎng)×高）×2”“長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高”求出原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積和體積，據(jù)此解答。【詳解】80÷4÷5＝20÷5＝4（厘米）表面積：（4×4＋4×40＋4×40）×2＝（16＋160＋160）×2＝336×2＝672（平方厘米）體積：4×4×40＝16×40＝640（立方厘米）答：原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是672平方厘米，體積是640立方厘米?！军c(diǎn)睛】根據(jù)增加的表面積求出原來(lái)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬，并掌握長(zhǎng)方體的表面積和體積的計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】1．一個(gè)正方體，它的高增加2厘米后就成了長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積比原正方體表面積增加了96平方厘米，求原正方體的表面積。【答案】864平方厘米【分析】一個(gè)正方體如果它的高增加2厘米，就變成了長(zhǎng)方體，表面積比原來(lái)增加96平方厘米，它的底面積沒變，增加的是4個(gè)側(cè)面的面積，增加部分每個(gè)面的面積是：96÷4＝24平方厘米，用24除以2就可以求出原來(lái)正方體的棱長(zhǎng)；再根據(jù)：正方體的表面積＝6a2，將數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算即可。【詳解】96÷4÷2＝24÷2＝12（厘米）12×12×6＝144×6＝864（平方厘米）答：原正方體的表面積是864平方厘米。【點(diǎn)睛】此題解答關(guān)鍵是求出正方體的棱長(zhǎng)，然后根據(jù)正方體的表面積公式解答即可。2．一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高減少3厘米就變成了一個(gè)正方體，表面積就減少了96平方厘米，現(xiàn)在這個(gè)正方體的體積與原來(lái)長(zhǎng)方體的體積相差多少立方厘米？【答案】192立方厘米【分析】根據(jù)題意，長(zhǎng)方體的高減少3厘米變成了一個(gè)正方體，說(shuō)明長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬都等于正方體的棱長(zhǎng)；正方體比原來(lái)長(zhǎng)方體減少的表面積是4個(gè)長(zhǎng)為正方體的棱長(zhǎng)，寬為3厘米的長(zhǎng)方形的面積；先用減少的表面積除以4，求出一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，再除以3，即可求出正方體的棱長(zhǎng)，也是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬；那么正方體與原來(lái)長(zhǎng)方體相差的體積是一個(gè)長(zhǎng)、寬等于正方體的棱長(zhǎng)，高為3厘米的小長(zhǎng)方體的體積，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可?！驹斀狻?6÷4＝24（平方厘米）24÷3＝8（厘米）8×8×3＝64×3＝192（立方厘米）答：現(xiàn)在這個(gè)正方體的體積與原來(lái)長(zhǎng)方體的體積相差192立方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形的切拼以及長(zhǎng)方體體積公式的應(yīng)用，明確表面積減少的是哪些面的面積，以此為突破口，求出正方體的棱長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵。3．如圖，從一個(gè)長(zhǎng)方體鋼錠中截下一個(gè)體積是108立方厘米的小長(zhǎng)方體后，剩下的部分剛好是一個(gè)棱長(zhǎng)為6厘米的正方體。原來(lái)長(zhǎng)方體鋼錠的表面積是多少？

【答案】288平方厘米【分析】由圖可知，截去小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬都是6厘米，根據(jù)“高＝長(zhǎng)方體的體積÷長(zhǎng)÷寬”求出截去小長(zhǎng)方體的高，原來(lái)長(zhǎng)方體的高＝截去小長(zhǎng)方體的高＋正方體的棱長(zhǎng)，最后利用“長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋寬×高＋長(zhǎng)×高）×2”求出原來(lái)長(zhǎng)方體鋼錠的表面積，據(jù)此解答。【詳解】108÷6÷6＝18÷6＝3（厘米）3＋6＝9（厘米）（6×6＋6×9＋6×9）×2＝（36＋54＋54）×2＝144×2＝288（平方厘米）答：原來(lái)長(zhǎng)方體鋼錠的表面積是288平方厘米。【點(diǎn)睛】本題主要考查立體圖形的切拼，熟練掌握并靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體的表面積和體積的計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵?！究键c(diǎn)三】切掉最大的正方體?！镜湫屠}】一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)12厘米，寬8厘米，高5厘米。從這個(gè)長(zhǎng)方體上切下一個(gè)最大的正方體后，剩下部分的體積是多少立方厘米？【答案】355立方厘米【分析】從這個(gè)長(zhǎng)方體上切下一個(gè)最大的正方體，這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是5厘米，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，據(jù)此求出正方體的體積，然后用長(zhǎng)方體的體積減去正方體的體積即可。【詳解】－＝480－125＝355（立方厘米）答：剩下部分的體積是355立方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查正方體和長(zhǎng)方體的體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】1．從一個(gè)長(zhǎng)是8cm，寬4cm，高5cm的長(zhǎng)方體中，截取一個(gè)最大的正方體，這個(gè)正方體的體積是多少？【答案】4×4×4【分析】根據(jù)題意可知：在這個(gè)長(zhǎng)方體中截取一個(gè)最大的正方體，這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體的寬，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻?×4×4＝64（cm3）答：這個(gè)正方體的體積是64cm3?！军c(diǎn)睛】本題是考查圖形的切拼問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵是考慮要以長(zhǎng)方體的最短邊為棱長(zhǎng)。2．將下面的長(zhǎng)方體切割成一個(gè)最大的正方體。（1）這個(gè)正方體的體積是多少？（2）正方體的體積占原長(zhǎng)方體體積的幾分之幾？【答案】（1）64立方厘米；（2）【分析】（1）長(zhǎng)方體切割成一個(gè)最大的正方體，正方體的棱長(zhǎng)應(yīng)等于長(zhǎng)方體的寬，為4厘米，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式求出它的體積。（2）利用長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入求出長(zhǎng)方體的體積，再用正方體的體積除以原長(zhǎng)方體體積，即可求出正方體的體積占原長(zhǎng)方體體積的幾分之幾。【詳解】（1）根據(jù)分析得，正方體的棱長(zhǎng)為4厘米。4×4×4＝64（立方厘米）答：這個(gè)正方體的體積是64立方厘米。（2）8×5×4＝160（立方厘米）64÷160＝答：正方體的體積占原長(zhǎng)方體體積的?！军c(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體、正方體的體積公式的靈活運(yùn)用，抓住立體圖形切割的特點(diǎn)，根據(jù)求一個(gè)數(shù)占另一個(gè)數(shù)的幾分之幾的計(jì)算方法，解決問(wèn)題?！镜谒钠块L(zhǎng)方體和正方體的體積【知識(shí)總覽】一、體積及容積單位。1.容積：容積是指物體所能容納物體的體積大小，常見的容積單位有：升（L）、毫升（mL）。2.體積：體積是指物體本身所占空間的大小，常見的體積單位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相當(dāng)于一個(gè)手指尖的體積。由于測(cè)量方法的不同，體積一般大于容積。二、體積及容積單位換算。1.體積及容積單位進(jìn)率：1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3；。2.單位換算：高級(jí)單位換算為低級(jí)單位乘進(jìn)率，低級(jí)單位換算成高級(jí)單位除以進(jìn)率。三、長(zhǎng)方體的體積。1.長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高，用字母表示V=abh。2.長(zhǎng)=體積÷寬÷高，a=V÷b÷h。3.寬=體積÷長(zhǎng)÷高，b=V÷a÷h。4.高=體積÷長(zhǎng)÷寬，h=V÷a÷b。四、正方體的體積。正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，用字母表示V=a×a×a=a3，讀作“a的立方”表示3個(gè)a相乘。五、體積的擴(kuò)倍問(wèn)題。長(zhǎng)方體或正方體的長(zhǎng)、寬、高同時(shí)擴(kuò)大幾倍，體積就會(huì)擴(kuò)大倍數(shù)的立方倍。六、排水法求不規(guī)則物體的體積。形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積：排水法的公式：V物體=V現(xiàn)在－V原來(lái)也可以V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來(lái))V物體=S×h升高【考點(diǎn)一】體積和容積單位及換算?！镜湫屠}】1．在括號(hào)里填上合適的單位名稱。一只熱水瓶最多能盛水1.2()；粉筆盒的高大約是10()；一間教室占地大約48()；一個(gè)礦泉水瓶的容量是500()?！敬鸢浮可?L厘米/cm平方米/m2毫升/mL【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，數(shù)據(jù)的大小和對(duì)單位的認(rèn)識(shí)可知：計(jì)量一只熱水瓶的容積用升做單位更為合適；計(jì)量粉筆盒的高用厘米做單位更為合適；計(jì)量一間教室占地面積用平方米做單位更為合適；計(jì)量一個(gè)礦泉水瓶的容量用毫升做單位更為合適，據(jù)此解答?！驹斀狻恳恢粺崴孔疃嗄苁⑺?.2升；粉筆盒的高大約是10厘米；一間教室占地大約48平方米；一個(gè)礦泉水瓶的容量是500毫升。2．在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。5060毫升＝()升

4.3立方分米＝()立方分米()立方厘米1.02立方分米＝()升()毫升

11.2升＝()立方分米＝()立方厘米【答案】5.06430012011.211200【分析】低級(jí)單位換高級(jí)單位除以進(jìn)率，根據(jù)1升＝1000毫升，用5060÷1000即可；高級(jí)單位換低級(jí)單位乘進(jìn)率，把4.3拆成4＋0.3，再根據(jù)1立方分米＝1000立方厘米，用0.3×1000即可；把1.02拆成1＋0.02，根據(jù)1立方分米＝1升，1升＝1000毫升，用0.02×1000即可；根據(jù)1升＝1立方分米，則11.2升＝11.2立方分米，根據(jù)1立方分米＝1000立方厘米，用11.2×1000即可?！驹斀狻?060毫升＝5060÷1000升＝5.06升4.3立方分米＝4立方分米＋0.3立方分米＝4立方分米＋0.3×1000立方厘米＝4立方分米300立方厘米1.02立方分米＝1立方分米＋0.02立方分米＝1升0.02×1000毫升＝1升20毫升11.2升＝11.2立方分米＝11.2×1000立方厘米＝11200立方厘米【對(duì)應(yīng)練習(xí)】1．在括號(hào)里填上合適的單位。(1)一臺(tái)冰箱所占的空間大約是1.2()。(2)一本數(shù)學(xué)書封面的面積大約是280()?！敬鸢浮?1)立方米/m3(2)平方厘米/cm2【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)據(jù)的大小，選擇合適的計(jì)量單位，即可解答。體積是指物體所占的空間大小，常用單位是立方厘米、立方分米、立方米；一臺(tái)冰箱所占的空間用立方米比較合適；常用的面積單位有平方米、平方分米、平方厘米，數(shù)學(xué)書封面的面積用平方厘米比較合適?！驹斀狻浚?）一臺(tái)冰箱所占的空間大約是1.2立方米。（2）一本數(shù)學(xué)書封面的面積大約是280平方厘米?！军c(diǎn)睛】此題考查根據(jù)情景選擇合適的計(jì)量單位，要注意聯(lián)系生活實(shí)際、計(jì)量單位和數(shù)據(jù)的大小，靈活地選擇。2．一盒牛奶的體積是250()，一塊橡皮的體積約是3()?！敬鸢浮苛⒎嚼迕?cm3立方厘米/cm3【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)據(jù)的大小，選擇合適的計(jì)量單位，即可解答?！驹斀狻扛鶕?jù)實(shí)際情況可知：一盒牛奶的體積是250立方厘米，一塊橡皮的體積約是3立方厘米。【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)情景選擇合適的計(jì)量單位，要注意聯(lián)系生活實(shí)際、計(jì)量單位和數(shù)據(jù)的大小，靈活的選擇。3．514dm3＝()m3

1時(shí)30分＝()時(shí)270dm2＝()m2＝()cm2

8t200kg＝()t【答案】0.5141.52.7270008.2【分析】根據(jù)1m3＝1000dm3，1小時(shí)＝60分鐘，1m2＝100dm2＝10000cm2，1t＝1000kg，高級(jí)單位換算成低級(jí)單位，乘進(jìn)率，低級(jí)單位換算成高級(jí)單位，除以進(jìn)率，據(jù)此解答。【詳解】514dm3＝0.514m330分＝0.5小時(shí)，所以1時(shí)30分＝1.5時(shí)；270dm2＝2.7m2＝27000cm2200kg＝0.2t，所以8t200kg＝8.2t。【點(diǎn)睛】本題考查單位之間的互化，關(guān)鍵是熟記進(jìn)率。4．在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。0.75噸＝()千克

60平方分米＝()平方厘米

3.2升＝()毫升0.2公頃＝()平方米

1900公頃＝()平方千米

0.38平方千米＝()公頃【答案】7506000320020001938【分析】1噸＝1000千克，1平方分米＝100平方厘米，1升＝1000毫升，1公頃＝10000平方米，1平方千米＝100公頃，低級(jí)單位換算為高級(jí)單位除以它們之間的進(jìn)率，高級(jí)單位換算為低級(jí)單位乘它們之間的進(jìn)率，據(jù)此解答?！驹斀狻?.75×1000＝750（千克），0.75噸＝750千克；60×100＝6000（平方厘米），60平方分米＝6000平方厘米；3.2×1000＝3200（毫升），3.2升＝3200毫升；0.2×10000＝2000（平方米），0.2公頃＝2000平方米；1900÷100＝19（平方千米），1900公頃＝19平方千米；0.38×100＝38（公頃），0.38平方千米＝38公頃?！军c(diǎn)睛】此題考查重量單位、面積單位、容積單位的換算，關(guān)鍵能夠熟記進(jìn)率。【考點(diǎn)二】長(zhǎng)方體的體積。【典型例題】1.某工地運(yùn)來(lái)9.6立方米的沙子，鋪在一個(gè)長(zhǎng)6米、寬2.5米的沙坑里，可以鋪多厚？解析：9.6÷6÷2.5＝0.64（米）答：可以鋪0.64米。2.學(xué)校要砌一道長(zhǎng)20米、寬2.4分米、高2米的墻，每立方米需要525塊磚，學(xué)校需要買多少塊磚？解析：2.4分米＝0.24米20×0.24×2＝4.8×2＝9.6（立方米）525×9.6＝5040（塊）答：學(xué)校需要買5040塊磚。【對(duì)應(yīng)練習(xí)】1．為了迎接冬泳比賽，某游泳基地對(duì)室內(nèi)游泳池進(jìn)行升級(jí)改造，在它四周和底面貼瓷磚。游泳池長(zhǎng)50米，寬30米，高2米，升級(jí)完成后工作人員儲(chǔ)水2700立方米，這時(shí)水面離池沿還有多少分米？（瓷磚厚度忽略不計(jì)）【答案】2分米【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：V＝長(zhǎng)×寬×高，可得高＝V÷長(zhǎng)÷寬，代入數(shù)值求出儲(chǔ)水的高度，用泳池的高度減去儲(chǔ)水的高度，可得離池沿的米數(shù)；由高級(jí)單位米轉(zhuǎn)化成低級(jí)單位分米，乘進(jìn)率10即可?！驹斀狻坑煞治隹傻茫?－2700÷50÷30＝2－54÷30＝2－1.8＝0.2（米）0.2米＝0.2×10＝2分米答：這時(shí)水面離池沿還有2分米?！军c(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體體積公式的靈活運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是注意單位的統(tǒng)一。2．挖一個(gè)長(zhǎng)8米、寬6米、深2米的蓄水池。

（1）這個(gè)蓄水池的占地面積是多少平方米？（2）如果給這個(gè)蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面積是多少平方米？（3）這個(gè)水池最多能蓄水多少噸？（1立方米的水重1噸）【答案】（1）48平方米；（2）104平方米；（3）96噸【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的底面積＝長(zhǎng)×寬，用8×6即可求出蓄水池的占地面積；（2）無(wú)蓋的長(zhǎng)方體表面積只有5個(gè)面的面積，根據(jù)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體面積＝長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高×2＋寬×高×2，用8×6＋8×2×2＋6×2×2即可求出抹水泥部分的面積；（3）根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，用8×6×2即可求出水池的容積，再用乘法求出水池最多能蓄水多少噸。【詳解】（1）8×6＝48（平方米）答：這個(gè)蓄水池的占地面積是48平方米。（2）8×6＋8×2×2＋6×2×2＝48＋32＋24＝104（平方米）答：抹水泥部分的面積是104平方米。（3）8×6×2＝96（立方米）96×1＝96（噸）答：這個(gè)水池最多能蓄水96噸。【點(diǎn)睛】本題主要考查了長(zhǎng)方體的表面積公式、體積公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握相關(guān)公式。【考點(diǎn)三】正方體的體積?！镜湫屠}】一個(gè)正方體玻璃容器的棱長(zhǎng)是15厘米，體積是多少立方厘米？解析：15×15×15＝225×15＝3375（立方厘米）答：體積是3375立方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)】1．把如圖所示的正方體鋼塊鍛造成底面積是的長(zhǎng)方體鋼錠，這根長(zhǎng)方體鋼錠的高是多少分米？

【答案】12分米【分析】鍛造前后的體積不變，則長(zhǎng)方體鋼錠的體積等于正方體鋼塊的體積，正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，長(zhǎng)方體的體積＝底面積×高，則用正方體的體積除以長(zhǎng)方體的底面積即可求出長(zhǎng)方體的高度?！驹斀狻浚?6×6÷18＝216÷18＝12（分米）答：根長(zhǎng)方體鋼錠的高是12分米。【點(diǎn)睛】明確鍛造前后體積不變是解題的關(guān)鍵。2．把棱長(zhǎng)為30厘米的正方體鋼坯，鍛造成寬為15厘米，高為8厘米的長(zhǎng)方體鋼條，這根鋼條的長(zhǎng)是多少厘米？【答案】225厘米【分析】由正方體變成長(zhǎng)方體，它的體積不變，先根據(jù)正方體的體積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，求出這塊鋼坯的體積，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式求出它的長(zhǎng)即可。【詳解】30×30×30÷（15×8）＝27000÷120＝225（厘米）答：這根鋼條的長(zhǎng)是225厘米。【點(diǎn)睛】先找出在變形中不變的量是什么，再根據(jù)不變的量求解?！究键c(diǎn)四】折疊圖形中的體積?！镜湫屠}】一塊長(zhǎng)、寬的長(zhǎng)方形鐵皮（如下圖），從四個(gè)角各切掉一個(gè)邊長(zhǎng)的正方形，然后做成盒子。（1）這個(gè)盒子用了多少平方厘米的鐵皮？（2）它的容積是多少？解析：（1）80×40－10×10×4＝3200－400＝2800（平方厘米）答：這個(gè)盒子用了2800平方厘米的鐵皮。（2）（立方厘米）答：它的容積是12000立方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】1．下面是一塊長(zhǎng)60厘米、寬50厘米的鐵皮，爸爸計(jì)劃用它做一個(gè)深5厘米無(wú)蓋的盒子裝奶糕，它能裝多少升的奶糕？

【答案】10升【分析】由圖可知，這個(gè)無(wú)蓋盒子是一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)＝長(zhǎng)方形的長(zhǎng)－5×2，長(zhǎng)方體的寬＝長(zhǎng)方形的寬－5×2，長(zhǎng)方體的高為5厘米，利用“長(zhǎng)方體的容積＝長(zhǎng)×寬×高”求出這個(gè)盒子的容積，據(jù)此解答?！驹斀狻浚?0－5×2）×（50－5×2）×5＝（60－10）×（50－10）×5＝50×40×5＝2000×5＝10000（立方厘米）10000立方厘米＝10立方分米＝10升答：它能裝10升的奶糕?！军c(diǎn)睛】本題主要考查長(zhǎng)方體容積公式的應(yīng)用，熟記公式是解答題目的關(guān)鍵。2．一塊長(zhǎng)方形鐵皮，如圖，從四個(gè)角各切掉一個(gè)邊長(zhǎng)為x厘米的正方形，焊接成一個(gè)無(wú)蓋盒子。

（1）當(dāng)x＝5時(shí)，焊接無(wú)蓋盒子用了多少鐵皮？（2）當(dāng)x＝5時(shí)，這個(gè)盒子的占地面積是多少？（3）當(dāng)x＝5時(shí)，這個(gè)盒子的容積是多少？（4）x可取的數(shù)值很多，在這些數(shù)值中，x＝5時(shí)的盒子容積是最小的嗎？請(qǐng)回答并寫出過(guò)程?！敬鸢浮浚?）775平方厘米；（2）375平方厘米；（3）1875立方厘米；（4）不是；見詳解【分析】（1）當(dāng)x＝5時(shí)，焊接無(wú)蓋盒子所用的鐵皮面積等于一個(gè)長(zhǎng)為35厘米，寬為25厘米的長(zhǎng)方形面積減去4個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方形的面積，利用長(zhǎng)方形和正方形的面積公式即可得解。（2）當(dāng)x＝5時(shí)，這個(gè)盒子的占地面積是一個(gè)長(zhǎng)為（35－2×5）厘米，寬為（25－2×5）厘米的長(zhǎng)方形，利用長(zhǎng)方形的面積公式即可得解。（3）根據(jù)長(zhǎng)方體的容積公式：V＝Sh，代入數(shù)據(jù)即可求出這個(gè)盒子的容積。（4）可假設(shè)x＝1和x＝2時(shí)，先分別求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，再利用長(zhǎng)方體的容積公式，分別求出這兩種情況下長(zhǎng)方體的容積，再與x＝5時(shí)所求的長(zhǎng)方體盒子的容積比較大小，即可得解?！驹斀狻浚?）當(dāng)x＝5時(shí)，焊接無(wú)蓋盒子所用的面積為：S＝35×25－4×52＝875－4×25＝875－100＝775（平方厘米）答：焊接無(wú)蓋盒子用了775平方厘米的鐵皮。（2）當(dāng)x＝5時(shí)，這個(gè)盒子占地為長(zhǎng)方形，該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：35－2x＝35－2×5＝35－10＝25（厘米）該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：25－2x＝25－2×5＝25－10＝15（厘米）25×15＝375（平方厘米）答：這個(gè)盒子的占地面積是375平方厘米。（3）當(dāng)x＝5時(shí)，這個(gè)盒子的容積為占地面積乘盒高。375×5＝1875（立方厘米）答：這個(gè)盒子的容積是1875立方厘米。（4）x可取的數(shù)值很多，在這些數(shù)值中，x＝5時(shí)的盒子容積不是最小的。理由如下：當(dāng)x＝1時(shí)，V＝（35－2）×（25－2）×1＝33×23×1＝759（立方厘米）當(dāng)x＝2時(shí)，V＝（35－4）×（25－4）×2＝31×21×2＝1302（立方厘米）759立方厘米＜1875立方厘米，1302立方厘米＜1875立方厘米答：在這些數(shù)值中，x＝5時(shí)的盒子容積不是最小的。【點(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體的特征、長(zhǎng)方體的表面積以及長(zhǎng)方體的容積的計(jì)算方法?！究键c(diǎn)五】等積變形問(wèn)題?！镜湫屠}】1.一個(gè)正方體實(shí)心鐵塊的棱長(zhǎng)總和是48分米，現(xiàn)將它熔鑄成一個(gè)底面積是32平方分米的實(shí)心長(zhǎng)方體鐵塊，熔鑄成的實(shí)心長(zhǎng)方體鐵塊的高是多少分米？解析：48÷12＝4（分米）4×4×4÷32＝16×4÷32＝64÷32＝2（分米）答：熔鑄成的實(shí)心長(zhǎng)方體鐵塊的高是2分米。2.一個(gè)正方體玻璃缸，棱長(zhǎng)6分米，用它裝滿水，再把水全部倒入一個(gè)底面積為30平方分米，高為10分米的長(zhǎng)方體水槽中，水深多少？解析：6×6×6÷30＝216÷30＝7.2（分米）答：水深7.2分米。3.如下圖所示，密閉的容器中裝有5厘米深的水。如果以這個(gè)容器的右側(cè)面為底面把容器豎起來(lái)，這時(shí)水深多少厘米？解析：30×10×5÷（10×15）＝300×5÷150＝1500÷150＝10（厘米）答：這時(shí)水深10厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)】1．手工課上，一名學(xué)生將一個(gè)棱長(zhǎng)6厘米的正方體橡皮泥捏成長(zhǎng)9厘米、寬4厘米的長(zhǎng)方體，捏成的長(zhǎng)方體的高是多少厘米？【答案】6厘米【分析】根據(jù)正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，用6×6×6即可求出橡皮泥的體積，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，用橡皮泥的體積÷9÷4即可求出捏成的長(zhǎng)方體的高。【詳解】6×6×6＝216（立方厘米）216÷9÷4＝6（厘米）答：捏成的長(zhǎng)方體的高是6厘米。【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體體積公式、長(zhǎng)方體體積公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握相關(guān)公式。2．把一塊棱長(zhǎng)為30厘米的正方體鐵塊，熔鑄成一個(gè)寬4.5分米，高1.2分米的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊的長(zhǎng)是多少厘米？（損耗不計(jì)）【答案】50厘米【分析】根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，代入數(shù)據(jù)求出正方體鐵塊的體積，熔鑄后，體積不變，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)即可求出這個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊的長(zhǎng)。【詳解】4.5分米＝45厘米1.2分米＝12厘米30×30×30÷（45×12）＝27000÷540＝50（厘米）答：這個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊的長(zhǎng)是50厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查等積變形，靈活運(yùn)用正方體和長(zhǎng)方體的體積公式求解。3．一個(gè)長(zhǎng)方體的容器（如圖），里面的水深5厘米，把這個(gè)容器蓋擰緊后豎放，使長(zhǎng)10厘米、寬8厘米的面朝下，這時(shí)里面的水深是多少厘米？

【答案】12.5厘米【分析】水的體積不管怎么放都是不變的，水的體積＝容器的底面積×水面高度，則用20×10×5先求出水的體積，再用水的體積除以容器新的底面積，即可求出此時(shí)水的深度是多少厘米?！驹斀狻?0×10×5÷（8×10）＝1000÷80＝12.5（厘米）答：這時(shí)容器里面的水深是12.5厘米?！军c(diǎn)睛】明確水的體積不管如何擺放容器都是不變的是解題的關(guān)鍵?！究键c(diǎn)六】排水法求不規(guī)則物體的體積?！镜湫屠}】1.在一個(gè)底