新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納講義專題15概率與分布列 15.4正態(tài)分布（原卷版）

專題十五《概率與分布列》講義15.4正態(tài)分布題型一.正正態(tài)分布1．（2017?寶雞三模）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），則a的值等于（）A．53 B．73 C．32．（2018春?清遠(yuǎn)期末）設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N1（μ1，σ12）和N2（μ2，σA．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ23．（2021春?沈陽期末）設(shè)X～N（μ1，σ21），Y～N（μ2，σ22），這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1） C．對(duì)任意正數(shù)t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D．對(duì)任意正數(shù)t，P（X≥t）≥P（Y≥t）4．（2016秋?武漢期末）某市教育局為了了解高三學(xué)生體育達(dá)標(biāo)情況，對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測試，經(jīng)分析，全市學(xué)生體能測試成績X服從正態(tài)分布N（80，σ2）（滿分為100分），已知P（X＜75）＝0.3，P（X≥95）＝0.1，現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取3位同學(xué)．（1）求抽取的三位同學(xué)該次體能測試成績?cè)趨^(qū)間[80，85），[85，95），[95，100）各有一位同學(xué)的概率；（2）記抽到的3位同學(xué)該次體能測試成績?cè)趨^(qū)間[75，85]內(nèi)的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．5．（2014?新課標(biāo)Ⅰ）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（Ⅱ）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2．（i）利用該正態(tài)分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8，212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結(jié)果，求EX．附：150≈若Z～N（μ，σ2）則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．6．（2017?新課標(biāo)Ⅰ）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得x=116i=116xi=9.97，s=1用樣本平均數(shù)x作為μ的估計(jì)值μ?，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值σ?，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.008≈題型二.分布列綜合問題1．微博橙子輔導(dǎo)用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取了100名同學(xué)，對(duì)其社會(huì)實(shí)踐次數(shù)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如表：n[0，3）[3，6）[6，9）[9，12）[12，15）[15，18）男同學(xué)人數(shù)715111221女同學(xué)人數(shù)51320932若將社會(huì)實(shí)踐次數(shù)不低于12次的學(xué)生稱為“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”．（Ⅰ）將頻率視為概率，估計(jì)該校1600名學(xué)生中“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”有多少人？（Ⅱ）從已抽取的8名“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”中隨機(jī)抽取4位同學(xué)參加社會(huì)實(shí)踐表彰活動(dòng)．（i）設(shè)A為事件“抽取的4位同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)”，求事件A發(fā)生的概率；（ii）用X表示抽取的“社會(huì)實(shí)踐標(biāo)兵”中男生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．一個(gè)盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖，如圖．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的平均值；（Ⅲ）從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，其中重量在（5，15]內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差．3．某紡織廠為了生產(chǎn)一種高端布料，準(zhǔn)備從A農(nóng)場購進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)棉花，廠方技術(shù)員從A農(nóng)場存儲(chǔ)的優(yōu)質(zhì)棉花中隨機(jī)抽取了100處棉花，分別測量了其纖維長度（單位：mm）的均值，收集到100個(gè)樣本數(shù)據(jù)，并制成如下頻數(shù)分布表：長度（單位：mm）[23，25）[25，27）[27，29）[29，31）[31，33）[33，35）[35，37）[37，39]頻數(shù)4916241814105（1）求這100個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x和樣本方差s2（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）將收集到的數(shù)據(jù)繪成直方圖可以認(rèn)為這批棉花的纖維長度服從分布X～N（μ，σ2）其中μ≈x，σ2＝s①利用正態(tài)分布，求P（X＞μ﹣2σ）；②紡織廠將A農(nóng)場送來的這批優(yōu)質(zhì)棉進(jìn)行二次檢驗(yàn)，從中隨機(jī)抽取20處測量其纖維均值yi（i＝1，2…，20），數(shù)據(jù)如下：y1y2y3y4y5y6y7y8y9y1024.131.832.728.228.434.329.134.837.230.8y11y12y13y14y15y16y17y18y19y2030.625.232.927.135.928.933.929.535.029.9若20個(gè)樣本中纖維均值Y＞μ﹣2σ的頻率不低于①中P（X＞μ﹣2σ）即可判斷該批優(yōu)質(zhì)棉花合格，否則認(rèn)為農(nóng)場運(yùn)送時(shí)摻雜了次品，判斷該批棉花不合格．按照此依據(jù)判斷A農(nóng)場送來的這批棉花是否為合格的優(yōu)質(zhì)棉花，并說明理由．附：若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9543，12.28≈

課后作業(yè).正態(tài)分布1．隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝0.2，P（2＜ξ＜6）＝0.6，則μ＝．2．已知隨機(jī)變量X～N（0.4，σ12），Y～N（0.8，σ22），其正態(tài)曲線如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．P（X≥0.4）＝P（Y≥0.8） B．P（X≥0）＝P（Y≥0） C．X的取值比Y的取值更集中于平均值 D．兩支正態(tài)曲線與x軸之間的面積均為13．江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行．江先生從家到公交站或地鐵站都要步行5分鐘．公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上經(jīng)常擁堵，所需時(shí)間Z（單位：分）服從正態(tài)分布N（33，42），下車后從公交站步行到單位要12分鐘；乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需時(shí)間Z（單位：分）服從正態(tài)分布N（44，22），下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘．從統(tǒng)計(jì)的角度看，下列說法合理的是（）A．若8：00出門，則乘坐公交上班不會(huì)遲到 B．若8：02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大 C．若8：06出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大 D．若8：12出門，則乘坐地鐵上班幾乎不可能不遲到4．某市為了解本市2萬名學(xué)生的漢字書寫水平，在全市范圍內(nèi)進(jìn)行了漢字聽寫考試，發(fā)現(xiàn)其成績服從正態(tài)分布N（69，49），現(xiàn)從某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，將所得成績整理后，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）估算該校50名學(xué)生成績的平均值x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（Ⅱ）求這5