一題多解,一題多變多題歸一

三明四中呂元斤一題多解,一題多變，多題歸一解題思路分析原題再現(xiàn)考點分析及其思想方法的體現(xiàn)

反思與感悟拓展延伸、變式分析課堂流程原題再現(xiàn)本題是2013年孝感市中考數(shù)學試卷第25題：25.如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．（1）圖1中若點E是邊BC的中點，我們可以構造兩個三角形全等來證明AE=EF，請敘述你的一個構造方案，并指出是哪兩個三角形全等（不要求證明）；（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合）．①AE=EF是否總成立？請給出證明；②在如圖2的直角坐標系中，當點E滑動到某處時，點F恰好落在拋物線y=﹣x2+x+1上，求此時點F的坐標．1.考點分析：正方形的性質；等腰直角三角形的判定與性質；角平分線的定義；等角的余角相等；全等三角形的判定與性質；點的坐標與線段的關系；拋物線上點的坐標與二次函數(shù)表達式的關系；一元二次方程的解法.一、題目的考點分析及其思想方法的體現(xiàn)2.思想方法：特殊到一般；方程與函數(shù)；轉化（化歸）；數(shù)形結合.1.題型:代數(shù)與幾何綜合題二、解題思路的分析2.解題思路分析（1）△ABE和△ECF顯然不全等（一個是直角三角形，一個是鈍角三角形），考慮到點E是邊BC的中點，因此可以取AB的中點G，連接EG，又易知∠1=∠2，利用ASA能得到△AGE與△ECF全等；（1）解答:如圖1，取AB的中點G，連接EG．△AGE與△ECF全等．（2）第①問的方法1解題思路分析：從第（1）問的解決方法得到啟發(fā)：“證線段相等找全等三角形”.如圖2，可以在AB上截取AM=EC，又易知∠2=∠3，證明∠1=∠ECF=135°，利用ASA證得△AME≌△ECF即可證得AE=EF；圖2方法1的解題過程：①若點E在線段BC上滑動時，AE=EF總成立．證明：如圖2，在AB上截取AM=EC．∵AB=BC，∴BM=BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠1=180°﹣45°=135°，又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF=135°，∴∠1=∠ECF．而∠2+∠AEB=∠3+∠AEB=90°，∴∠2=∠3，∴△AME≌△ECF．∴AE=EF．圖2第（2）題第①問的法2思路分析圖4圖4第（2）題第①問的法2解題過程第（2）題第①問的法3思路分析圖5第（2）題第①問的法3解題過程圖5第（2）題第①問的法4思路分析圖6第（2）題第①問的法4解題過程圖6第（2）題第②問的解題思路分析圖3第（2）題第②問的解題過程圖31.結論的拓展延伸變式一：如圖，若點E在線段BC延長線上（除C點外）上滑動，其他條件不變，結論“AE=EF”仍然成立嗎？如果成立，寫出證明過程；如果不成立，請說明理由．三.拓展延伸與變式分析本變式的意圖是引導學生繼續(xù)探究點E在線段BC延長線上（除C點外）上滑動時，結論“AE=EF”是否仍然成立.認真觀察圖形，與原題的解法進行類比，在點E運動中,可以構造全等三角形，尋找線段之間不變的數(shù)量關系.變式一分析變式一解題過程變式二變式二分析本變式繼續(xù)引導學生認真觀察圖形，對△ECF的面積和線段BE的關系進行探究，滲透分類討論、轉化、數(shù)形結合、函數(shù)的數(shù)學思想方法.解題的關鍵在于分類討論即：當點E為線段BC上的點時，EC=1-x;當點E為線段BC延長線上的點時，EC=x-1;變式二解題過程變式三：如圖，已知點E在正方形ABCD的邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．（1）圖1中若點E是邊BC的中點，則線段CF和BE之間存在怎樣的數(shù)量關系，給出你的結論并證明．（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合），（1）中的結論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出線段CF和BE的關系式.圖1圖2本變式繼續(xù)引導學生認真觀察圖形，對線段CF和BE之間的數(shù)量關系進行探究，滲透特殊到一般、轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.解題的關鍵在于：將線段CF和BE分別轉化為等腰直角三角形（Rt△FCH)的斜邊和直角邊.變式三分析圖3變式三解題過程圖3圖42.圖形的變化拓展變式分析本變式的設計意圖是通過圖形變換，引導學生深入挖掘隱含的條件和結論，明白構造全等三角形是證明線段相等一種很重要的方法，從特殊的幾何圖形中找出規(guī)律，轉化為一般的幾何圖形的證明問題，即雖然其條件、結論的形式或圖形發(fā)生變化，而其本質特征卻不變.解題過程四、反思與感悟數(shù)學問題千變萬化，無窮無盡，“題海”茫茫.為了使學生能跳出題海，數(shù)學教師要跳進“題?！?，要勤于鉆研數(shù)學課程標準、教材和習題，依據(jù)“量不在多，典型就行；題不在難，有思想就靈”的原則精挑細選出典型題目.并對典型題目進行縱向或橫向的展開，根據(jù)學情，精心設計數(shù)學探究活動，進行“一題多解,一題多變，多題歸一”的解題教學.既要引導學生從各個角度去分析思考問題，發(fā)展學生的求異思維，使其創(chuàng)造性地解決問題，又要指導學生善于找出一些題目解法的共性，歸納出解題方法，再用這種方法去解決類似問題時，便會迎刃而解，發(fā)揮一法解多題的優(yōu)勢.既要關注學生的基礎知識、基本技能的達成，更要關注基本數(shù)學思想方法的滲透和基本活動經(jīng)驗的積累，教會學生如何