高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講義 離散隨機變量的數(shù)據(jù)特征 教師

課題：離散隨機變量的數(shù)據(jù)特征知識點1．離散型隨機變量的均值（1）一般地，若離散型隨機變量X的分布列為：則稱E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．（2）若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機變量，且E（aX＋b）＝aE（X）＋b（3）若X服從兩點分布，則E（X）＝p；（4）若X～B（n，p），則E（X）＝np．2．離散型隨機變量的方差（1）設(shè)離散型隨機變量X的分布列為則（xi－E（X））2描述了xi（i＝1,2，…，n）相對于均值E（X）的偏離程度，而D（X）＝（xi－E（X））2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量X與其均值E（X）的平均偏離程度．稱D（X）為隨機變量X的方差，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．（2）D（aX＋b）＝a2D（X）．（3）若X服從兩點分布，則D（X）＝p（1－p）（4）若X～B（n，p），則D（X）＝np（1－p）【注1】1．求離散型隨機變量均值、方差的基本方法（1）已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義（公式）求解；（2）已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解；（3）如能分析所給隨機變量是服從常用的分布（如兩點分布、二項分布等），可直接利用它們的均值、方差公式求解．2．求離散型隨機變量均值的步驟（1）理解隨機變量的意義，寫出可能取得的全部值；（2）求的每個值的概率；（3）寫出的分布列；（4）由均值定義求出．3．均值、方差的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）（2）（為常數(shù)）（3）（4）如果相互獨立，則（5）（6）4．均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算．典型例題例1拋擲兩個骰子，至少有一個4點或5點出現(xiàn)時，就說這次試驗成功，則在8次試驗中，成功次數(shù)ξ的期望是______________【答案】【解析】在一次實驗中，成功的概率為；的分布列是二項分布，故在次試驗中，成功的次數(shù)的期望為，故答案為．例2某人喜歡玩有三個關(guān)卡的通關(guān)游戲，根據(jù)他的游戲經(jīng)驗，每次開啟一個新的游戲，這三個關(guān)卡他能夠通關(guān)的概率分別為（這個游戲的游戲規(guī)則是：如果玩者沒有通過上一個關(guān)卡，他照樣可以玩下一個關(guān)卡，但玩該游戲的得分會有影響），則此人在開啟一個這種新的游戲時，他能夠通過兩個關(guān)卡的概率為__________，設(shè)表示他能夠通過此游戲的關(guān)卡的個數(shù)，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望為__________．【解析】隨機變量的所有可能取值為0,1,2,3．又，，，．所以，隨機變量的分布列為0123隨機變量的數(shù)學(xué)期望．例3已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求X的分布列．【解析】（1）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，則P（A）＝eq\f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)．（2）X的可能取值為200,300,400，則P（X＝200）＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P（X＝300）＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P（X＝400）＝1－P（X＝200）－P（X＝300）＝1－eq\f(1,10)－eq\f(3,10)＝eq\f(3,5)．故X的分布列為X200300400Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)例4某學(xué)校用“10分制”調(diào)查本校學(xué)生對教師教學(xué)的滿意度，現(xiàn)從學(xué)生中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們對該校教師教學(xué)滿意度的分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）：（1）若教學(xué)滿意度不低于9．5分，則稱該生對教師的教學(xué)滿意度為“極滿意”．求從這16人中隨機選取3人，至少有1人是“極滿意”的概率；（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校所有學(xué)生中（學(xué)生人數(shù)很多）任選3人，記表示抽到“極滿意”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）設(shè)表示所取得人中有個人是“極滿意”，至少有一人是“極滿意”記為事件，則（2）的可能取值為0，1，2，3，由已知得∴∴的分布列為：例5某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的個人單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．若一個運動員出線記分，未出線記分．假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為，他們出線與未出線是相互獨立的．（1）求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率；（2）記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員所得分之和為隨機變量，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）記“甲出線”為事件，“乙出線”為事件，“丙出線”為事件，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件．則．（2）的所有可能取值為．；；；．所以的分布列為．例6某企業(yè)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中有一、二、三等品及次品共四個等級，1件不同等級產(chǎn)品的利潤（單位：元）如表1，從這批產(chǎn)品中隨機抽取出1件產(chǎn)品，該件產(chǎn)品為不同等級的概率如表2．等級一等品二等品三等品次品等級一等品二等品三等品次品利潤表1表2若從這批產(chǎn)品中隨機抽取出的1件產(chǎn)品的平均利潤（即數(shù)學(xué)期望）為元．（1）設(shè)隨機抽取1件產(chǎn)品的利潤為隨機變量，寫出的分布列并求出的值；（2）從這批產(chǎn)品中隨機取出3件產(chǎn)品，求這3件產(chǎn)品的總利潤不低于17元的概率．【解析】設(shè)隨機抽取1件產(chǎn)品的利潤為隨機變量，依題意得的分布列為：∴,即．∵,即,解得．∴．（2）為了使所取出的3件產(chǎn)品的總利潤不低于17元，則這3件產(chǎn)品可以有兩種取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品．故所求的概率C．例7在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．（1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；（2）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．【解析】（1）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，則P（Meq\a\vs4\al()＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18)．（2）由題意知X可取的值為0,1,2,3,4，則P（X＝0）＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P（X＝1）＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P（X＝2）＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P（X＝3）＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P（X＝4）＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)．因此X的分布列為X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)例8為迎接北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為40元（不足1小時的部分按1小時計算）．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；兩人滑雪時間都不會超過3小時．（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ（單位：元），求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E（ξ），方差D（ξ）．【解析】（1）兩人所付費用相同，相同的費用可能為0，40，80元，兩人都付0元的概率為p1＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，兩人都付40元的概率為p2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，兩人都付80元的概率為p3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)－\f(2,3)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，則兩人所付費用相同的概率為p＝p1＋p2＋p3＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,24)＝eq\f(5,12)．（2）由題設(shè)甲、乙所付費用之和為ξ，ξ可能取值為0，40，80，120，160，則：P（ξ＝0）＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)；P（ξ＝40）＝eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)；P（ξ＝80）＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)；P（ξ＝120）＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,4)；P（ξ＝160）＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)．ξ的分布列為ξ04080120160Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,4)eq\f(1,24)E（ξ）＝0×eq\f(1,24)＋40×eq\f(1,4)＋80×eq\f(5,12)＋120×eq\f(1,4)＋160×eq\f(1,24)＝80．D（ξ）＝（0－80）2×eq\f(1,24)＋（40－80）2×eq\f(1,4)＋（80－80）2×eq\f(5,12)＋（120－80）2×eq\f(1,4)＋（160－80）2×eq\f(1,24)＝eq\f(4000,3)．例9甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司，底薪80元，每單送餐員抽成4元；乙公司，無底薪，40單以內(nèi)（含40單）的部分送餐員每單抽成6元，超出40單的部分送餐員每單抽成7元．假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機選取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205（1）現(xiàn)從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機抽取3天的送餐單數(shù)，求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率．（2）若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：①記乙公司送餐員日工資為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小王作出選擇，并說明理由．【解析】（1）記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件M，則P（Meq\a\vs4\al()＝eq\f(C\o\al(3,25),C\o\al(3,50))＝eq\f(23,196)．（2）①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為a，當(dāng)a＝38時，X＝38×6＝228，當(dāng)a＝39時，X＝39×6＝234，當(dāng)a＝40時，X＝40×6＝240，當(dāng)a＝41時，X＝40×6＋1×7＝247，當(dāng)a＝42時，X＝40×6＋2×7＝254．所以X的所有可能取值為228,234,240,247,254．故X的分布列為：X228234240247254Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,10)所以E（X）＝228×eq\f(1,10)＋234×eq\f(1,5)＋240×eq\f(1,5)＋247×eq\f(2,5)＋254×eq\f(1,10)＝241．8．②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為38×0．2＋39×0．3＋40×0．2＋41×0．2＋42×0．1＝39．7，所以甲公司送餐員的日平均工資為80＋4×39．7＝238．8元．由①得乙公司送餐員的日平均工資為241．8元．因為238．8＜241．8，所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘．例10計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站．過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和．單位：億立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的入流量相互獨立．（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；（2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40＜X＜8080≤X≤120X＞120發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行，則該臺發(fā)電機年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺發(fā)電機年虧損800萬元．欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？【解析】（1）依題意，得p1＝P（40＜X＜80）＝eq\f(10,50)＝0．2，p2＝P（80≤X≤120）＝eq\f(35,50)＝0．7，p3＝P（X＞120）＝eq\f(5,50)＝0．1．由二項分布可知，在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為P＝Ceq\o\al(0,4)（1－p3）4＋Ceq\o\al(1,4)（1－p3）3p3＝（0．9）4＋4×（0．9）3×0．1＝0．9477．（2）記水電站年總利潤為Y（單位：萬元）．①安裝1臺發(fā)電機的情形．由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應(yīng)的年利潤Y＝5000，E（Y）＝5000×1＝5000（萬元）．②安裝2臺發(fā)電機的情形．依題意，當(dāng)40＜X＜80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000－800＝4200，因此P（Y＝4200）＝P（40＜X＜80）＝p1＝0．2；當(dāng)X≥80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000×2＝10000，因此P（Y＝10000）＝P（X≥80）＝p2＋p3＝0．8．由此得Y的分布列如下：Y420010000P0．20．8所以E（Y）＝4200×0．2＋10000×0．8＝8840（萬元）．③安裝3臺發(fā)電機的情形．依題意，當(dāng)40＜X＜80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000－1600＝3400，因此P（Y＝3400）＝P（40＜X＜80）＝p1＝0．2；當(dāng)80≤X≤120時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000×2－800＝9200，因此P（Y＝9200）＝P（80≤X≤120）＝p2＝0．7；當(dāng)X＞120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000×3＝15000，因此P（Y＝15000）＝P（X＞120）＝p3＝0．1，由此得Y的分布列如下：Y3400920015000P0．20．70．1所以E（Y）＝3400×0．2＋9200×0．7＋15000×0．1＝8620（萬元）．綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺．舉一反三1．已知隨機變量的分布列為，，則等于（）A．6B．9C．3D．4【答案】A【解析】由題意，，，，故選A．2．在—次實驗中，同時拋擲枚均勻的硬幣次，設(shè)枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的方差是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】拋擲枚均勻的硬幣次，正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的概率為,因為,所以的方差是，選A．3．某競猜活動有54人參加．設(shè)計者給每位參與者1道填空題和3道選擇題，答對一道填空題得2分，答對一道選擇題得1分，答錯得0分，若得分總數(shù)大于或等于4分可獲得紀念品．假定每位參與者答對每道填空題的概率為，答對每道選擇題的概率為，且每位參與者答題互不影響．設(shè)參與者中可獲得紀念品的人數(shù)為，則均值（數(shù)學(xué)期望）（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得某位參與者得4分的概率為,得5分的概率為,所以參與者獲得紀念品的概率為,因為,所以選B．4．一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)一件甲等品可獲得50元，生產(chǎn)一件乙等品可獲得30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺機器生產(chǎn)出甲等品，乙等品和次品的概率分別為，和，則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利__________．【答案】39元【解析】∵一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利元，生產(chǎn)出一件次品，要賠元，這臺機器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為，和，∴這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利：，答案為元．5．甲、乙兩人進行“石頭、剪子、布”游戲．開始時每人擁有3張卡片，每一次“出手”（雙方同時）：若分出勝負，則負者給對方一張卡片；若不分勝負，則不動卡片．規(guī)定：當(dāng)一人擁有6張卡片或“出手”次數(shù)達到6次時游戲結(jié)束．設(shè)游戲結(jié)束時“出手”次數(shù)為，則_________．【答案】6．隨機變量的分布列如下：101Pabc其中成等差數(shù)列，若，則的值是__________．【答案】7．某互聯(lián)網(wǎng)理財平臺為增加平臺活躍度決定舉行邀請好友拿獎勵活動，規(guī)則是每邀請一位好友在該平臺注冊，并購買至少1萬元的12月定期，邀請人可獲得現(xiàn)金及紅包獎勵，現(xiàn)金獎勵為被邀請人理財金額的，且每邀請一位最高現(xiàn)金獎勵為300元，紅包獎勵為每邀請一位獎勵50元．假設(shè)甲邀請到乙、丙兩人，且乙、丙兩人同意在該平臺注冊，并進行理財，乙、丙兩人分別購買1萬元、2萬元、3萬元的12月定期的概率如下表：理財金額萬元萬元萬元乙理財相應(yīng)金額的概率丙理財相應(yīng)金額的概率（1）求乙、丙理財金額之和不少于5萬元的概率；（2）若甲獲得獎勵為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）設(shè)乙、丙理財金額分別為ξ萬元、η萬元，則乙、丙理財金額之和不少于5萬元的概率為P（ξ＋η≥5）＝PP＋PP＋PP＝×＋×＋×＝．（2）X的所有可能的取值為300，400，500，600，700．P＝PP＝×＝，P＝PP＋P（ξ＝2）P（η＝1）＝×＋＝．P＝PP＋P（ξ＝3）·P（η＝1）＋PP=×＋×＋×＝,P＝PP＋P（ξ＝3）P（η＝2）＝×＋×=,P＝P（ξ＝3）P（η＝3）＝×＝×=．所以X的分布列為X300400500600700PE（X）＝300×＋400×＋500×＋600×＋700×＝．8．為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）．階梯級別第一階梯第二階梯第三階梯月用電范圍（度）（0,210]（210,400]某市隨機抽取10戶同一個月的用電情況，得到統(tǒng)計表如下：居民用電戶編號12345678910用電量（度）538690124132200215225300410若規(guī)定第一階梯電價每度0．5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0．6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0．8元，試計算A居民用電戶用電410度時應(yīng)交電費多少元？現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望；以表中抽到的10戶作為樣本估計全市的居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大，求的值．【解析】（1）元設(shè)取到第二階梯電量的用戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有3戶，則可取0,1,2,3故的分布列是0123所以可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿足，可知,解得，所以當(dāng)時，概率最大，所以9．經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了該農(nóng)產(chǎn)品．以（單位:）表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，（單位:元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．（1）將表示為的函數(shù)；（2）根據(jù)直方圖估計利潤不少于57000元的概率；（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如:若需求量，則取，且的概率等于需求量落入的頻率），求的數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以（2）由（1）知利潤不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)．由直方圖知需求量的頻率為0．7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤不少于57000元的概率的估計值為0．7．（3）依題意可得的分布列為所以．10．甲、乙兩人參加某種選拔測試，在備選的10道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的5道題。規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，答對一題加10分，答錯一題（不答視為答錯）減5分，至少得15分才能入選．（1）求甲能入選的概率．（2）求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；【解析】（1）由已知甲至少答對2題才能入選，記甲入選為事件，則，（2）設(shè)乙答題所得分數(shù)為，則的可能取值為；；；．其概率分布表如下：．11．某市市民用水?dāng)M實行階梯水價，每人月用水量不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調(diào)查了100位市民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列．（1）求a，b，c的值及居民月用水量在2～2．5內(nèi)的頻數(shù)；（2）根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，應(yīng)將w定為多少？（精確到小數(shù)點后2位）（3）若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機調(diào)查3名居民的月用水量，將月用水量不超過2．5立方米的人數(shù)記為X，求其分布列及均值．【解析】（1）∵前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，∴所對應(yīng)的eq\f(頻率,組距)也成等差數(shù)列，設(shè)a＝0．2＋d，b＝0．2＋2d，c＝0．2＋3d，∴0．5[0．2＋（0．2＋d）×2＋0．2＋2d＋0．2＋3d＋0．1×3]＝1，解得d＝0．1，∴a＝0．3，b＝0．4，c＝0．5．居民月用水量在2～2．5內(nèi)的頻率為0．5×0．5＝0．25．居民月用水量在2～2．5內(nèi)的頻數(shù)為0．25×100＝25．（2）由題圖及（1）可知，居民月用水量小于2．5的頻率為0．7<0．8，∴為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，應(yīng)規(guī)定w＝2．5＋eq\f,0.3)≈2．83．（3）將頻率視為概率，設(shè)A（單位：立方米）代表居民月用水量，可知P（A≤2．5）＝0．7，由題意，X～B（3，0．7），P（X＝0）＝Ceq\o\al(0,3)×0．33＝0．027，P（X＝1）＝Ceq\o\al(1,3)×0．32×0．7＝0．189，P（X＝2）＝Ceq\o\al(2,3)×0．3×0．72＝0．441，P（X＝3）＝Ceq\o\al(3,3)×0．73＝0．343，∴X的分布列為X0123P0．0270．1890．4410．343∵X～B（3，0．7），∴E（X）＝np＝2．1．課后練習(xí)1．設(shè)袋中有兩個紅球一個黑球，除顏色不同，其他均相同，現(xiàn)有放回的抽取，每次抽取一個，記下顏色后放回袋中，連續(xù)摸三次，表示三次中紅球被摸中的次數(shù)，每個小球被抽取的幾率相同，每次抽取相對立，則方差（）A．2B．1C．D．【答案】C【解析】試題分析：每次取球時，取到紅球的概率為、黑球的概率為，所以取出紅球的概率服從二項分布，即,所以，故選C．2．甲乙兩人進行乒乓球比賽,約定每局勝者得分,負者得分,比賽進行到有一人比對方多分或打滿局時停止,設(shè)甲在每局中獲勝的概率為,乙在每局中獲勝的概率為,且各局勝負相互獨立,則比賽停止時已打局數(shù)的期望為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：由已知，的可能取值是設(shè)每局比賽為一輪，則該輪比賽停止的概率為若該輪結(jié)束時比賽還要繼續(xù)，則甲，乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下一輪比賽是否停止沒有影響．所以所以故選B．3．已知隨機變量的分布列為：若，則__________，__________．【答案】【解析】由題意可得：，解得，，故答案為，．4．一個興趣學(xué)習(xí)小組由12男生6女生組成，從中隨機選取3人作為領(lǐng)隊，記選取的3名領(lǐng)隊中男生的人數(shù)為，則的期望=．【答案】2【解析】試題分析：由題意X的可能取值為0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，∴E（X）=0×+1×+2×+3×=25．一批產(chǎn)品的二等品率為0．03，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件數(shù)，則__________．【答案】2．91【解析】由于是有放回的抽樣，所以是二項分布，,填2．91．6．一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有1件次品．用戶先對產(chǎn)品進行隨機抽檢以決定是否接受．抽檢規(guī)則如下：至多抽檢3次，每次抽檢一件產(chǎn)品（抽檢后不放回），只要檢驗到次品就停止繼續(xù)抽檢，并拒收這箱產(chǎn)品；若3次都沒有檢驗到次品，則接受這箱產(chǎn)品，按上述規(guī)則，該用戶抽檢次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是___________．【答案】7．某次乒乓球比賽的決賽在甲乙兩名選手之間舉行，比賽采用五局三勝制，按以往比賽經(jīng)驗，甲勝乙的概率為．（1）求比賽三局甲獲勝的概率；（2）求甲獲勝的概率；（3）設(shè)甲比賽的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．【解析】記甲局獲勝的概率為，，（1）比賽三局甲獲勝的概率是：；（2）比賽四局甲獲勝的概率是：；比賽五局甲獲勝的概率是：；甲獲勝的概率是：．（3）記乙局獲勝的概率為，．，；；故甲比賽次數(shù)的分布列為：345所以甲比賽次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是：8．隨著人們對環(huán)境關(guān)注度的提高，綠色低碳出行越來越受到市民重視．為此貴陽市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)，市民憑本人二代身份證到自行車服務(wù)中心辦理誠信借車卡借車，初次辦卡時卡內(nèi)預(yù)先贈送20積分，當(dāng)積分為0時，借車卡將自動鎖定，限制借車，用戶應(yīng)持卡到公共自行車服務(wù)中心以1元購1個積分的形式再次激活該卡，為了鼓勵市民租用公共自行車出行，同時督促市民盡快還車，方便更多的市民使用，公共自行車按每車每次的租用時間進行扣分收費，具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下：①租用時間不超過1小時，免費；②租用時間為1小時以上且不超過2小時，扣1分；③租用時間為2小時以上且不超過3小時，扣2分；④租用時間超過3小時，按每小時扣2分收費（不足1小時的部分按1小時計算）．甲、乙兩人獨立出行，各租用公共自行車一次，兩人租車時間都不會超過3小時，設(shè)甲、乙租用時間不超過1小時的概率分別是0．4和0．5；租用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0．4和0．3．（1）求甲、乙兩人所扣積分相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（Ⅰ）分別記“甲扣0，1，2分”為事件，它們彼此互斥，且．分別記“乙扣0，1，2分”為事件，它們彼此互斥，且．由題知，與相互獨立，記甲、乙兩人所扣積分相同為事件，則，所以=．（Ⅱ）的可能取值為：，，，，，所以的分布列為：01234P0．20．320．30．140．04的數(shù)學(xué)期望．9．某飯店從某水產(chǎn)養(yǎng)殖廠購進一批生蠔，并隨機抽取了40只統(tǒng)計質(zhì)量，得到結(jié)果如表所示：質(zhì)量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]數(shù)量（只）6101284（1）若購進這批生蠔500kg，且同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，試估計這批生蠔的數(shù)量（所得結(jié)果保留整數(shù)）；（2）以頻率視為概率，若在本次購買的生蠔中隨機挑選4個，記質(zhì)量在[5，25）間的生蠔的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由表中的數(shù)據(jù)可以估算一只生蠔的質(zhì)量為eq\f(1,40)（6×10＋10×20＋12×30＋8×40＋4×50）＝28．5（g），所以購進500kg生蠔，其數(shù)量為500000÷28．5≈17544（只）．（2）由表中數(shù)據(jù)知，任意挑選一只生蠔，質(zhì)量在[5，25）間的概率為eq\f(2,5)，由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，P（X＝0）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(4)＝eq\f(81,625)，P（X＝1）＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(216,625)，P（X＝2）＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(216,625)，P（X＝3）＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(1)＝eq\f(96,625)，P（X＝4）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(4)＝eq\f(16,625)，∴X的分布列為X01234Peq\f(81,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(96,625)eq\f(16,625)∴E（X）＝0×eq\f(81,625)＋eq\f(216,625)×3＋eq\f(96,625)×3＋eq\f(16,625)×4＝eq\f(8,5)．10．某投資公司在2023年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；項目二：通信設(shè)備．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15)．針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由．【解析】若按“項目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元．則X1的分布列為X1300－150Peq\f(7,9)eq\f(2,9)∴E（X1）＝300×eq\f(7,9)＋（－150）×eq\f(2,9)＝200（萬元）．若按“項目二”投資，設(shè)獲利X2萬元，則X2的分布列為：X2500－3000Peq\f(3,5)eq\f(1,3)eq\f(1,15)∴E（X2）＝500×eq\f(3,5)＋（－300）×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,15)＝200（萬元）．D（X1）＝（300－200）2×eq\f(7,9)＋（－150－200）2×eq\f(2,9)＝35000，D（X2）＝（500－200）2×eq\f(3,5)＋（－300－200）2×eq\f(1,3)＋（0－200）2×eq\f(1,15)＝140000．所以E（X1）＝E（X2），D（X1）<D（X2），這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資．11．某市對大學(xué)生畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)人員給予小額貸款補貼，貸款期限分為6個月、12個月、18個月、24個月、36個月五種，對于這五種期限的貸款政府分別補貼200元、300元、300元、400元、400元，從2022年享受此項政策的自主創(chuàng)業(yè)人員中抽取了100人進行調(diào)查統(tǒng)計，選擇的貸款期限的頻數(shù)如下表：貸款期限6個月12個月18個月24個月36個月頻數(shù)2040201010以上表中選擇的各種貸款期限的頻數(shù)作為2023年自主創(chuàng)業(yè)人員選擇的各種貸款期限的概率．（1）某大學(xué)2023年畢業(yè)生中共有3人準(zhǔn)備申報此項貸款，計算其中恰有2人選擇的貸款期限為12個月的概率；（2）設(shè)給某享受此項政策的自主創(chuàng)業(yè)人員的補貼為X元，寫出X的分布列；該市政府要做預(yù)算，若預(yù)計2023年全市有600人申報此項貸款，則估計2023年該市共要補貼多少萬元．【解析】（1）由題意知，每人選擇的貸款期限為12個月的概率為eq\f(2,5)，所以3人中恰有2人選擇的貸款期限為12個月的概率P＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2×eq\f(3,5)＝eq\f(36,125)．（2）由題意知，享受的補貼為200元的概率p1＝eq