高考數(shù)學 數(shù)列專題復習及高考數(shù)列專題總結

-PAGE3- 專題一數(shù)列【知識框架】【知識要點1】一、數(shù)列的概念1.數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作a1,a2,a3……an,……簡記{an}.

2.數(shù)列{an}的第n項an與項數(shù)n的關系若用一個公式an=f(n)給出，則這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。

3.如果已知數(shù)列{an}的第一項（或前幾項），且任何一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關系可以用一個式子來表示，即an=f（an-1）或an=f（an-1，an-2），那么這個式子叫做數(shù)列{an}的遞推公式.4.數(shù)列可以看做定義域為N*（或其子集）的函數(shù)，當自變量由小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的點。二、數(shù)列的表示方法：列舉法、圖示法、解析法（用通項公式表示）和遞推法（用遞推關系表示）。三、數(shù)列的分類1.

按照數(shù)列的項數(shù)分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。

2.

按照任何一項的絕對值是否不超過某一正數(shù)分：有界數(shù)列、無界數(shù)列。

3.

從函數(shù)角度考慮分：（考點）①遞增數(shù)列：對于任何n∈ N+，均有an+1>an②遞減數(shù)列：對于任何n∈ N+，均有an+1<an③擺動數(shù)列：例如:1，-1，1，-1，1，-1…④常數(shù)數(shù)列：例如:6，6，6，6，6，6…⑤有界數(shù)列：存在正數(shù)M，使an<M,n∈N+⑥無界數(shù)列：對于任何正數(shù)M,總有項an,使得|an|>MS1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)1.Sn=a1+a2+a3+…+an=2.an=【例題1】已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,其通項公式為an=n2+λn（n=1，2，3…）,則實數(shù)λ的取值范圍。[解析]： ∵數(shù)列{an}的通項公式為an=n2+λn（n=1，2，3…）數(shù)列是遞增數(shù)列∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0恒成立∵2n+1+λ的最小值是3+λ∴3+λ>0∴λ>-3實數(shù)λ的取值范圍是（-3，+∞）【例題2】數(shù)列{an}的通項公式為an=3n2-28n,則數(shù)列各項中最小項是（B）A．第４項

B．第５項

C．第６項

D．第７項[解析1]：an=f(n)=3n2-28n，f(n)是一元二次函數(shù)，其圖像開口向上，有最低點，最低點是由于n∈ N+，故取n=4和n=5代入，得到a4=-64，a5=-65，故選擇Ban≥anan≥an-1an≤an+13n2-28n≥3(n-1)2-28(n-1)3n2-28n≤3(n+1)2-28(n+1)設an為數(shù)列的最小項，則有代入化簡得到解得：故n=5【練習1】在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x的值為（

Ｄ

）-2(n=1)-2(n=1)2n-5(n≥2)【練習2】數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-4n+1，則anan=【知識要點2等差數(shù)列】1.定義：如果數(shù)列{an}從第二項起每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即an-an-1=d（n∈N+，且n≥2），或者an+1-an=d（n∈N+）2.通項公式：an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d(公式的變形)an=an+b其中a=d，b=a1-d3.前n項和公式：(公式的變形)Sn=An2+Bn其中A=B=4.性質：（1）公式變形（2）如果A=,那么A叫做a和b的等差中項.（3）若{}為等差數(shù)列，且有k+l=m+n,則（4）若為等差數(shù)列則{是等差數(shù)列，其中p,q均為常數(shù)（5）若{}為等差數(shù)列，則（k,m）組成公差為md的等差數(shù)列.（6）若分別為{}的前n項，前2m項，前3m項的和，則,,成等差數(shù)列.（7）若{}設等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，其首項與{}首項相同，公差是{}公差的（7）非零等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質若項數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd，若項數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an，S奇=nan，5.判斷：①定義法：an+1-an=d（n∈N+）

②

中項法：

2an+1=an+an+2{}為等差數(shù)列。

③通項公式法：an=an+b（a,b為常數(shù)）④前n項和公式法：Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)）【例題1】已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（B）（A）（B）（C）（D）[解析]：∵d=1∴S8=8a1+28S4=4a1+6∵S8=4S4∴a1=0.5an=a1+(n-1)d∴a10=【例題2】在等差數(shù)列中，若，則=10.[解析]：因為是等差數(shù)列，所以，即，所以，故應填入．【知識要點3等比數(shù)列】1.定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個不為零的常熟，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常熟叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，及2.通項公式：na1(q=1)或na1(q=1)或(q≠1)3.前n項和公式：設等比數(shù)列{}的公比為q，其前n項和=QUOTEn(q=1)或(q≠1）4.性質：（1）等比數(shù)列{}滿足>0q>1或0<q<1時，{}是遞增數(shù)列；滿足<0q>1或0<q<1時，{}是遞減數(shù)列.當q=1時，{}為常數(shù)數(shù)列；當q<0時，{}為擺動數(shù)列，且所有奇數(shù)項與同號，所有偶數(shù)項與異號.（2）對于正整數(shù)m,n,p,q,若m+n=p+q,則在等比數(shù)列{}中，的關系為:（3）若{},{}為等比數(shù)列（項數(shù)相同），則{}(≠0),{},{},{},{}仍是等比數(shù)列.（4）如果a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，且G=±√ab。不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個等比中項?！纠}1】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項和等于.[解析]：由題意解得：a1=1，a4=8，q=2，那么【例題2】數(shù)列中為的前n項和，若，則6.[解析]：∵an+1=2an∴數(shù)列是等比數(shù)列，q=2∵Sn==126其中a1=2∴n=6【知識要點4】★（大題）一、考點1：求an：1.歸納法（由特殊到一般即找規(guī)律）由于歸納法求解通項的題目一般在選擇填空常見，較少出現(xiàn)在大題中。利用Sn與an的關系求通項公式由Sn求an時，要分n=1和n≥2QUOTE≥2兩種情況討論，然后驗證兩種情況能否用統(tǒng)一的式子表示。若不能，則分段表示.QUOTEan=(n=1)(n≥2)由遞推關系求數(shù)列的通項公式【累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法）、迭代法、對數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、換元法（目的是去遞推關系式中出現(xiàn)的根號）、數(shù)學歸納法、不動點法（遞推式是一個數(shù)列通項的分式表達式）、特征根法】1.累加法：若已知且則，即.2.累乘法：若已知且則,即3.換元法：若已知且且p）則令,可得{}（其中）為等比數(shù)列，其中可用待定系數(shù)法求出.【例題1】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（累加法）解：由得則所以數(shù)列的通項公式為?！纠}2】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（累乘法）解：因為，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為二、考點2：求Sn：1.公式法：直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解2.倒序相加法：在數(shù)列{}中，與首末兩端等“距離”的兩項和相等或可構成能求和的新數(shù)列，可用倒序相加法求此數(shù)列的前n項和。（此法在實際解體過程中并不常用，例子：等差數(shù)列前n項和公式推導）3.錯位相減法：在數(shù)列{}中，{}是等差數(shù)列，{}是等比數(shù)列，可用錯位相減法求此數(shù)列的前n項和.4.裂項相消法：把數(shù)列的每一項拆成兩項之差，求和時有些部分可以相互抵消，從而達到求和的目的.5.分組轉化求和法：若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列組成，則求和時可用分組轉化法分別求和再相加減。即把復雜的通項公式求和的任務轉化為簡單的等差和等比的求和。6.并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如類型，可采用兩項合并求解.【例題1】設數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和。（錯位相減法）[解析]：（1）由已知，當n≥1時，。而所以數(shù)列{}的通項公式為。（2）由知①從而②-②得即【例題2】求數(shù)列的前n項和。（裂項相消法）[解析]：設（裂項）則（裂項求和）＝＝數(shù)列專題復習（0929）證明等差等比數(shù)列等差數(shù)列的證明方法：（1）定義法：(常數(shù))（2）等差中項法：2．等比數(shù)列的證明方法：（1）定義法：(常數(shù))（2）等比中項法： 例1.設｛an｝為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列｛｝的前n項和，求Tn．解：設等差數(shù)列｛an｝的公差為d，則Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴即解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）．∵，∴數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，其首項為－2，公差為，∴Tn＝n2－n．例2．設數(shù)列{an}的首項a1=1，前n項和Sn滿足關系式：3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t ①3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t ②①－②得3tan－（2t+3）an－1=0∴，（n=2，3，…）所以{an}是一個首項為1，公比為的等比數(shù)列.練習：已知a1=2，點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；設Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項；答案.(2),;二．通項的求法（1）利用等差等比的通項公式(2)累加法：例3．已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，（3）構造等差或等比或例4．已知數(shù)列滿足 求數(shù)列的通項公式；解： 是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。 即例5．已知數(shù)列中，,，求.解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：,所以.練習:已知數(shù)列滿足，且。 （1）求； （2）求數(shù)列的通項公式。解： （1） （2） ∴ （4）利用例6．若和分別表示數(shù)列和的前項和，對任意正整數(shù)，.求數(shù)列的通項公式；解：……2分當當……4分練習：1.已知正項數(shù)列{an}，其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項an解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)當a1=3時，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比數(shù)列∴a當a1=2時，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－32．設數(shù)列的前項的和，（Ⅰ）求首項與通項；（Ⅱ）設，，證明：解：（I），解得：所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列所以：得：（其中n為正整數(shù)）（II）所以：（5）累積法轉化為，逐商相乘.例7．已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，練習：1.已知，，求。解：。2．已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，(n≥2)，則{an}的通項解：由已知，得，用此式減去已知式，得當時，，即，又，，將以上n個式子相乘，得（6）倒數(shù)變形：,兩邊取倒數(shù)后換元轉化為。例8：已知數(shù)列｛an｝滿足：，求數(shù)列｛an｝的通項公式。解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，練習：已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝求數(shù)列｛an｝的通項公式；解：將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個等比數(shù)列，其首項為1－＝，公比，從而1－＝，據此得an＝（n1）三．數(shù)列求和1、等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：3、錯位相減法求和{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例9．求和：解：由題可知，設………①…②（設制錯位）①－②得（錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：?！嗑毩暎呵髷?shù)列前n項的和.解：由題可知，{}的通項