新課標(biāo)下初中學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)

【摘

要】本文從數(shù)感結(jié)構(gòu)的數(shù)、運算、估計、情境四方面入手，結(jié)合實例，提出了從數(shù)的認識、數(shù)的運算與估算以及數(shù)感在解決問題中的應(yīng)用這三個角度，在課堂中滲透數(shù)感思維的數(shù)感培養(yǎng)方法?！娟P(guān)鍵詞】新課標(biāo);數(shù)感;運算;估計數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算及運算結(jié)果估計等方面的感悟，以及運用數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式進行推理與解決問題的能力，即在一定程度上能主動地、自覺地理解數(shù)和運用數(shù)的態(tài)度與意識，亦即學(xué)會“數(shù)學(xué)地”思考。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中指出，在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為：抽象能力（包括數(shù)感、量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識。數(shù)的認識是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。從認識自然數(shù)，到有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)，我們學(xué)習(xí)的數(shù)越來越復(fù)雜、抽象。但是數(shù)字的學(xué)習(xí)逃不開對于數(shù)的意義、數(shù)的關(guān)系的學(xué)習(xí)。認識數(shù)、理解數(shù)是良好運用數(shù)字的基礎(chǔ)，也是數(shù)感建立的基礎(chǔ)。一、數(shù)的認識在小學(xué)，學(xué)生認識了基本的自然數(shù)、小數(shù)。學(xué)生通常是在豐富的實際生活背景中抽象出數(shù)字的概念。進入初中后，人教版初中數(shù)學(xué)第一課是正數(shù)與負數(shù)。在學(xué)習(xí)新知識“負數(shù)”時，我們也應(yīng)利用學(xué)生熟悉的情境，讓學(xué)生覺得負數(shù)的出現(xiàn)是有必要的。例1：（1）北京冬季里某一天的氣溫為-3℃～3℃?！?3”的含義是什么？這一天北京的溫差是多少？（2）某年，我國花生產(chǎn)量比上一年增長1.8%，油菜籽產(chǎn)量比上一年增長-2.7%，“增長-2.7%”表達什么意思？本章引言中給出兩個具體的生活實例。溫度是學(xué)生熟悉的，產(chǎn)量增長是生產(chǎn)實踐中常用的數(shù)據(jù)，都是具體生動的例子。由于生活和生產(chǎn)的需要，產(chǎn)生了新的數(shù)——負數(shù)。其中，-3℃表示零下3攝氏度、增長-2.7%表示減少2.7%。在給出更多的具體例子后，我們能引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：如果一個問題中出現(xiàn)相反意義的量，我們可以用正數(shù)和負數(shù)分別表示它們。上述的案例中，學(xué)生通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的觀察，理解負數(shù)的現(xiàn)實背景和產(chǎn)生的必要性，也能感受到數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。認識數(shù)字后，學(xué)生要意識到數(shù)字不是孤立的，學(xué)生要懂得尋找數(shù)字之間的關(guān)聯(lián)。進入初中后，數(shù)的范圍擴大到了實數(shù)。因此，每個數(shù)字都有所屬的集合。例2：屬于下列哪個集合（

）。A.分?jǐn)?shù)集合

B.無理數(shù)集合

C.正數(shù)集合經(jīng)過測試，50名初三學(xué)生中有32名學(xué)生選擇B、C，6名學(xué)生選擇A、C，10名學(xué)生選擇B，2名學(xué)生選擇C。對于單獨選B的學(xué)生，可以認為是沒想到題目多選，審題時只看了B就選了。問題是6名選擇A、C的學(xué)生，經(jīng)過提問了解到，學(xué)生認為的分母為3，分子為，因此很疑惑為什么不為分?jǐn)?shù)。這體現(xiàn)學(xué)生對于數(shù)字的概念理解不扎實或遺忘。課堂上應(yīng)回顧概念：既約分?jǐn)?shù)的分子與分母應(yīng)都是整數(shù)，分?jǐn)?shù)可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù);而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此兩個概念之間是互斥的。而是無限不循環(huán)小數(shù)，因此它不為分?jǐn)?shù)，是無理數(shù)。數(shù)的分類是數(shù)的概念的理解與應(yīng)用，也是數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的第一部分。再者，兩個數(shù)字之間的關(guān)系有：①相等與不等關(guān)系;②相反數(shù)、倒數(shù)等關(guān)系;③平方與算術(shù)平方根等關(guān)系。數(shù)的相等關(guān)系也體現(xiàn)了同一個數(shù)的不同表示法，例如0.5==50%;數(shù)的不等關(guān)系就是比大小，在初中學(xué)習(xí)了正負數(shù)后，我們引入數(shù)軸這一工具。在實數(shù)章節(jié)，我們認識到數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)。因此不僅可以用數(shù)軸上的點表示所有的實數(shù)，還能借助數(shù)軸比大小、學(xué)習(xí)數(shù)的加減法、理解數(shù)的絕對值相反數(shù)等概念。數(shù)軸將抽象的實數(shù)具體地展現(xiàn)在學(xué)生面前。例3：在數(shù)軸上畫出表示的點。表示整數(shù)、分?jǐn)?shù)對學(xué)生來說是相對簡單的，而表示如的二次根式，學(xué)生需要利用勾股定理，構(gòu)造直角邊為2，3的直角三角形，得到斜邊為，從而用圓規(guī)在數(shù)軸上截出。這一結(jié)果也讓學(xué)生直觀感受到，是真實存在的數(shù)，是可以在數(shù)軸上表示出來的，它就在3，4之間，因此3<<4，甚至可以用二分法逼近得到3.5<<4，進而逐步求它的近似值。這些過程都可以加深學(xué)生對無理數(shù)的認識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。數(shù)的意義與關(guān)系是學(xué)習(xí)數(shù)的重點，認識數(shù)的概念，理解實際問題中的數(shù)量關(guān)系，是發(fā)展數(shù)感的關(guān)鍵，也是靈活運用數(shù)的基礎(chǔ)。二、數(shù)的運算與估算數(shù)感的應(yīng)用首先是運算，所有復(fù)雜的運算都是由基本的運算復(fù)合而成的。學(xué)生依次學(xué)習(xí)了加減乘除、乘方、開方等運算，對于運算的靈活運用建立在對于運算符號的理解上。如果沒法理解根號的意義，那么就沒法求出的值。因此，對于每一個運算，學(xué)生都要掌握：這個運算的目的是什么;為什么這個情境下要使用這個運算;這個算式表達的意思是什么;這個運算的結(jié)果會是怎樣，即預(yù)測運算結(jié)果的范圍以及判斷結(jié)果的合理性。例4：|-2|+2sin30°-（？仔-1）0初三學(xué)生在面對本題時，50名學(xué)生中41名學(xué)生得到正確答案，其余9名學(xué)生的錯因體現(xiàn)在：①7人對三角函數(shù)符號的理解有誤;②2人絕對值運算出錯。在與7名學(xué)生詢問錯因時，得到一個啼笑皆非的說法：當(dāng)天sin30°的符號在打印時，打印成sin300。學(xué)生在同一個題目中看到sin300與（？仔-1）0，反復(fù)對比打印的結(jié)果，認為sin30°表達的是sin30的0次方。一個打印的失誤暴露了學(xué)生對符號理解得不深刻。在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時，學(xué)生有學(xué)習(xí)sin230°的記號，當(dāng)時已經(jīng)認識到這個記號表達的是sin30°這個數(shù)的平方，等于。聯(lián)想學(xué)習(xí)下，sin30°的0次方應(yīng)該寫作sin030°。若老師們從更高的視角來看，高中學(xué)習(xí)了弧度制和角度制后，sin30°與sin30的含義是截然不同的。上述案例告訴我們，數(shù)學(xué)運算許多時候以數(shù)學(xué)符號為載體，因此正確計算的前提，是對運算符號、運算法則、運算律的正確理解。一直以來，我們習(xí)慣于教導(dǎo)學(xué)生分析題目條件，匹配相應(yīng)解題思路，套用公式，得到唯一而準(zhǔn)確的答案。然而估算思想?yún)s是數(shù)感概念中不可或缺的一部分。估算，或叫作計算的感覺能力，是指個體懂得什么情況宜于估計而不必作精確計算，并會加以應(yīng)用，特別適用于解決日常實際問題和判斷一些計算結(jié)果的合理性。在《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中指出：“在實際情境中，運用數(shù)和數(shù)的運算解決問題;在解決實際問題的過程中，能結(jié)合具體情境，選擇合適的單位進行簡單估算，體會估算在生活中的作用”。估算的思想，在過去的數(shù)學(xué)課程中并沒有得到太多的重視，然而，估算思想在許多時候能幫助人們快速解決問題。人教版七年級下第六章實數(shù)的數(shù)學(xué)活動2中，給出數(shù)學(xué)家華羅庚的故事。例5：據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到鄰座閱讀的雜志上的智力題：一個數(shù)是59319，求它的立方根。華羅庚脫口而出：39，乘客很驚奇，問計算技巧。作為一個智力題，大多時候我們是不能硬算的，得借助一些技巧，例如估算。由103<59319<1003，可得10<<100，故是兩位數(shù);由59319的個位數(shù)字上是9，將0到9的所有數(shù)的立方都計算后可知，只有9的立方個位數(shù)字是9，因此的個位上的數(shù)是9;忽略59319中的后三位，考慮到由27000<59000<64000，可得30<<40，能估算出的十位上的數(shù)是3，因此在默認59319為完全立方數(shù)的前提下，能確認=39。老師在平時就要創(chuàng)造讓學(xué)生估算的機會，讓學(xué)生把握好使用估算的場合，優(yōu)化估算的技巧。在掌握了基本解題思路的基礎(chǔ)上，要有意識乃至無意識地去找尋條件及結(jié)論中關(guān)于數(shù)字的特征、規(guī)律，并進行總結(jié)、實證，培養(yǎng)自己面對數(shù)字的感覺。并通過多次練習(xí)、反復(fù)驗證，磨練、強化這種直覺及信心。三、數(shù)感在解決問題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活，最終要高于生活。數(shù)感從情境中來，并最終運用于情境的分析和構(gòu)建上。情境綜合了數(shù)、運算、估計三個方面的學(xué)習(xí)。在解決一個實際情境的問題時，既包括了對情境中數(shù)量關(guān)系的理解和表述，也包括了運算及對運算結(jié)果的估計。例6.小明到學(xué)校旁的文具店買自動筆和圓珠筆。圓珠筆295元一支，自動筆1.50元一支。小明帶了12元錢，他想買3支圓珠筆和1支自動筆，能買成么？還沒看完題目，學(xué)生就會嚷嚷著說題目打印錯誤了！普通的圓珠筆不可能295元一支。老師可以追問，那同學(xué)們認為應(yīng)該是多少錢一支呢？學(xué)生回答應(yīng)該是2.95元一支。這就是數(shù)感良好的反應(yīng)，學(xué)生能判斷情境中數(shù)據(jù)的合理性。題目更改數(shù)據(jù)后，學(xué)生可以從兩個角度解決問題：①直接計算購買3支圓珠筆和1支自動筆需要的錢數(shù)為10.35元，比較發(fā)現(xiàn)10.35<12，所以能買成。該方法是直接計算，會遇到2.95×3+1.5的運算，有一點運算量，但能接受。②一些學(xué)生會說：“一支圓珠筆不到3元，三支就是9元不到，加上一支2元不到的自動筆，不到12元，可以買成?！痹搶W(xué)生的回答用到了估計的策略，等價于設(shè)圓珠筆的價格為x元/支，自動筆的價格為y元/支，由x<3y<2得到3x+y<12，從而避開較復(fù)雜的計算，解決問題。在此，估算的思想方法一定程度上有簡便的效果。當(dāng)然，估算也有其局限性，不一定適用于所有情況。例如，老師將題目更改：“圓珠筆2.85元一支，自動筆1.45元一支，小明帶了10元錢在身上，他想買3支圓珠筆和1支自動筆，能買成么？”實際上，由于2.85×3+1.45=10，此時小明剛剛好能夠用10元錢買下3支圓珠筆和1支自動筆，不過，此時上述的估算思路就不適用了：3支圓珠筆9元不到，加上1.45的自動筆，總價不到10.45元，但是不代表此時的總價格就會超過10元，因此本題不適合用估算，只能踏踏實實地硬算。在情境中討論問題能讓學(xué)生綜合調(diào)動閱讀能力、分析能力、建模意識，一些開放性較強的題目也能讓學(xué)生發(fā)散思維，用多種辦法解決問題。在上述問題的解決和變式過程中，學(xué)生能體驗到良好的數(shù)感能尋找更快捷更合適的問題解決路徑，也能逐漸學(xué)會在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，并將所學(xué)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于生活中。四、結(jié)束語數(shù)感作為