新教材2024版高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共線向量等概念數(shù)學(xué)抽象2.會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，了解向量加法的交換律和結(jié)合律直觀想象、邏輯推理3.掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的意義及運(yùn)算律數(shù)學(xué)運(yùn)算|自學(xué)導(dǎo)引|

空間向量的概念1．定義：與平面向量一樣，在空間，我們把具有________和________的量叫做空間向量(spacevector)．2．長(zhǎng)度或模：空間向量的________．3．表示方法：①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；②幾何表示法：空間向量也用__________表示，有向線段的________表示空間向量的_______，向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可以記作，其模記為_(kāi)___________．大小方向

大小

有向線段

長(zhǎng)度模4．幾類特殊的空間向量：名稱定義及表示零向量規(guī)定長(zhǎng)度為_(kāi)_______的向量叫零向量，記為_(kāi)_______單位向量模為_(kāi)_______的向量叫單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度________而方向________的向量，稱為a的相反向量，記為－a0

0

1

相等相反名稱定義及表示相等向量方向________且模________的向量稱為相等向量，同向且等長(zhǎng)有向線段表示同一向量或相等向量共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線__________________，那么這些向量叫做__________或平行向量相同相等

互相平

行或重合

共線向量

【答案】(1)√

(2)×

(3)×【預(yù)習(xí)自測(cè)】若表示空間兩個(gè)相等向量的有向線段的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同嗎？【答案】提示：因?yàn)橄嗟认蛄康姆较蛳嗤L(zhǎng)度相等，所以表示相等向量的有向線段的起點(diǎn)相同時(shí)，終點(diǎn)也相同．微思考空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律線性運(yùn)算的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；(3)分配律：(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝__________(λ，μ∈R)λa＋μa

λa＋λb

【答案】C

【預(yù)習(xí)自測(cè)】【答案】①

【解析】①中兩個(gè)向量的方向一定不同，正確；②中只能說(shuō)明以表示a，b的有向線段為鄰邊的四邊形為矩形，但|a|與|b|不一定相等，錯(cuò)誤；③中向量不能進(jìn)行大小比較，錯(cuò)誤．

空間向量共線的充要條件對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在_______，使a＝______．實(shí)數(shù)λ

λb

微思考【預(yù)習(xí)自測(cè)】直線的方向向量若非零向量a在直線l上，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．直線的方向向量有什么特點(diǎn)？【答案】提示：非零，與直線平行．微思考【預(yù)習(xí)自測(cè)】共面向量1．定義：平行于______________的向量叫做共面向量．2．充要條件：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使___________．同一個(gè)平面

p＝xa＋yb

【答案】(1)×

(2)√【預(yù)習(xí)自測(cè)】【答案】2

空間中任意兩個(gè)向量是否都共面？【答案】提示：是，向量可以自由平移，任意兩個(gè)向量都可以平移到一個(gè)平面內(nèi)．微思考|課堂互動(dòng)|題型1有關(guān)空間向量的概念的理解【答案】C

處理空間向量概念問(wèn)題要關(guān)注的兩個(gè)要素和兩個(gè)關(guān)系(1)兩個(gè)要素判斷與空間向量有關(guān)的命題時(shí)，要抓住空間向量的兩個(gè)主要要素，即大小與方向，兩者缺一不可．(2)兩個(gè)關(guān)系①模相等與空間向量相等的關(guān)系：兩個(gè)空間向量的模相等，則它們的長(zhǎng)度相等，但方向不確定，即兩個(gè)空間向量(非零向量)的模相等是兩個(gè)空間向量相等的必要不充分條件．②向量的模與空間向量大小的關(guān)系：由于方向不能比較大小，因此“大于”“小于”對(duì)空間向量來(lái)說(shuō)是沒(méi)有意義的．但空間向量的模是可以比較大小的．1．下列四個(gè)命題：①所有的單位向量都相等；②方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；③若a，b滿足|a|>|b|，且a，b同向，則a>b；④零向量沒(méi)有方向．其中不正確的命題的序號(hào)為_(kāi)_______.【答案】①②③④【解析】對(duì)于①，單位向量是指長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定義，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，向量是不能比較大小的，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，零向量有方向，只是沒(méi)有確定的方向，故④錯(cuò)誤．空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧(1)巧用相反向量：向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運(yùn)算的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必要注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果．題型3空間向量的共面角度1向量共線【答案】A

證明空間向量共面、點(diǎn)共面的常用方法(1)證明空間三個(gè)向量共面常用的方法①證明其中一個(gè)空間向量可以表示成另兩個(gè)空間向量的線性組合，即若a＝xb＋yc，則空間向量a，b，c共面；②尋找平面α，證明這些空間向量與平面α平行．錯(cuò)解分析：分析解題過(guò)程，錯(cuò)誤的根本原因是空間向量的數(shù)乘運(yùn)算與加法運(yùn)算的幾何意義綜合應(yīng)用不當(dāng)．|素養(yǎng)達(dá)成|1．對(duì)空間向量數(shù)乘運(yùn)算的三點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1)類比平面向量，空間中任意實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，所以它既有大小又有方向，大小為|a|的|λ|倍，方向取決于λ的正負(fù)．(2)實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ＋a，λ－a無(wú)意義．(3)特殊情況：當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，向量λa＝0.2．共線向量充要條件的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)區(qū)別：共線向量與直線平行的區(qū)別，直線平行不包括兩直線重合的情況，而我們說(shuō)的兩個(gè)共線向量a∥b，表示向量a，b的有向線段所在直線既可以是同一直線，也可以是兩條平行直線．(2)零向量：共線向量的充要條件及其推論是證明共線(平行)問(wèn)題的重要依據(jù)，條件b≠0不可遺漏．(3)方向向量的個(gè)數(shù)：直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量．一條直線的方向向量有無(wú)限多個(gè)，它們的方向相同或相反．3．對(duì)共面向量的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)共面的理解：共面向量是指與同一個(gè)平面平行的向量，可將共面向量平移到同一個(gè)平面內(nèi)．共面向量所在的直線可能相交、平行或異面．(2)向量的“自由性”：空間任意的兩向量都是共面的．只要方向相同，大小相等的向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量．4．共面向量充要條件的三個(gè)作用(1)建立共面向量之間的向量關(guān)系式：用兩個(gè)不共線的向量可以表示與這兩個(gè)向量共面的任意向量．例如：如果兩個(gè)向量a，b不共線，由向量c與向量a，b共面可得，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使c＝xa＋yb.1．(題型1)下列說(shuō)法中正確的是

(

)A．任意兩個(gè)空間向量都可以比較大小B．方向不同的空間向量不能比較大小，但同向的空間向量可以比較大小C．空間向量的大小與方向有關(guān)D．空間向量的?？梢员容^大小【答案】D

【解析】A，B兩項(xiàng)，任意兩個(gè)空間向量，不論同向還是不同向均不存在大小關(guān)系，故A，B錯(cuò)誤；C中，向量的大小只與其長(zhǎng)度有關(guān)，與方向沒(méi)有關(guān)