高考數(shù)學(xué) 數(shù)列專題復(fù)習(xí)及高考數(shù)列專題總結(jié)

-PAGE3- 專題一數(shù)列【知識(shí)框架】【知識(shí)要點(diǎn)1】一、數(shù)列的概念1.數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作a1,a2,a3……an,……簡記{an}.

2.數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系若用一個(gè)公式an=f(n)給出，則這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

3.如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任何一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，即an=f（an-1）或an=f（an-1，an-2），那么這個(gè)式子叫做數(shù)列{an}的遞推公式.4.數(shù)列可以看做定義域?yàn)镹*（或其子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量由小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的點(diǎn)。二、數(shù)列的表示方法：列舉法、圖示法、解析法（用通項(xiàng)公式表示）和遞推法（用遞推關(guān)系表示）。三、數(shù)列的分類1.

按照數(shù)列的項(xiàng)數(shù)分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。

2.

按照任何一項(xiàng)的絕對(duì)值是否不超過某一正數(shù)分：有界數(shù)列、無界數(shù)列。

3.

從函數(shù)角度考慮分：（考點(diǎn)）①遞增數(shù)列：對(duì)于任何n∈ N+，均有an+1>an②遞減數(shù)列：對(duì)于任何n∈ N+，均有an+1<an③擺動(dòng)數(shù)列：例如:1，-1，1，-1，1，-1…④常數(shù)數(shù)列：例如:6，6，6，6，6，6…⑤有界數(shù)列：存在正數(shù)M，使an<M,n∈N+⑥無界數(shù)列：對(duì)于任何正數(shù)M,總有項(xiàng)an,使得|an|>MS1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)1.Sn=a1+a2+a3+…+an=2.an=【例題1】已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,其通項(xiàng)公式為an=n2+λn（n=1，2，3…）,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍。[解析]： ∵數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2+λn（n=1，2，3…）數(shù)列是遞增數(shù)列∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0恒成立∵2n+1+λ的最小值是3+λ∴3+λ>0∴λ>-3實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-3，+∞）【例題2】數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n2-28n,則數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是（B）A．第４項(xiàng)

B．第５項(xiàng)

C．第６項(xiàng)

D．第７項(xiàng)[解析1]：an=f(n)=3n2-28n，f(n)是一元二次函數(shù)，其圖像開口向上，有最低點(diǎn)，最低點(diǎn)是由于n∈ N+，故取n=4和n=5代入，得到a4=-64，a5=-65，故選擇Ban≥anan≥an-1an≤an+13n2-28n≥3(n-1)2-28(n-1)3n2-28n≤3(n+1)2-28(n+1)設(shè)an為數(shù)列的最小項(xiàng)，則有代入化簡得到解得：故n=5【練習(xí)1】在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x的值為（

Ｄ

）-2(n=1)-2(n=1)2n-5(n≥2)【練習(xí)2】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-4n+1，則anan=【知識(shí)要點(diǎn)2等差數(shù)列】1.定義：如果數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即an-an-1=d（n∈N+，且n≥2），或者an+1-an=d（n∈N+）2.通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d(公式的變形)an=an+b其中a=d，b=a1-d3.前n項(xiàng)和公式：(公式的變形)Sn=An2+Bn其中A=B=4.性質(zhì)：（1）公式變形（2）如果A=,那么A叫做a和b的等差中項(xiàng).（3）若{}為等差數(shù)列，且有k+l=m+n,則（4）若為等差數(shù)列則{是等差數(shù)列，其中p,q均為常數(shù)（5）若{}為等差數(shù)列，則（k,m）組成公差為md的等差數(shù)列.（6）若分別為{}的前n項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則,,成等差數(shù)列.（7）若{}設(shè)等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{}首項(xiàng)相同，公差是{}公差的（7）非零等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)若項(xiàng)數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd，若項(xiàng)數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an，S奇=nan，5.判斷：①定義法：an+1-an=d（n∈N+）

②

中項(xiàng)法：

2an+1=an+an+2{}為等差數(shù)列。

③通項(xiàng)公式法：an=an+b（a,b為常數(shù)）④前n項(xiàng)和公式法：Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)）【例題1】已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若，則（B）（A）（B）（C）（D）[解析]：∵d=1∴S8=8a1+28S4=4a1+6∵S8=4S4∴a1=0.5an=a1+(n-1)d∴a10=【例題2】在等差數(shù)列中，若，則=10.[解析]：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，即，所以，故應(yīng)填入．【知識(shí)要點(diǎn)3等比數(shù)列】1.定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)不為零的常熟，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常熟叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，及2.通項(xiàng)公式：na1(q=1)或na1(q=1)或(q≠1)3.前n項(xiàng)和公式：設(shè)等比數(shù)列{}的公比為q，其前n項(xiàng)和=QUOTEn(q=1)或(q≠1）4.性質(zhì)：（1）等比數(shù)列{}滿足>0q>1或0<q<1時(shí)，{}是遞增數(shù)列；滿足<0q>1或0<q<1時(shí)，{}是遞減數(shù)列.當(dāng)q=1時(shí)，{}為常數(shù)數(shù)列；當(dāng)q<0時(shí)，{}為擺動(dòng)數(shù)列，且所有奇數(shù)項(xiàng)與同號(hào)，所有偶數(shù)項(xiàng)與異號(hào).（2）對(duì)于正整數(shù)m,n,p,q,若m+n=p+q,則在等比數(shù)列{}中，的關(guān)系為:（3）若{},{}為等比數(shù)列（項(xiàng)數(shù)相同），則{}(≠0),{},{},{},{}仍是等比數(shù)列.（4）如果a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，且G=±√ab。不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)等比中項(xiàng)?！纠}1】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于.[解析]：由題意解得：a1=1，a4=8，q=2，那么【例題2】數(shù)列中為的前n項(xiàng)和，若，則6.[解析]：∵an+1=2an∴數(shù)列是等比數(shù)列，q=2∵Sn==126其中a1=2∴n=6【知識(shí)要點(diǎn)4】★（大題）一、考點(diǎn)1：求an：1.歸納法（由特殊到一般即找規(guī)律）由于歸納法求解通項(xiàng)的題目一般在選擇填空常見，較少出現(xiàn)在大題中。利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式由Sn求an時(shí)，要分n=1和n≥2QUOTE≥2兩種情況討論，然后驗(yàn)證兩種情況能否用統(tǒng)一的式子表示。若不能，則分段表示.QUOTEan=(n=1)(n≥2)由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式【累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法）、迭代法、對(duì)數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、換元法（目的是去遞推關(guān)系式中出現(xiàn)的根號(hào)）、數(shù)學(xué)歸納法、不動(dòng)點(diǎn)法（遞推式是一個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的分式表達(dá)式）、特征根法】1.累加法：若已知且則，即.2.累乘法：若已知且則,即3.換元法：若已知且且p）則令,可得{}（其中）為等比數(shù)列，其中可用待定系數(shù)法求出.【例題1】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（累加法）解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。【例題2】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（累乘法）解：因?yàn)?，所以，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為二、考點(diǎn)2：求Sn：1.公式法：直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解2.倒序相加法：在數(shù)列{}中，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)和相等或可構(gòu)成能求和的新數(shù)列，可用倒序相加法求此數(shù)列的前n項(xiàng)和。（此法在實(shí)際解體過程中并不常用，例子：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)）3.錯(cuò)位相減法：在數(shù)列{}中，{}是等差數(shù)列，{}是等比數(shù)列，可用錯(cuò)位相減法求此數(shù)列的前n項(xiàng)和.4.裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，求和時(shí)有些部分可以相互抵消，從而達(dá)到求和的目的.5.分組轉(zhuǎn)化求和法：若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法分別求和再相加減。即把復(fù)雜的通項(xiàng)公式求和的任務(wù)轉(zhuǎn)化為簡單的等差和等比的求和。6.并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.【例題1】設(shè)數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。（錯(cuò)位相減法）[解析]：（1）由已知，當(dāng)n≥1時(shí)，。而所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為。（2）由知①從而②-②得即【例題2】求數(shù)列的前n項(xiàng)和。（裂項(xiàng)相消法）[解析]：設(shè)（裂項(xiàng)）則（裂項(xiàng)求和）＝＝數(shù)列專題復(fù)習(xí)（0929）證明等差等比數(shù)列等差數(shù)列的證明方法：（1）定義法：(常數(shù))（2）等差中項(xiàng)法：2．等比數(shù)列的證明方法：（1）定義法：(常數(shù))（2）等比中項(xiàng)法： 例1.設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，求Tn．解：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，則Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴即解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）．∵，∴數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為－2，公差為，∴Tn＝n2－n．例2．設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式：3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t ①3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t ②①－②得3tan－（2t+3）an－1=0∴，（n=2，3，…）所以{an}是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.練習(xí)：已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)；答案.(2),;二．通項(xiàng)的求法（1）利用等差等比的通項(xiàng)公式(2)累加法：例3．已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，（3）構(gòu)造等差或等比或例4．已知數(shù)列滿足 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解： 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。 即例5．已知數(shù)列中，,，求.解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：,所以.練習(xí):已知數(shù)列滿足，且。 （1）求； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解： （1） （2） ∴ （4）利用例6．若和分別表示數(shù)列和的前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：……2分當(dāng)當(dāng)……4分練習(xí)：1.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)當(dāng)a1=3時(shí)，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比數(shù)列∴a當(dāng)a1=2時(shí)，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－32．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（Ⅰ）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（Ⅱ）設(shè)，，證明：解：（I），解得：所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列所以：得：（其中n為正整數(shù)）（II）所以：（5）累積法轉(zhuǎn)化為，逐商相乘.例7．已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，練習(xí)：1.已知，，求。解：。2．已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)解：由已知，得，用此式減去已知式，得當(dāng)時(shí)，，即，又，，將以上n個(gè)式子相乘，得（6）倒數(shù)變形：,兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例8：已知數(shù)列｛an｝滿足：，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，練習(xí)：已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；解：將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n1）三．?dāng)?shù)列求和1、等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：3、錯(cuò)位相減法求和{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例9．求和：解：由題可知，設(shè)………①…②（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得（錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：?！嗑毩?xí)：求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，{}的通項(xiàng)