橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

內(nèi)容：§2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時）作者：永安一中邱宗榮時間：2011年10月27日橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)置情境問題誘導(dǎo)

2005年10月12日上午9時，“神舟六號”載人飛船順利升空，實現(xiàn)多人多天飛行，標(biāo)志著我國航天事業(yè)又上了一個新臺階，請問：“神舟六號”載人飛船的運行軌道是什么？

神舟六號在進入太空后，先以遠地點347公里、近地點200公里的橢圓軌道運行，后經(jīng)過變軌調(diào)整為距地343公里的圓形軌道.天體的運行生活中的橢圓如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？生活中的橢圓橢圓的畫法生活中的橢圓請同學(xué)們列舉實際生活中的橢圓形例子。

除體育場跑道、衛(wèi)星運行軌跡外，還有灑水車和油罐車的橫截面、拱橋的圓拱、國家大劇院輪廓等。

橢圓在實際生活中是很常見的，學(xué)習(xí)橢圓的相關(guān)知識也十分必要，那么如何統(tǒng)一地研究生活中出現(xiàn)的各種各樣的橢圓呢？這就是我們今天要探究的——橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。返回主菜單問題與探究1、什么是圓？2、取一條定長的細繩，把它的兩端點固定在圖板的同一點書處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動鉛筆問：筆尖畫出什么圖形？3、將細繩兩端拉開一定的距離，分別固定在圖板的兩點處，當(dāng)繩長大于兩點間的距離時，套上鉛筆，拉緊繩子，移動鉛筆，問：筆尖畫出什么圖形？4．改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？5．繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？

結(jié)果分析平面內(nèi)；——這是大前提動點M到F1

、F2的距離之和是常數(shù)2a；常數(shù)2a要大于兩定點F1

、F2的距離.|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|滿足幾個條件的動點的軌跡叫橢圓？橢圓的定義

平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和是常數(shù)2a

（大于|F1F2|=2c）的點的軌跡叫橢圓。注：定義中對“常數(shù)”加上了一個條件，即常數(shù)要大于|F1F2|，這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)軌跡為一條線段或無軌跡兩種特殊情況，這一點非常重要。

返回主菜單兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距。MF1F2|MF1|+|MF2|=2a>2c歸納：

|MF1|+|MF2|＞|F1F2|橢圓|MF1|+|MF2|=|F1F2|線段|MF1|+|MF2|＜|F1F2|不存在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義可知它的基本特征，但對于這種曲線還具有哪些性質(zhì)，我們幾乎一無所知，因此需要建立橢圓的方程，以便于做進一步的認識。坐標(biāo)法（直接法）建系、設(shè)點列式坐標(biāo)化化簡檢驗求曲線方程的一般方法是什么？用坐標(biāo)法求曲線方程的一般步驟是什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)下面根據(jù)橢圓的定義來求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。1.建立坐標(biāo)系以F1、F2的中點O為原點，直線F1F2為x軸，建立直角坐標(biāo)系。xyOF1F2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)2.設(shè)點、列式設(shè)M(x,y)是橢圓上任一點，設(shè)橢圓的焦距2c(c>0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別為(-c,0),(c,0)，又設(shè)M與F1、F2的距離的和為2a。由橢圓的定義，橢圓就是集合將其坐標(biāo)化為yxF1F2OM(x,y)

小資料

含根式方程的化簡方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移到另一邊；方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項。

含根號的等式化簡目的就是要去除根號，變無理式為有理式。

化簡根式方程

化簡根式方程引入字母b(b>0)

，令方程叫做焦點在x軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.從而橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)yxF1F2OM(x,y)它表示：1.橢圓的焦點在x軸2.焦點是F1(-c,0)、F2(c,0)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)它表示：1.橢圓的焦點在y軸2.焦點是F1(0,-c)、F2(0,c)yxMF2F1O

圖形方程焦點F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)定義12yoFFMx1oFyx2FM注:共同點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.不同點：焦點在x軸的橢圓項分母較大.

焦點在y軸的橢圓項分母較大.

典例精析：例1

判斷下列橢圓的焦點位置，并求出焦點坐標(biāo)和焦距:（1）（2）解析

通過比較分母大小確定焦點位置，結(jié)合a,b,c的關(guān)系式求出焦點坐標(biāo)和焦距.答案

（1）焦點在x軸，焦點（-6，0）、（6，0）焦距為12；（2）焦點在y軸，焦點（0，-4）、（0，4）焦距為8。類型一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)1.下列方程哪些表示橢圓？若是,則判定其焦點在哪條坐標(biāo)軸？

牛刀小試則a＝

，b＝

，，則a＝

，b＝

，5332焦點坐標(biāo)為___________,

焦距等于___.（-4，0）（4，0）8焦點坐標(biāo)為_____________,焦距等于______.

牛刀小試例題2.已知方程表示焦點在x軸

上的橢圓，則m的取值范圍是

.(0,4)變1：已知方程

表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是

.(1,2)變2：方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個圓；②表示一個橢圓；③表示焦點在x軸上的橢圓。類型二：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例3寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a=4,b=1,焦點在x軸上

典例精析例2平面內(nèi)有兩個定點(-4,0)、(4，0),動點P到兩定點距離的和是10，求點P的軌跡方程。分析變式②常數(shù)大于兩定點間的距離，故軌跡為橢圓；①和是常數(shù)③焦點在x軸，過兩定點的連線是x軸，它的線段的垂直平分線為y軸，從而保證方程是標(biāo)準(zhǔn)方程；④根據(jù)已知求出a,c，進而推出b,從而求得方程簡解2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b=3本題中10改為8，結(jié)果如何？典例精析例

3解析∵橢圓的焦點在y軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓定義知解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則有

，解得

所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.課堂小結(jié)(1)（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有幾個？答：2個。焦點分別在x軸、y軸上。（2）給出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何判斷焦點位置？答：