多元函數(shù)微分學(xué)8-5月11日

一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值

定義

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何點(diǎn)(x

y)

都有在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無(wú)極值.極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值

,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).注

1.

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn)

.但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).如,定理1

(必要條件)函數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有故

2.

從幾何上看

這時(shí)如果曲面z

f(x

y)在極值點(diǎn)(x0

y0

z0)處有切平面

則切平面z

z0

fx(x0

y0)(x

x0)

fy(x0

y0)(y

y0)成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面z

z0

類(lèi)似地可推得

如果三元函數(shù)u

f(x

y

z)在點(diǎn)(x0

y0

z0)具有偏導(dǎo)數(shù)

則它在點(diǎn)(x0

y0

z0)具有極值的必要條件為

fx(x0

y0

z0)

0

fy(x0

y0

z0)

0

fz(x0

y0

z0)

0

時(shí),具有極值定理2(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)證明見(jiàn)P108

時(shí),沒(méi)有極值.時(shí),不能確定

,需另行討論.若函數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟：第一步

解方程組求出實(shí)數(shù)解，得所有駐點(diǎn).第二步

對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.第三步

定出AC-B2的符號(hào)，再判定是否是極值.第四步對(duì)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(包括邊界點(diǎn))，再判定是否是極值點(diǎn).例1.求函數(shù)解:第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;設(shè)z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求z=z(x,y)的極值點(diǎn)和極值。

練習(xí)：例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為注不是駐點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).因此,在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí),

除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外,如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮.但(0

0)不是函數(shù)的駐點(diǎn)

與一元函數(shù)相類(lèi)似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.多元函數(shù)的最值最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達(dá)到最值最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)

例3

欲將長(zhǎng)度為a的細(xì)桿分為三段,試問(wèn)如何分才能使三段長(zhǎng)度乘積為最大?解

設(shè)第一段和第二段的長(zhǎng)分別為x

y

則三段長(zhǎng)度乘積為

極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿(mǎn)足設(shè)記例如,故故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)L(x,y)

稱(chēng)為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿(mǎn)足則極值點(diǎn)滿(mǎn)足:朗日函數(shù)求極值的方法稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù)法.推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的極值.在條件例4.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問(wèn)題為求x,y,令解方程組解:

設(shè)x,y,z分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最?。康拈L(zhǎng)方體開(kāi)口水箱,試問(wèn)得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為思考:1)當(dāng)水箱封閉時(shí),長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示:

利用對(duì)稱(chēng)性可知,2)當(dāng)開(kāi)口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí),欲使造價(jià)最省,應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長(zhǎng)、寬、高尺寸如何?提示:長(zhǎng)、寬、高尺寸相等.例5.設(shè)生產(chǎn)z噸某產(chǎn)品與所用A,B兩種原料噸數(shù)x,y之間的關(guān)系式為現(xiàn)擬向銀行貸款150萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)原料,A,B兩種原料每噸價(jià)格分別為1萬(wàn)元和2萬(wàn)元,問(wèn)怎么樣購(gòu)進(jìn)這兩種原料使該產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量最多?分析：依題意,問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)在附加條件x+2y=150下的最大值.例5.令解方程組解:

依題意,問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)在附加條件x+2y=150下的最大值.因?yàn)榇藛?wèn)題的最大值是存在的,且駐點(diǎn)是唯一的,所以點(diǎn)(100,25)是z(x,y)的最大值點(diǎn),其最大值為z(100,25)=1250已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC

面積S△最大.解答提示:設(shè)C

點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),思考與練習(xí)則設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與

E重合時(shí),三角形面積最大.在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要根據(jù)兩個(gè)變量的幾組實(shí)驗(yàn)數(shù)值——實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，來(lái)找出這兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式．（經(jīng)驗(yàn)公式）最小二乘法問(wèn)題：解決這個(gè)問(wèn)題的常用的方法是什么？

例某證券公司近幾年投資于資本市場(chǎng)的資金額如下表所示：如圖，在坐標(biāo)紙上畫(huà)出這些點(diǎn)，因?yàn)檫@些點(diǎn)本來(lái)不在一條直線(xiàn)上，我們只能要求選取這樣的，使得在處的函數(shù)值與實(shí)際數(shù)據(jù)相差都很?。饩褪且蛊疃己苄?因此可以考慮選取常數(shù)，使得定義這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來(lái)選擇常數(shù)的方法叫做最小二乘法．這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的.最小來(lái)保證每個(gè)偏差的絕對(duì)值都很?。芽闯勺宰兞亢偷囊粋€(gè)二元函數(shù)，那么問(wèn)題就可歸結(jié)為求函數(shù)在那些點(diǎn)處取得最小值.