專題15 等腰三角形中綜合問題的探究（解析版）

專題15等腰三角形中綜合問題的探究類型一等腰三角形、角平分線與平行線的知二推三模型1．（2022秋?漢壽縣期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長等于邊AB與AC的和；④BF＝CF；⑤∠BFC＝90°+12∠A．①②⑤ B．①②③④ C．①②④ D．①②③⑤【思路引領(lǐng)】①根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線定義可以得DE∥BC，從而得到△BDF和△CEF都是等腰三角形；②同①有DF＝DB，F(xiàn)E＝EC，所以DE＝DF+EF＝BD+CE；③由②得：△ADE的周長為：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；④因為∠ABC不一定等于∠ACB，所以∠FBC不一定等于∠FCB，所以BF與CF不一定相等；⑤由角平分線定義和三角形內(nèi)角和定理可以得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，∴∠FBC＝∠DBF，∠FCE＝∠FCB，∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DF＝DB，F(xiàn)E＝EC，即△BDF和△CEF都是等腰三角形；故①正確；∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正確；∴△ADE的周長為：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC，故③正確；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠FBC不一定等于∠FCB，∴BF與CF不一定相等，故④錯誤；由題意知，∠FBC=1∴∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-故選：D．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯角相等及等角對等邊來判定等腰三角形；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023秋?南宮市期末）已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于點E，EF∥AB交AC于點F．求證：△FEC是等腰三角形．【思路引領(lǐng)】利用平行線以及角平分線的定義證明∠2＝∠3，再根據(jù)等角的余角相等證明∠4＝∠5即可解決問題；【解答】證明：如圖，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵EF∥AB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵CE⊥AD于點E，∴∠AEC＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，∴FE＝FC，∴△FEC是等腰三角形．【總結(jié)提升】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．3．（2020秋?播州區(qū)期末）已知△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點D，DE∥BC．（1）如圖1，如果點E是邊AC的中點，AC＝8，求DE的長；（2）如圖2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC邊上取點F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的長．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)角平分線定義得到∠BCD＝∠ACD，由于DE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得∠EDC＝∠BCD，則∠EDC＝∠ACD，然后根據(jù)等腰三角形的判定得ED＝EC，由點E是邊AC的中點，AC＝8，得EC＝4，所以DE＝4；（2）作DG⊥BC于點G，易求GB、GF的長，再根據(jù)在直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半即可求出DF的長．【解答】解：（1）∵DC平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠EDC＝∠ACD，∴ED＝EC，∵點E是邊AC的中點，AC＝8，∴EC=12AC＝∴DE＝4；（2）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∴DB＝DC．如圖2，作DG⊥BC于點G，∵DB＝DC，DG⊥BC，∴GB=12BC=12∵∠ABC＝30°，BF＝DF，∴∠BDF＝∠B＝30°，∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，∴∠FDG＝30°，∴BF＝DF＝2FG，∴GF＝1.5，∴DF＝2FG＝3．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及在直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各種幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型二等腰三角形與軸對稱或垂直平分線的綜合4．（2023秋?惠東縣期末）如圖，CN是等邊△ABC的外角∠ACM內(nèi)部的一條射線，點A關(guān)于CN的對稱點為D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CN于點E，P．（1）求證：CD＝CB；（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；（3）請判斷線段PB，PC與PE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)對稱性和等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）根據(jù)對稱得：CN是AD的垂直平分線，則CA＝CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形可得結(jié)論；（3）作輔助線，在PB上截取PF使PF＝PC，如圖，連接CF．先證明△CPF是等邊三角形，再證明△BFC≌△DPC，則BF＝PD＝2PE．根據(jù)線段的和可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵點A與點D關(guān)于CN對稱，∴CN是AD的垂直平分線，∴CA＝CD，∵等邊△ABC，∴CA＝CB，∴CD＝CB；（2）解：∵CN是AD的垂直平分線，CA＝CD．∴∠ACE＝∠DCE，∵∠ACN＝α，∴∠ACD＝2∠ACN＝2α．∵CB＝CD，∠ACB＝60°．∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α．∴∠BDC＝∠DBC=12（180°﹣∠BCD）＝60°﹣（3）結(jié)論：PB＝PC+2PE．證明：在PB上截取PF使PF＝PC，如圖，連接CF．設(shè)∠ACN＝α，∵CA＝CD，∠ACD＝2α，∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α．∵∠BDC＝60°﹣α，∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝30°，∴PD＝2PE．∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°．∴△CPF是等邊三角形．∴∠CPF＝∠CFP＝60°．∴∠BFC＝∠DPC＝120°．∴在△BFC和△DPC中，∠CFB=∠CPD∠CBF=∠CDP∴△BFC≌△DPC（AAS）．∴BF＝PD＝2PE．∴PB＝PF+BF＝PC+2PE．【總結(jié)提升】此題是三角形綜合題，主要考查了對稱的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，第三問作出輔助線構(gòu)建等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．5．（2023春?鳳城市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分線，垂足為D，交AC于點E．（1）若∠ABE＝50°，求∠EBC的度數(shù)；（2）若△ABC的周長為43cm，BC的長為11cm，求△BCE的周長【思路引領(lǐng)】（1）由DE是AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝BE，則可求得∠ABE的度數(shù)，又由AB＝AC，根據(jù)等邊對等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠ABC的度數(shù)，繼而求得答案；（2）求出AC和BC的值，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝BE，求出△BCE的周長＝AC+BC，代入求出即可．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB∴∠A＝∠ABE＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC=12×（180°﹣50∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣50°＝15°；（2）∵△ABC的周長為43cm，BC＝11cm∴AB＝AC＝16cm，又∵DE垂直平分AB∴EA＝EB，∴△BCE的周長為：BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝16+11＝27cm．【總結(jié)提升】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，能求出AE＝BE是解此題的關(guān)鍵，此題比較簡單，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．類型三等腰三角形與翻折或旋轉(zhuǎn)變換的綜合6．如圖，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，點D在線段AB上運動（不與A、B重合），將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ．（1）證明：CP＝CQ；（2）求∠PCQ的度數(shù)；（3）當(dāng)點D是AB中點時，請直接寫出△PDQ是何種三角形．【思路引領(lǐng)】（1）由折疊直接得到結(jié)論；（2）由折疊的性質(zhì)求出∠ACP+∠BCQ＝120°，再用周角的意義求出∠PCQ＝120°；（3）先判斷出△APD是等邊三角形，△BDQ是等邊三角形，再求出∠PDQ＝60°，即可．【解答】解：（1）∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴CP＝CD＝CQ；（2）∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴∠ACP＝∠ACD，∠BCQ＝∠BCD，∴∠ACP+∠BCQ＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝120°，∴∠PCQ＝360°﹣（∠ACP+BCQ+∠ACB）＝360°﹣（120°+120°）＝120°；（3）△PDQ是等邊三角形．理由：∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴AD＝AP，∠DAC＝∠PAC，∵∠DAC＝30°，∴∠APD＝60°，∴△APD是等邊三角形，∴PD＝AD，∠ADP＝60°，同理：△BDQ是等邊三角形，∴DQ＝BD，∠BDQ＝60°，∴∠PDQ＝60°，∵當(dāng)點D在AB的中點，∴AD＝BD，∴PD＝DQ，∴△DPQ是等邊三角形【總結(jié)提升】此題是幾何變換綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是判斷出∠PCQ＝120°是個定值．7．（2023?昌平區(qū)二模）在等邊△ABC中，點D是AB中點，點E是線段BC上一點，連接DE，∠DEB＝α（30°≤α＜60°），將射線DA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α，得到射線DQ，點F是射線DQ上一點，且DF＝DE，連接FE，F(xiàn)C．（1）補全圖形；（2）求∠EDF度數(shù)；（3）用等式表示FE，F(xiàn)C的數(shù)量關(guān)系，并證明．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)題意可直接畫出圖形，（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答，（3）添加輔助線得到△CEG，進而△CEG為等邊三角形，可得線段相等，再證明△BDE≌△ADG即可得出FE＝FC．【解答】解：（1）（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°．∵射線DA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α，得到射線DQ，∴∠ADF＝α．∴∠BDF＝180°﹣α．∵∠DEB＝α，∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α．∴∠EDF＝∠BDF﹣∠BDE＝180°﹣α﹣（120°﹣α）＝60°．（3）FE＝FC，證明如下：在CA上截取CG，使CG＝CE，連接EG，連接DG，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，AC＝BC．∴△EGC是等邊三角形．∴∠GEC＝60°，GE＝EC．∵∠EDF＝60°，DE＝DF，∴△DEF是等邊三角形．∴∠DEF＝60°，DE＝EF．∴∠DEF+∠FEG＝∠GEC+∠FEG．∠DEG＝∠FEC．∴△DEG≌△FEC（SAS）．∴DG＝FC．∵AC﹣GC＝BC﹣EC，∴AG＝BE．∵點D是AB的中點，∴AD＝DB．∵∠A＝∠B，∴△BDE≌△ADG（SAS），∴DE＝DG，∴FE＝FC．【總結(jié)提升】此題是一個綜合性很強的題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形相似、旋轉(zhuǎn)的特征，本題有一定難度．8．（2022春?綏棱縣校級期末）將兩個等邊三角形（每個內(nèi)角都等于60°）如圖1疊放在一起，現(xiàn)將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（旋轉(zhuǎn)角0°＜a＜360°），請?zhí)骄肯铝袉栴}：（1）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足0°＜a≤60°時，請寫出∠BCD與∠ACE的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足60°＜a≤120°時，請寫出∠BCE與∠ACD的關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)DE∥BC時請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)或等邊三角形的定義可得結(jié)論：∠BCD＝∠ACE；（2）根據(jù)角的和與差可得結(jié)論：∠BCE﹣∠ACD＝120°；（3）在旋轉(zhuǎn)角0°＜a＜360°時，正確畫圖可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖2，∠BCD＝∠ACE，理由如下：∵△ABC和△CDE是等邊三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE；（2）如圖3，∠BCE﹣∠ACD＝120°，理由如下：由旋轉(zhuǎn)得：∠BCD＝∠ACE，∴∠BCE﹣∠ACD＝∠ACB+∠ACD+∠DCE﹣∠ACD＝∠ACB+∠DCE＝120°；（3）如圖4，當(dāng)DE∥BC時，α＝60°；如圖5，當(dāng)DE∥BC時，α＝180°+60°＝240°；綜上，當(dāng)DE∥BC時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°或240°．【總結(jié)提升】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型四平面直角坐標(biāo)系背景下的等腰三角形9．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOP為等邊三角形，A點坐標(biāo)為（0，1），點B為y軸上位于A點上方的一個動點，以BP為邊向BP的右側(cè)作等邊△PBC，連接CA，并延長CA交x軸于點E．（1）求證：OB＝AC；（2）當(dāng)點B在運動時，AE的長度是否發(fā)生變化？請說明理由；（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點Q，使得△AEQ為等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，求出∠OPB＝∠APC，證出△PBO≌△PCA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）∠EAO＝60゜，求出∠AEO＝30゜，得出AE＝2AO，求出即可；（3）①當(dāng)AQ＝AE＝2時，△AEQ為等腰三角形，點Q在y軸的正半軸上，求得OQ＝AE+AO＝3，②當(dāng)AQ＝AE＝2時，△AEQ為等腰三角形，點Q在y軸的負半軸上，求得OQ＝AQ﹣AO＝1，③當(dāng)EQ＝AE＝2時，△AEQ為等腰三角形，x軸是AQ的垂直平分線，求得OQ＝AO＝1，即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△BPC和△AOP是等邊三角形，∴OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，∴∠APO+∠APB＝∠BPC+∠APB，即∠OPB＝∠APC，在△PBO和△PCA中，OP=PA∠OPB=∠APC∴△PBO≌△PCA（SAS），∴OB＝AC．（2）解：當(dāng)B點運動時，AE的長度不發(fā)生變化，理由是：∵∠EAO＝∠BAC＝60゜，∠AOE＝90°，∴∠AEO＝30゜，∴AE＝2AO＝2，即當(dāng)B點運動時，AE的長度不發(fā)生變化．（3）解：存在，∵AE＝2AO＝2，∴①當(dāng)AQ＝AE＝2時，△AEQ為等腰三角形，點Q在y軸的正半軸上，∴OQ＝AE+AO＝3，∴Q（0，3），②當(dāng)AQ＝AE＝2時，△AEQ為等腰三角形，點Q在y軸的負半軸上，∴OQ＝AQ﹣AO＝1，∴Q（0，﹣1），③當(dāng)EQ＝AE＝2時，△AEQ為等腰三角形，x軸是AQ的垂直平分線，∴OQ＝AO＝1，∴Q（0，﹣1）．綜上所述：在y軸上存在點Q，使得△AEQ為等腰三角形，Q（0，3），（0，﹣1）．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟練正確坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?河北區(qū)期末）如圖，△AOB是等邊三角形，以直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，若B（a，b），且a，b滿足a+5+(b-53)2=0，點D為y軸上一動點，以為AD邊作等邊三角形ADC，CB（1）如圖1，求A點的坐標(biāo)；（2）如圖2，點D在y軸正半軸上，點C在第二象限，CE的延長線交x軸于點M，當(dāng)D點在y軸正半軸上運動時，M點的坐標(biāo)是否發(fā)生變化？若不變，求M點的坐標(biāo)；若變化，說明理由．【思路引領(lǐng)】（1）如圖1中，作BF⊥AO于F．理由非負數(shù)的性質(zhì)求出點B坐標(biāo)即可解決問題；（2）點M的坐標(biāo)不發(fā)生變化．只要證明△OAD≌△BAC，推出∠AOD＝∠CBA＝90°，在Rt△ABM中，解直角三角形即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1中，作BF⊥AO于F．∵a+5+（b﹣53）2＝0∴a＝﹣5，b＝53，∴B（﹣5，53），∵BA＝BO，BF⊥OA，∴FA＝FO＝5，∴OA＝10，∴A（﹣10，0）．（2）點M的坐標(biāo)不發(fā)生變化，M（10，0），理由：如圖2中，∵△ABO，△ADC都是等邊三角形，∴∠OAB＝∠DAC，OA＝OB，AD＝AC，∴∠OAD＝∠BAC，∴△OAD≌△BAC（SAS），∴∠AOD＝∠CBA＝90°，在Rt△ABM中，∠ABM＝90°，AB＝OA＝10，∠BAM＝60°，∴AM＝2AB＝20，∴OM＝AM﹣OA＝10，∴M（10，0）．【總結(jié)提升】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．11．（2021春?花都區(qū)期末）“長度”和“角度”是幾何學(xué)研究的核心問題．相交線與平行線的學(xué)習(xí)，讓我們對“角度轉(zhuǎn)化”有了深刻的體會．某數(shù)學(xué)興趣小組受此啟發(fā)，試圖溝通“角度”與“長度”間的關(guān)系．在研究過程中他們發(fā)現(xiàn)了一條關(guān)于三角形的重要結(jié)論﹣﹣“等角對等邊”，即：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．如圖，在△EBD中，若∠B＝∠D，則ED＝EB．以此為基礎(chǔ)，該興趣小組邀請你加入研究，繼續(xù)解決如下新問題：在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，0），已知（a+3）2+b-3=0，點C為x軸上方的一（1）如圖1，已知點D（﹣2，2），BC上有一點E（1，2）．則①DE與x軸的位置關(guān)系為平行；②求BE的長度；（2）如圖2，AH、BH分別平分∠CAB、∠CBA，過H點作AB的平行線，分別交AC、BC于點F、G．若F（m，n），G（m+4，n），求四邊形ABGF的周長；（3）當(dāng)點C為x軸上方的一動點（不在y軸上）時，連接CA、CB．若∠CAB鄰補角的角平分線和∠CBA的角平分線交于點P，過點P作AB的平行線，分別交直線AC、直線BC于點M、N