學(xué)案22簡單的三角恒等變換(含答案)

學(xué)案22簡單的三角恒等變換導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟練應(yīng)用.2.能運(yùn)用兩角和與差的三角公式進(jìn)行簡單的恒等變換．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝________________；(2)cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan2α＝________________________(α≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)且α≠kπ＋eq\f(π,2))．2．公式的逆向變換及有關(guān)變形(1)sinαcosα＝____________________?cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)；(2)降冪公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；升冪公式：1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；變形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.自我檢測1．(2023·陜西)函數(shù)f(x)＝2sinxcosx是()A．最小正周期為2π的奇函數(shù)B．最小正周期為2π的偶函數(shù)C．最小正周期為π的奇函數(shù)D．最小正周期為π的偶函數(shù)2．函數(shù)f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分別為()A．－3,1B．－2,2C．－3，eq\f(3,2)D．－2，eq\f(3,2)3．函數(shù)f(x)＝sinxcosx的最小值是()A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．14．(2023·清遠(yuǎn)月考)A、B為直角三角形的兩個(gè)銳角，那么sinA·sinB()A．有最大值eq\f(1,2)，最小值0B．有最小值eq\f(1,2)，無最大值C．既無最大值也無最小值D．有最大值eq\f(1,2)，無最小值探究點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡例1求函數(shù)y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．變式遷移1(2023·泰安模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(4cos4x－2cos2x－1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,12)))的值；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時(shí)，求g(x)＝eq\f(1,2)f(x)＋sin2x的最大值和最小值．探究點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值例2sin(eq\f(π,4)＋2α)·sin(eq\f(π,4)－2α)＝eq\f(1,4)，α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，求2sin2α＋tanα－eq\f(1,tanα)－1的值．變式遷移2(1)α是第一象限角，且cosα＝eq\f(5,13)，求eq\f(sinα＋\f(π,4),cos2α＋4π)的值．(2)cos(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，eq\f(π,2)≤α<eq\f(3π,2)，求cos(2α＋eq\f(π,4))的值．探究點(diǎn)三三角恒等式的證明例3(2023·蘇北四市模擬)sin(2α＋β)＝3sinβ，設(shè)tanα＝x，tanβ＝y(tǒng)，記y＝f(x)．(1)求證：tan(α＋β)＝2tanα；(2)求f(x)的解析表達(dá)式；(3)假設(shè)角α是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f(x)的值域．變式遷移3求證：eq\f(sin2x,sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1)＝eq\f(1＋cosx,sinx).轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12分)(2023·江西)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanx)))sin2x＋msineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).(1)當(dāng)m＝0時(shí)，求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(3π,4)))上的取值范圍；(2)當(dāng)tanα＝2時(shí)，f(α)＝eq\f(3,5)，求m的值．【答題模板】解(1)當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(cosx,sinx)))sin2x＝sin2x＋sinxcosx＝eq\f(1－cos2x＋sin2x,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋1))，[3分]由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(3π,4)))，得2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,4)))，[4分]所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，[5分]從而得f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1＋\r(2),2))).[6分](2)f(x)＝sin2x＋sinxcosx－eq\f(m,2)cos2x＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x－eq\f(m,2)cos2x＝eq\f(1,2)[sin2x－(1＋m)cos2x]＋eq\f(1,2)，[8分]由tanα＝2，得sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(4,5)，cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq\f(3,5).[10分]所以eq\f(3,5)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)＋\f(3,5)1＋m))＋eq\f(1,2)，[11分]解得m＝－2.[12分]【突破思維障礙】三角函數(shù)式的化簡是指利用誘導(dǎo)公式、同角根本關(guān)系式、和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等，將較復(fù)雜的三角函數(shù)式化得更簡潔、更清楚地顯示出式子的結(jié)果．化簡三角函數(shù)式的根本要求是：(1)能求出數(shù)值的要求出數(shù)值；(2)使三角函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)的種類最少；(3)分式中的分母盡量不含根式等．1．求值中主要有三類求值問題：(1)“給角求值〞：一般所給出的角都是非特殊角，從外表來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值〞：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角〞，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角〞：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值〞，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角．2．三角恒等變換的常用方法、技巧和原那么：(1)在化簡求值和證明時(shí)常用如下方法：切割化弦法，升冪降冪法，和積互化法，輔助元素法，“1”的代換法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，eq\f(α＋β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(α,2)))，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的二倍角等．(3)化繁為簡：變復(fù)角為單角，變不同角為同角，化非同名函數(shù)為同名函數(shù)，化高次為低次，化多項(xiàng)式為單項(xiàng)式，化無理式為有理式．消除差異：消除與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以及各項(xiàng)的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面的差異．(總分值：75分)一、選擇題(每題5分，共25分)1．(2023·平頂山月考)0<α<π，3sin2α＝sinα，那么cos(α－π)等于()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D．－eq\f(1,6)2．tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(13,18)B.eq\f(13,22)C.eq\f(3,22)D.eq\f(1,6)3．(2023·石家莊模擬)cos2α＝eq\f(1,2)(其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0)))，那么sinα的值為()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)4．假設(shè)f(x)＝2tanx－eq\f(2sin2\f(x,2)－1,sin\f(x,2)cos\f(x,2))，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))的值為()A．－eq\f(4\r(3),3)B．8C．4eq\r(3)D．－4eq\r(3)5．(2023·福建廈門外國語學(xué)校高三第二次月考)在△ABC中，假設(shè)cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，那么sinB的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D．1題號(hào)12345答案二、填空題(每題4分，共12分)6．(2023·全國Ⅰ)α為第二象限的角，且sinα＝eq\f(3,5)，那么tan2α＝________.7．函數(shù)y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．8．假設(shè)eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝－eq\f(\r(2),2)，那么cosα＋sinα的值為________．三、解答題(共38分)9．(12分)化簡：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°；(2)eq\f(3－4cos2α＋cos4α,3＋4cos2α＋cos4α).10．(12分)(2023·南京模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx－cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))－eq\f(1,2).(1)求f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值．11．(14分)(2023·北京)函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(eq\f(π,3))的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．答案自主梳理1．(1)2sinαcosα(2)cos2α－sin2α2cos2α2sin2α(3)eq\f(2tanα,1－tan2α)2.(1)eq\f(1,2)sin2α(2)eq\f(1－cos2α,2)eq\f(1＋cos2α,2)2cos2eq\f(α,2)2sin2eq\f(α,2)(sinα±cosα)2自我檢測1．C2.C3.B4.D課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引化簡的原那么是形式簡單，三角函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值．此題要充分利用倍角公式進(jìn)行降冪，利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵．解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，由于函數(shù)z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值為zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值為zmin＝(1－1)2＋6＝6，故當(dāng)sin2x＝－1時(shí)，y取得最大值10，當(dāng)sin2x＝1時(shí)，y取得最小值6.變式遷移1解(1)f(x)＝eq\f(1＋cos2x2－2cos2x－1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))＝eq\f(cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝eq\f(2cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x)))＝eq\f(2cos22x,cos2x)＝2cos2x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,12)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＝2coseq\f(π,6)＝eq\r(3).(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).∵x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴當(dāng)x＝eq\f(π,8)時(shí)，g(x)max＝eq\r(2)，當(dāng)x＝0時(shí)，g(x)min＝1.例2解題導(dǎo)引(1)這類問題一般是先化簡再求值；化簡后目標(biāo)更明確；(2)如果能從條件中求出特殊值，應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角，可簡化運(yùn)算，對(duì)切函數(shù)通?；癁橄液瘮?shù)．解由sin(eq\f(π,4)＋2α)·sin(eq\f(π,4)－2α)＝sin(eq\f(π,4)＋2α)·cos(eq\f(π,4)＋2α)＝eq\f(1,2)sin(eq\f(π,2)＋4α)＝eq\f(1,2)cos4α＝eq\f(1,4)，∴cos4α＝eq\f(1,2)，又α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，故α＝eq\f(5π,12)，∴2sin2α＋tanα－eq\f(1,tanα)－1＝－cos2α＋eq\f(sin2α－cos2α,sinαcosα)＝－cos2α＋eq\f(－2cos2α,sin2α)＝－coseq\f(5π,6)－eq\f(2cos\f(5π,6),sin\f(5π,6))＝eq\f(5\r(3),2).變式遷移2解(1)∵α是第一象限角，cosα＝eq\f(5,13)，∴sinα＝eq\f(12,13).∴eq\f(sinα＋\f(π,4),cos2α＋4π)＝eq\f(\f(\r(2),2)sinα＋cosα,cos2α)＝eq\f(\f(\r(2),2)sinα＋cosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(\f(\r(2),2),cosα－sinα)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(5,13)－\f(12,13))＝－eq\f(13\r(2),14).(2)cos(2α＋eq\f(π,4))＝cos2αcoseq\f(π,4)－sin2αsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)(cos2α－sin2α)，∵eq\f(π,2)≤α<eq\f(3,2)π，∴eq\f(3π,4)≤α＋eq\f(π,4)<eq\f(7,4)π.又cos(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)>0，故可知eq\f(3,2)π<α＋eq\f(π,4)<eq\f(7,4)π，∴sin(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(4,5)，從而cos2α＝sin(2α＋eq\f(π,2))＝2sin(α＋eq\f(π,4))cos(α＋eq\f(π,4))＝2×(－eq\f(4,5))×eq\f(3,5)＝－eq\f(24,25).sin2α＝－cos(2α＋eq\f(π,2))＝1－2cos2(α＋eq\f(π,4))＝1－2×(eq\f(3,5))2＝eq\f(7,25).∴cos(2α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)(cos2α－sin2α)＝eq\f(\r(2),2)×(－eq\f(24,25)－eq\f(7,25))＝－eq\f(31\r(2),50).例3解題導(dǎo)引此題的關(guān)鍵是第(1)小題的恒等式證明，對(duì)于三角恒等式的證明，我們要注意觀察、分析條件恒等式與目標(biāo)恒等式的異同，特別是分析和要求的角之間的關(guān)系，再分析函數(shù)名之間的關(guān)系，那么容易找到思路．證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，左右歸一或變更論證．對(duì)于第(2)小題同樣要從角的關(guān)系入手，利用兩角和的正切公式可得關(guān)系．第(3)小題那么利用根本不等式求解即可．(1)證明由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα.(2)解由(1)得eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝2tanα，即eq\f(x＋y,1－xy)＝2x，∴y＝eq\f(x,1＋2x2)，即f(x)＝eq\f(x,1＋2x2).(3)解∵角α是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角，∴0<α≤eq\f(π,3)，0<x≤eq\r(3)，設(shè)g(x)＝2x＋eq\f(1,x)，那么g(x)＝2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)取“＝〞)．故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0，eq\f(\r(2),4)]．變式遷移3證明因?yàn)樽筮叄絜q\f(2sinxcosx,[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1])＝eq\f(2sinxcosx,sin2x－cosx－12)＝eq\f(2sinxcosx,sin2x－cos2x＋2cosx－1)＝eq\f(2sinxcosx,－2cos2x＋2cosx)＝eq\f(sinx,1－cosx)＝eq\f(sinx1＋cosx,1－cosx1＋cosx)＝eq\f(sinx1＋cosx,sin2x)＝eq\f(1＋cosx,sinx)＝右邊．所以原等式成立．課后練習(xí)區(qū)1．D[∵0<α<π，3sin2α＝sinα，∴6sinαcosα＝sinα，又∵sinα≠0，∴cosα＝eq\f(1,6)，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(1,6).]2．C[因?yàn)棣粒玡q\f(π,4)＋β－eq\f(π,4)＝α＋β，所以α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))).所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(3,22).]3．B[∵eq\f(1,2)＝cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝eq\f(1,4).又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，∴sinα＝－eq\f(1,2).]4．B[f(x)＝2tanx＋eq\f(1－2sin2\f(x,2),\f(1,2)sinx)＝2tanx＋eq\f(2cosx,sinx)＝eq\f(2,sinxcosx)＝eq\f(4,sin2x)∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝eq\f(4,sin\f(π,6))＝8.]5．C[由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化簡變形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，∴cosB＝eq\f(1,2)或cosB＝1(舍)．∴sinB＝eq\f(\r(3),2).]6．－eq\f(24,7)解析因?yàn)棣翞榈诙笙薜慕?，又sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(24,7).7．1－eq\r(2)解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1，∴當(dāng)sin(2x＋eq\f(π,4))＝－1時(shí)，函數(shù)取得最小值1－eq\r(2).8.eq\f(1,2)解析∵eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq\f(cos2α－sin2α,\f(\r(2),2)sinα－cosα)＝－eq\r(2)(sinα＋cosα)＝－eq\f(\r(2),2)，∴cosα＋sinα＝eq\f(1,2).9．解(1)∵sin2α＝2sinαcosα，∴cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，…………(2分)∴原式＝eq\f(sin40°,2sin20°)·eq\f(sin80°,2sin40°)·eq\f(1,2)·eq\f(sin160°,2sin80°)＝eq\f(sin