第1章 數(shù)的整除全章復習與測試（解析版）

第1章數(shù)的整除全章復習與測試【知識梳理】1.；2.整除：整數(shù)a除以整數(shù)b，若除得的商是整數(shù)且余數(shù)為零.即稱：a能被b整除；或b能整除a.整除的條件：整除與除盡的關系3.因數(shù)與倍數(shù)：整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫b的倍數(shù)，b就叫a的因數(shù)（約數(shù)）.因數(shù)與倍數(shù)的特征：4.能被2整除的數(shù)，能5整除的數(shù)的特征：個位上數(shù)字是0，5；能同時被2、5整除的數(shù)：個位上數(shù)字是0.*能被3整除的數(shù)：一個整數(shù)的各個數(shù)位上數(shù)字之和能被3整除，這個整數(shù)就能被3整除.*能同時被2、3和5整除的數(shù)：個位數(shù)是0，且各個數(shù)位上數(shù)字之和能被3整除5.6.7.8.9.10.重要結論：【考點剖析】一．數(shù)的整除（共7小題）1．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）下列各組數(shù)中，第一個數(shù)能被第二個數(shù)整除的是（）A．25和50 B．42和3 C．10和4 D．9和1.5【分析】根據(jù)整除的定義計算即可．【解答】解：A，50÷25＝2，本選項符合題意；B，，本選項不符合題意；C，，本選項不符合題意；D，，本選項不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查整除的計算，理解整除的定義是解題關鍵．2．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）下列說法中，正確的個數(shù)有（）①32能被4整除；②1.5能被0.5整除；③13能整除13；④0能整除5；⑤25不能被5整除；⑥0.3不能整除24．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)整除的定義逐一分析判斷即可．【解答】解：①32能被4整除，說法正確；②1.5不能被0.5整除，說法錯誤；③13能整除13，說法正確；④0不能整除5，說法錯誤；⑤25能被5整除，說法錯誤；⑥0.3不能整除24，說法正確．說法正確的有3個．故選：B．【點評】本題考查了數(shù)的整除，若整數(shù)a除以非零整數(shù)b，商為整數(shù)，且余數(shù)為零，我們就說a能被b整除（或說b能整除整除a）整除，a為被除數(shù)，b為除數(shù)．3．（2022秋?徐匯區(qū)期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整數(shù)是10．【分析】根據(jù)能被2，5整除的數(shù)的特征，可以得到：最小正整數(shù)的個位不能是5，只能是0，因為是最小的正整數(shù)，所以十位上的數(shù)字是1，則可解答．【解答】解：根據(jù)能被2，5整除的數(shù)的特征可知，既能被2整數(shù)，又能被5整除的最小正整數(shù)是：10．故答案為：10．【點評】本題主要考查整除的性質及應用，解答的關鍵是明確能被2、5整除的數(shù)的特征．4．（2022秋?寶山區(qū)期中）在能夠同時被2和5整除的所有兩位數(shù)中，最大的是90．【分析】先確定能夠同時被2和5整除的所有兩位數(shù)，然后作出判斷即可．【解答】解：能夠同時被2和5整除的所有兩位數(shù)是10，20，30，40，50，60，70，80，90．故最大的是90．故答案為：90．【點評】本題考查了數(shù)的整除，若整數(shù)a除以非零整數(shù)b，商為整數(shù)，且余數(shù)為零，我們就說a能被b整除整除（或說b能整除整除a），a為被除數(shù)，b為除數(shù)．5．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）能同時被2、5整除的最大兩位數(shù)是90．【分析】根據(jù)整除的含義，可得：能同時被2和5整除的數(shù)的個位上是0，所以正整數(shù)中，能同時被2和5整除的最大的兩位數(shù)是90．【解答】解：因為能同時被2和5整除的數(shù)的個位上是0，所以正整數(shù)中，能同時被2和5整除的最大的兩位數(shù)是90．故答案為：90．【點評】此題主要考查了整除的性質及應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：能同時被2和5整除的數(shù)的個位上是0．6．（2022秋?寶山區(qū)校級月考）能整除16的數(shù)有1，2，4，8，16．【分析】根據(jù)有理數(shù)除法的計算法則得出16能被哪些數(shù)整除即可．【解答】解：∵16＝1×16＝2×8＝4×4，∴能整除16的數(shù)有1，2，4，8，16，故答案為：1，2，4，8，16．【點評】本題考查整除的性質及應用，理解整除的意義是正確解答的關鍵．7．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”這是馳名中外的中國古代問題之一，它是我國古代的一本著名的數(shù)學名書《孫子算經》中的一道題目，人們把它稱為“韓信點兵”．這道題目可以譯為：一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求適合條件的最小的數(shù)？這就是外國人所稱的“中國剩余定理”，是數(shù)學史上極有名的問題．表示的具體解法是：先分別求出能被5和7整除而被3除余1的數(shù)（70），能被3和7整除而被5除余1的數(shù)（21），能被3和5整除而被7除余1的數(shù)（15），然后用被3、5、7除所得的余數(shù)（即2、3、2）分別去乘這三個數(shù)，再相加，也就是70×2+21×3+15×2＝233．最后從233中減去3、5、7的最小公倍數(shù)105，如果得出的差還是比105大，就再減去105，一直到得數(shù)比105小為止．233﹣105×2＝23．這就是適合條件的最小的數(shù)．同學們，你能不能用這樣的方法來解答下面的題目呢？或許你有更好的辦法！一個數(shù)除以5余3，除以6余4，除以7余1，求適合條件的最小自然數(shù)．【分析】先分別求出能被6和7整除而被5除余1的數(shù)（126），能被5和7整除而被6除余1的數(shù)（175），能被5和6整除而被7除余1的數(shù)（120），然后用被5、6、7除所得的余數(shù)（即3、4、1）分別去乘這三個數(shù)，再相加，也就是126×3+175×4+120×1＝1198．最后從1198中減去5、6、7的最小公倍數(shù)210，如果得出的差還是比210大，就再減去210，一直到得數(shù)比210小為止．1198﹣210×5＝148．這就是適合條件的最小的數(shù)．【解答】解：能被6和7整除而被5除余1的數(shù)（126），能被5和7整除而被6除余1的數(shù)（175），能被5和6整除而被7除余1的數(shù)（120），126×3+175×4+120×1＝378+700+120＝1198．1198﹣210×5＝1198﹣1050＝148．答：適合條件的最小自然數(shù)是148．【點評】本題考查了數(shù)的整除，最小公倍數(shù)，關鍵是熟練掌握“中國剩余定理”．二．因數(shù)（共7小題）8．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）16的所有因數(shù)的和是31．【分析】先寫出16的所有因數(shù)，再求和．【解答】解：16的因數(shù)有：1，2，4，8，16．所以1+2+4+8+16＝31，故答案為：31．【點評】本題考查求一個數(shù)的因數(shù)，解題的關鍵是掌握因數(shù)的求法，如相乘法、短除法、配對法等．9．（2022秋?青浦區(qū)期中）24的因數(shù)有1，2，3，4，6，8，12，24．【分析】兩個正整數(shù)相乘，那么這兩個數(shù)都叫做積的因數(shù)因數(shù)，根據(jù)定義直接寫出即可．【解答】解：24的因數(shù)有1，2，3，4，6，8，12，24．故答案為：1，2，3，4，6，8，12，24．【點評】本題考查了因數(shù)，解題的關鍵是掌握因數(shù)的定義．10．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）規(guī)定一種新運算：對于不小于3的正整數(shù)n，（n）表示不是n的因數(shù)的最小正整數(shù)，如5的因數(shù)是1和5，所以（5）＝2；再如（8）的因數(shù)是1、2、4和8，所以（8）＝3等等，請你在理解這種新運算的基礎上，求（9）+（12）＝7．【分析】直接利用新定義得出（9）＝2，（12）＝5，進而得出答案．【解答】解：對于不小于3的正整數(shù)n，（n）表示不是n的因數(shù)的最小正整數(shù)，∵9的因數(shù)有：1，3，9，∴（9）＝2，∵12的因數(shù)有：1，2，3，4，6，12，∴（12）＝5，∴（9）+（12）＝2+5＝7．故答案為：7．【點評】此題主要考查了一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)，正確理解題意是解題關鍵．11．（2022秋?嘉定區(qū)期中）18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18．【分析】先寫出18的因數(shù)：18＝1×18，2×9，3×6因此18的因數(shù)有1，2，3，6，9，18解答即可．【解答】解：根據(jù)因數(shù)的定義，可得18的因數(shù)有：1、2、3、6、9、18．故答案為：1、2、3、6、9、18．【點評】本題考查了因數(shù)，掌握找一個數(shù)因數(shù)的方法是解題的關鍵．12．（2022秋?青浦區(qū)期中）我們知道，每個自然數(shù)都有因數(shù)，對于一個自然數(shù)a，我們把小于a的正的因數(shù)叫做a的真因數(shù)．如10的正因數(shù)有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數(shù)．把一個自然數(shù)a的所有真因數(shù)的和除以a，所得的商叫做a的“完美指標”．所以，16的“完美指標”是．【分析】先確定16的真因數(shù)，然后根據(jù)新定義求解即可．【解答】解：∵16的因數(shù)為1，2，4，8，16，∴16的真因數(shù)為1，2，4，8，∴16的“完美指標”是（1+2+4+8）÷16＝．故答案為：．【點評】本題考查了因數(shù)，解題的關鍵掌握因數(shù)的定義確定a的因數(shù)．13．（2022秋?楊浦區(qū)期中）8的因數(shù)有1、2、4、8．【分析】先寫出8的因數(shù)：8＝1×8，2×4因此8的因數(shù)有1，2，4，8解答即可．【解答】解：8的因數(shù)有：1、2、4、8．故答案為：1、2、4、8．【點評】本題考查了因數(shù)，掌握找一個數(shù)因數(shù)的方法是解題的關鍵．14．（2021秋?長寧區(qū)校級期中）規(guī)定用[A]表示數(shù)A的因數(shù)的個數(shù)，例如[4]＝3，計算（[84]﹣[51]）÷[91]＝2．【分析】先求出84，51，91的因數(shù)，分別確定[84]、[51]、[91]的值，再計算即可．【解答】解：84＝1×84＝2×42＝3×28＝4×21＝6×14＝7×12，84的因數(shù)的個數(shù)為12，∴[84]＝12；51＝1×51＝3×17，51的因數(shù)的個數(shù)為4，∴[51]＝4；91＝1×91＝13×7，91的因數(shù)的個數(shù)為4，∴[91]＝4；∴（[84]﹣[51]）÷[91]＝（12﹣4）÷4＝8÷4＝2，故答案為：2．【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算、新定義，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．三．最大公因數(shù)（共4小題）15．（2022秋?徐匯區(qū)期末）如果A＝2×3×5，B＝2×2×3，則A和B的最大公因數(shù)是6．【分析】根據(jù)最大公約數(shù)的意義可知：最大公約數(shù)是兩個數(shù)的公有質因數(shù)的乘積，據(jù)此解答．【解答】解：A＝2×3×5，B＝2×2×3，A和B公有的質因數(shù)是：2和3，所以A和B兩個數(shù)的最大公因數(shù)是：2×3＝6；故答案為：6．【點評】此題考查了求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法：兩個數(shù)公有質因數(shù)的乘積是它們的最大公約數(shù)，所以找準公有的質因數(shù)是關鍵．16．（2022秋?松江區(qū)期末）18和42的最大公因數(shù)是6．【分析】18和42的最大公因數(shù)是公有的質因數(shù)的乘積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)．【解答】解：18的因數(shù)有1、2、3、6、18；42的因數(shù)有1、2、3、6、7、21、42，根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得18和42的最大公因數(shù)是6．故答案為：6．【點評】此題考查最大公因數(shù)，關鍵是根據(jù)最大公因數(shù)是公有的質因數(shù)的乘積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)解答．17．（2022秋?楊浦區(qū)期末）求18與30的最大公因數(shù)為：6．【分析】找兩個數(shù)的最大公因數(shù)可用短除法或者分解質因數(shù)的辦法．【解答】解：18＝3×6，30＝5×6，根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得18與30的最大公因數(shù)是6．故答案為：6．【點評】本題考查了公因數(shù)和最大公因數(shù)，掌握最大公因數(shù)的定義是解答本題的關鍵．18．（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）已知A＝2×3×5，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因數(shù)是6．【分析】兩個數(shù)的公有質因數(shù)的連乘積是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)，依此即可求解．【解答】解：已知A＝2×3×5，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因數(shù)是2×3＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法的方法：兩個數(shù)的公有質因數(shù)連乘積是最大公約數(shù)；數(shù)字大的可以用短除法解答．四．最大公因數(shù)的應用（共3小題）19．（2022秋?嘉定區(qū)期中）有三根繩子，分別長36米，54米，63米，現(xiàn)在要將它們裁成長度相等的短繩且沒有剩余，每根短繩最長可以是幾米？這樣的短繩有幾根？【分析】先求出36，54，63的最大公因數(shù)，再求可以分成多少段．【解答】解：∵36＝2×3×2×3，54＝2×3×3×3，63＝3×3×7，∴36，54，63的最大公因數(shù)是9，4+6+7＝17，答：每根短繩最長可以是9米，這樣的短繩有17根．【點評】本題考查的是最大公因數(shù)的應用，理解題意是解題的關鍵．20．（2022秋?松江區(qū)期中）一張長36厘米，寬20厘米的長方形紙片，把它裁成大小相等的正方形小紙片而沒有剩余，裁出的正方形紙片最少有多少張？【分析】根據(jù)題意，裁成的正方形邊長最大是多少，是求36和20的最大公因數(shù)，求至少可以裁成多少個這樣的正方形，用這張紙的面積除以正方形面積．由此解答即可．【解答】解：∵36＝2×2×3×3，20＝2×2×5，∴36、20的最大公因數(shù)為：2×2＝4，∴36×20÷（4×4）＝720÷16＝45（張），答：裁出的正方形紙片最少有45張．【點評】此題主要考查求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，能夠根據(jù)求最大公因數(shù)的方法解決有關的實際問題是解題的關鍵．21．（2022秋?松江區(qū)校級月考）小明把一張長為72厘米，寬為42厘米的長方形紙片裁成大小相等的正方形紙片，而且沒有剩余，請你幫助小明算一下，裁出的正方形紙片最少有多少張？【分析】根據(jù)題意，裁成的正方形邊長最大是多少，是求72和42的最大公因數(shù)，求至少可以裁成多少個這樣的正方形，用這張紙的面積除以正方形面積．由此解答即可．【解答】解：∵72＝2×2×2×3×3，42＝2×3×7，∴72、42的最大公因數(shù)為：2×3＝6，72×42÷（6×6）＝3024÷36＝84（張），答：裁出的正方形紙片最少有84張．【點評】此題主要考查求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，能夠根據(jù)求最大公因數(shù)的方法解決有關的實際問題是解題的關鍵．五．倍數(shù)（共2小題）22．（2022秋?青浦區(qū)期中）下列數(shù)中，既是3的倍數(shù)，又是60的因數(shù)的數(shù)是（）A．9 B．15 C．20 D．45【分析】根據(jù)倍數(shù)和因數(shù)的定義解答即可．【解答】解：A、9是3的倍數(shù)，但不是60的因數(shù)，故本選項不符合題意；B、15是3的倍數(shù)，也是60的因數(shù)，故本選項符合題意；C、20不是3的倍數(shù)，是60的因數(shù)，故本選項不符合題意；D、45是3的倍數(shù)，但不是60的因數(shù)，故本選項不符合題意．故選：B．【點評】本題考查了因數(shù)和倍數(shù)，解題的關鍵是掌握因數(shù)和倍數(shù)的定義．一個整數(shù)能夠被另一個整數(shù)整除，這個整數(shù)就是另一整數(shù)的倍數(shù)倍數(shù)．23．（2022秋?寶山區(qū)期中）在正整數(shù)18、4、3中，18是3的倍數(shù)．【分析】一個整數(shù)能夠被另一個整數(shù)整除，這個整數(shù)就是另一整數(shù)的倍數(shù)倍數(shù)，根據(jù)倍數(shù)的概念判斷即可．【解答】解：在正整數(shù)18、4、3中，18是3的6倍，所以18是3的倍數(shù)．故答案為：18，3．【點評】本題考查了倍數(shù)，解題的關鍵是掌握倍數(shù)的定義并靈活運用．六．最小公倍數(shù)（共3小題）24．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）若A＝2×3×5，B＝2×3×7，則A與B的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是210．【分析】把兩個數(shù)的公因數(shù)相乘即可得到最大公因數(shù)；把兩個數(shù)的所有質因數(shù)相乘即可得到最小公倍數(shù)．【解答】解：∵A＝2×3×5，B＝2×3×7，則A與B的最大公因數(shù)是2×3＝6；最小公倍數(shù)是2×3×5×7＝210．故答案為：6，210．【點評】本題考查的是最小公倍數(shù)，熟知最小公倍數(shù)是共有質因數(shù)和獨有質因數(shù)的積是解題的關鍵．25．（2022秋?青浦區(qū)期中）A＝2×3×3，B＝2×3×5，則A和B的最小公倍數(shù)是90．【分析】根據(jù)最小公倍數(shù)是共有質因數(shù)和獨有質因數(shù)的積解答即可．【解答】解：∵A＝2×3×3，B＝2×3×5，∴A和B的最小公倍數(shù)＝2×3×3×5＝90．故答案為：90．【點評】本題考查的是最小公倍數(shù)，熟知最小公倍數(shù)是共有質因數(shù)和獨有質因數(shù)的積是解題的關鍵．26．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）已知A＝2×3×a×7，B＝3×5×7．如果A和B的最小公倍數(shù)是630，那么a＝3．【分析】根據(jù)最小公倍數(shù)的計算方法，結合題意，列方程并求解，即可得到答案．【解答】解：∵A，B的最小公倍數(shù)是630，∴2×3×5×a×7＝630，∴m＝3，∴故答案為：3．【點評】本題考查了一元一次方程和最小公倍數(shù)的知識；求解的關鍵是熟練掌握一元一次方程和最小公倍數(shù)的性質，從而完成求解．七．最小公倍數(shù)的應用（共4小題）27．（2022秋?松江區(qū)期中）一包糖果，不論平均分給6個人還是8個人，都能正好分完，這包糖果至少24塊．【分析】求6和8的最小公倍數(shù)即可．【解答】解：由題意，這包糖果的個數(shù)為6和8的公倍數(shù)．∴這包糖果的個數(shù)的最小值為6和8的最小公倍數(shù)．∵6＝2×3，8＝2×2×2，∴2×2×2×3＝44，∴這包糖果至少24塊．故答案為：24．【點評】本題主要考查了最小公倍數(shù)的應用，確定兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是解題的關鍵．28．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）從運動場的一端到另一端全長100米，從一端起到另一端止每隔4米插一面小紅旗．現(xiàn)在要改成每隔5米插一面小紅旗，有多少面小紅旗不用移動？【分析】分析題意可得，不動的小旗地點應該是4和5的公倍數(shù)所在的位置，找出100以內有幾個4和5的公倍數(shù)，然后加上1即可．【解答】解：5和4的最小公倍數(shù)是20，∴100÷20+1＝5+1＝6（面）．答：有6面小紅旗不用移動．【點評】本題考查最小公倍數(shù)的應用，明確不動的小旗即4和5的公倍數(shù)所在的位置，是解答此題的關鍵；應注意，最后要加上第一面旗子．29．（2022秋?青浦區(qū)校級期中）一塊草坪長50cm，寬40cm，要用這樣相同大小的草坪鋪成一個正方形花園，鋪成的正方形花園的邊長至少為多少厘米？至少要多少塊這樣的草坪？【分析】把50和40分別分解質因數(shù)，找到它們的最小公倍數(shù)，即為這個正方形地面的邊長；求需要多少塊這樣的方磚，先根據(jù)正方形的面積公式求出正方形教室的面積，根據(jù)長方形的面積計算公式求出長方形瓷磚的面積，然后用教室面積除以長方形磚的面積即可【解答】解：50＝5×2×5，40＝2×2×5×2，50、40的最小公倍數(shù)2×2×2×5×5＝200，即邊長是200厘米，需要：（200×200）÷（50×40）＝20（塊）；答：鋪成的正方形花園的邊長至少為200厘米，至少要20塊這樣的草坪．【點評】此題主要考查求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法，掌握求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是解題的關鍵．30．（2022秋?徐匯區(qū)校級月考）有一種長6厘米，寬4厘米的長方形塑料片，如果將這種塑料片拼成一個正方形，最少需要多少塊？這個正方形的面積是多少？【分析】由題意知：拼成的正方形的邊長是6和4的最小公倍數(shù)，先把4和6進行分解質因數(shù)，這兩個數(shù)的公有質因數(shù)與獨有質因數(shù)的連乘積是其最小公倍數(shù)；然后根據(jù)題意，分別求出長需要幾個，寬需要幾個，然后相乘即可．【解答】解：∵4＝2×2，6＝2×3，∴6和4的最小公倍數(shù)為：2×2×3＝12，即正方形的邊長是12厘米，（12÷6）×（12÷4），＝2×3，＝6（個），則12×12＝144（平方厘米），答：至少需要6塊這樣的硬紙板，這個正方形的面積是144平方厘米．【點評】此題考查了最小公倍數(shù)的應用，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：兩個數(shù)的公有質因數(shù)與每個數(shù)獨有質因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)．八．質數(shù)（素數(shù)）（共6小題）31．（2022秋?寶山區(qū)期中）由式子6＝2×3，我們說2和3都是6的（）A．素數(shù) B．素因數(shù) C．互素 D．公因數(shù)【分析】由6＝2×3，可得出2和3都是6的因數(shù)，結合2，3均為素數(shù)，即可得出2和3都是6的素因數(shù)．【解答】解：∵6＝2×3，∴2和3都是6的因數(shù)；又∵2，3均為素數(shù)，∴我們說2和3都是6的素因數(shù)．故選：B．【點評】本題考查了質數(shù)（素數(shù)）以及因數(shù)，牢記質因數(shù)（素因數(shù)）的定義是解題的關鍵．32．（2022秋?普陀區(qū)期中）在等式15＝3×5中，3和5都是15（）A．素數(shù) B．互素數(shù) C．素因數(shù) D．公因數(shù)【分析】分別根據(jù)素數(shù)，因數(shù)以及公因數(shù)的概念判斷即可．【解答】解：在等式15＝3×5中，3和5都是15素因數(shù)．故選：C．【點評】本題考查了公因數(shù)和最大公因數(shù)，掌握相關概念是求解本題的關鍵．33．（2022秋?寶山區(qū)期中）如果兩個素數(shù)的和是奇數(shù)，那么其中較小的素數(shù)是2．【分析】素數(shù)又叫質數(shù)，質數(shù)是指在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)．最小的質數(shù)是2，它也是唯一的偶數(shù)質數(shù)，如果兩個素數(shù)的和是奇數(shù)，而奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)，故其中較小的素數(shù)是2．【解答】解：如果兩個素數(shù)的和是奇數(shù)，∴那么其中較小的素數(shù)是2．故答案為：2．【點評】本題主要考查素數(shù)的概念，解題的關鍵是掌握奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)．34．（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）兩個素數(shù)的差是15，則這兩個素數(shù)的積是34．【分析】根據(jù)素數(shù)的定義及兩個素數(shù)的差是15，可找出兩個素數(shù)分別為2和17，二者相乘即可得出結論．【解答】解：∵17﹣2＝15，∴兩個素數(shù)分別為2，17，∴這兩個素數(shù)的積是2×17＝34．故答案為：34．【點評】本題考查了質數(shù)（素數(shù)），熟練掌握質數(shù)（素數(shù)）的定義是解題的關鍵．35．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）21的所有因數(shù)中，互素的有3對．【分析】先根據(jù)因數(shù)的概念確定21的因數(shù)有1，3，7，然后再根據(jù)互質（素）數(shù)的概念確定互為素數(shù)的是1，3；1，7；3，7．【解答】解：21的因數(shù)有1，3，7，互為素數(shù)的是1，3；1，7；3，7，共有3對，故答案為：3．【點評】本題考查了質數(shù)（素數(shù)）以及因數(shù)，理解掌握互素數(shù)的定義，能夠準確找到21的因數(shù)是解題的關鍵．36．（2022秋?寶山區(qū)期中）如果兩個相鄰的奇數(shù)都是素數(shù)，就說它們是一組孿生素數(shù)．如11和13就是一組孿生素數(shù)，（1）請你舉出除此之外的兩組孿生素數(shù)；（2）如果三個相鄰的奇數(shù)都是素數(shù)，就說它們是“三胞胎素數(shù)”，請寫出一組“三胞胎素數(shù)”．（本題只需直接寫出答案）【分析】（1）根據(jù)孿生素數(shù)的定義直接寫出兩組符合條件的素數(shù)即可；（2）根據(jù)“三胞胎素數(shù)”的定義，直接寫出即可．【解答】解：（1）3和5是一組孿生素數(shù)，5和7是一組孿生素數(shù)；（2）3、5、7是“三胞胎素數(shù)”．【點評】本題考查素數(shù)的概念，熟練掌握素數(shù)和奇數(shù)的概念是解題的關鍵．九．合數(shù)（共5小題）37．（2022秋?寶山區(qū)期中）最小的合數(shù)是（）A．2 B．4 C．6 D．15【分析】由合數(shù)的定義，即可判斷．【解答】解：最小的合數(shù)是4．故選：B．【點評】本題考查合數(shù)的概念，關鍵是掌握合數(shù)的定義．38．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）一個正方形的邊長是素數(shù)，則它的面積一定是（）A．素數(shù) B．合數(shù) C．奇數(shù) D．偶數(shù)【分析】由合數(shù)的定義，即可判斷．【解答】解：∵正方形的面積＝邊長×邊長，∴正方形的面積等于兩個質數(shù)的積，∴正方形的面積除1和它本身外，還有別的因數(shù)，∴這個正方形的面積是合數(shù)，故選：B．【點評】本題考查合數(shù)的概念，關鍵是掌握合數(shù)的定義．39．（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）在下列說法中，正確的是（）A．l是素數(shù) B．1是合數(shù) C．1既是素數(shù)又是合數(shù) D．1既不是素數(shù)也不是合數(shù)【分析】由素數(shù)，合數(shù)的定義，即可判斷．【解答】解：1即不是素數(shù)也不是合數(shù)，故選：D．【點評】本題考查素數(shù)，合數(shù)，關鍵是掌握素數(shù)，合數(shù)的定義．40．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）4和7是28的（）A．因數(shù) B．素因數(shù) C．合數(shù) D．素數(shù)【分析】由因數(shù)，素數(shù)，合數(shù)的定義，即可判斷．【解答】解：4和7是28的因數(shù)，故選：A．【點評】本題考查因數(shù)，素數(shù)，合數(shù)，關鍵是掌握因數(shù)，素數(shù)，合數(shù)的定義．41．（2022秋?青浦區(qū)期中）下列說法正確的是（）A．兩個素數(shù)沒有公因數(shù) B．兩個合數(shù)一定不互素 C．一個素數(shù)和一個合數(shù)一定互素 D．兩個不相等的素數(shù)一定互素【分析】由素數(shù)，合數(shù)，互素的定義，即可判斷．【解答】解：A、兩個素數(shù)有公因數(shù)1，故A不符合題意；B、兩個合數(shù)有可能互素，故B不符合題意；C、一個素數(shù)和一個合數(shù)不一定互素，故C不符合題意；D、兩個不相等的素數(shù)一定互素，正確，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查素數(shù)，合數(shù)，互素的概念，關鍵是掌握：素數(shù)，合數(shù)，互素的定義．一十．分解質因數(shù)（分解素因數(shù)）（共4小題）42．（2022秋?楊浦區(qū)期末）分解素因數(shù)：24＝2×2×2×3．【分析】分解素因數(shù)就是把一個合數(shù)寫成幾個素數(shù)的連乘積形式，一般先從簡單的素數(shù)試著分解．【解答】解：24＝2×2×2×3故答案為：2×2×2×3．【點評】本題考查了分解質因數(shù)，熟練掌握分解素因數(shù)的方法是解題的關鍵．43．（2022秋?徐匯區(qū)期末）分解素因數(shù)：18＝2×3×3．【分析】分解質因數(shù)就是把一個合數(shù)寫成幾個質數(shù)的連乘積形式，一般先從簡單的質數(shù)試著分解．【解答】解：18＝2×3×3；故答案為：2×3×3．【點評】此題主要考查分解質因數(shù)的方法，要注意每個因數(shù)必須是質數(shù)，不能含有因數(shù)1．44．（2022秋?松江區(qū)期末）分解素因數(shù)：21＝3×7．【分析】分解素因數(shù)就是把一個合數(shù)寫成幾個素因數(shù)連乘積的形式，一般先從較小的素因數(shù)開始分解．【解答】解：21＝3×7，故答案為：3×7．【點評】此題考查有分解質因數(shù)，關鍵是根據(jù)分解素因數(shù)法則解答．45．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）把120分解成因數(shù)：120＝2×2×2×3×5．【分析】分解質因數(shù)就是把一個合數(shù)寫成幾個素數(shù)的連乘積形式，一般先從簡單的素數(shù)試著分解．【解答】解：120＝2×2×2×3×5．故答案為：2×2×2×3×5．【點評】本題考查了分解質因數(shù)，熟練掌握分解素因數(shù)的方法是解題的關鍵．【過關檢測】一、選擇題（本大題共6小題，每題3分，滿分18分）1．48全部因數(shù)共有（

）A．9個 B．8個 C．10個 D．12個【答案】C【分析】根據(jù)找一個數(shù)的因數(shù)的方法，進行列舉即可．【詳解】解：48的全部因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10個；故選C．【點睛】本題主要考查找一個數(shù)的因數(shù)的方法，解決本題的關鍵是要熟練掌握因數(shù)的概念，注意寫因數(shù)時要兩個兩個的寫防止遺漏．2．在14=2×7中，2和7都是14的（

）A．素數(shù) B．互素數(shù) C．素因數(shù) D．公因數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)因數(shù)，素數(shù)和合數(shù)的概念即可得出答案．【詳解】，14的因數(shù)有1，2，7，14，其中1既不是素數(shù)也不是合數(shù)，14是合數(shù)，∴2和7都是14的素因數(shù)．【點睛】本題主要考查素因數(shù)，掌握因數(shù)，素數(shù)的概念是解題的關鍵．3．對18、4和6這三個數(shù)，下列說法中正確的是（

）A．18能被4整除 B．6能整除18 C．4是18的因數(shù) D．6是4的倍數(shù)【答案】B【分析】若a÷b=c，a、b、c均是整數(shù)，且b≠0，則a能被b、c整除，或者說b、c能整除a；根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)；據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、18不能被4整除，故A說法錯誤；B、6能整除18，故B說法正確；C、4不是18的因數(shù)，故C說法錯誤；D、6不是4的倍數(shù)，故D說法錯誤；故選：B．【點睛】此題主要考查了整除的性質的應用、因數(shù)與倍數(shù)的意義及其運用．4．在下列數(shù)中，表示數(shù)7和8的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的積是（

）A．7 B．8 C．1 D．56【答案】D【分析】如果兩個數(shù)是互質數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積．【詳解】解：7和8是互質數(shù)，最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是7×8=56，7和8的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的積是：1×56=56．故選：D．【點睛】此題主要考查求兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：如果兩個數(shù)是互質數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積．5．在下列說法中，正確的是（

）A．1是素數(shù) B．1是合數(shù)C．1既是素數(shù)又是合數(shù) D．1既不是素數(shù)也不是合數(shù)【答案】D【分析】1只有它本身一個因數(shù)，即不是素數(shù)，也不是合數(shù)．據(jù)此解答即可．【詳解】解：1只有它本身一個因數(shù)，即不是素數(shù)也不是合數(shù)，屬于說法正確的是D．故選：D．【點睛】此題主要考查1既不是素數(shù)也不是合數(shù)．6．，A的因數(shù)有（

）A．2、3、5 B．2、3、5、6、10C．1、2、3、5、6、10、15 D．1、2、3、5、6、10、15、30【答案】D【分析】根據(jù)因數(shù)的定義進行判斷即可．【詳解】因為A=2×3×5，所以A=1×30=2×15=3×10=5×6，所以A的全部因數(shù)有：1，2，3，5，6，10，15，30．故選：D．【點睛】本題考查了因數(shù)，掌握因數(shù)的定義是解題的關鍵．二、填空題（本大題共12題，每題2分，滿分24分）7．在能夠被5整除的兩位數(shù)中，最小的是________．【答案】10【分析】根據(jù)數(shù)的整除的性質分析，即可得到答案．【詳解】能夠被5整除的數(shù)從小到大排列為：0，5，10，15，20，...∴在能夠被5整除的兩位數(shù)中，最小的是10故答案為：10．【點睛】本題考查了整除的知識；解題的關鍵是熟練掌握整除的性質，從而完成求解．8．分解素因數(shù)：________【答案】【分析】利用樹枝分解法分解素因數(shù)即可．【詳解】由樹枝分解法可得：15=3×5．故答案為：3×5．【點睛】本題主要考查分解素因數(shù)的方法，對于能直接看出哪兩個數(shù)相乘的數(shù)，一般采用樹枝分解法．9．已知，，則A、B的最小公倍數(shù)是________，最大公因數(shù)是________．【答案】

210

6【分析】兩個數(shù)的公有質因數(shù)的連乘積是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)，這兩個數(shù)的公有質因數(shù)與每個數(shù)獨有質因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)．【詳解】解：已知A=2×3×5，B=2×3×7，那么A和B的最小公倍數(shù)是2×3×5×7=210，最大公因數(shù)是2×3=6．故答案為：210、6．【點睛】考查了求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法與最小公倍數(shù)的方法，兩個數(shù)的公有質因數(shù)連乘積是最大公約數(shù)；兩個數(shù)的公有質因數(shù)與每個數(shù)獨有質因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)；數(shù)字大的可以用短除法解答．10．一堆蘋果，2個2個數(shù)3個3個數(shù)和5個5個數(shù)都剩下一個，這堆蘋果最少有________個．【答案】31【分析】余數(shù)相同，所以如果總個數(shù)減少1個，那么總個數(shù)就是2、3、5的公倍數(shù)，只要求出2、3、5的最小公倍數(shù)，然后再加上1，即可得解．【詳解】解：2、3、5互為素數(shù)，2、3和5的最小公倍數(shù)是：，（個），所以這堆蘋果最少有31個．故答案為：31．【點睛】此題考查了同余定理，只要余數(shù)相同，求出最小公倍數(shù)，加上余數(shù)就是總數(shù)；同理，只要缺的數(shù)相同，求出最小公倍數(shù)，減去缺數(shù)，就是總數(shù)．11．，___________（填“能”或“不能”）說2整除2.8．【答案】不能【分析】整除只有當被除數(shù)、除數(shù)以及商都是整數(shù)，沒有余數(shù)時才是整除．【詳解】，2.8和1.4都是小數(shù)，不符合整除的意義；故答案為：不能．【點睛】本題考查了整除的意義：整除就是若整數(shù)“a”除以大于0的整數(shù)“b”，商為整數(shù)，且余數(shù)為零，我們就說a能被b整除(或說b能整除a)．12．寫出20以內的所有素數(shù)____________，寫出20以內的所有合數(shù)_______．【答案】2，3，5，7，11，13，17，19，

4，6，8，9，10，12，14，15，16，18【分析】一個自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做素數(shù)；一個自然數(shù)，除1和它本身外，還有其他因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù).根據(jù)素數(shù)（質數(shù)）和合數(shù)的意義進行求解.【詳解】解：20以內的素數(shù)有：2，3，5，7，11，13，17，19；20以內的合數(shù)有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18；故答案為：2，3，5，7，11，13，17，19；4，6，8，9，10，12，14，15，16，18.【點睛】本題主要考查的目的是理解素數(shù)（質數(shù)）和合數(shù)的意義，解決本題的關鍵是要熟練掌握素數(shù)和合數(shù)的意義．13．兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是72，最大公因數(shù)是12，則這兩個數(shù)分別是_______．【答案】12和72或24和36【分析】首先要知道最大公因數(shù)是兩個數(shù)公有質因數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是兩個數(shù)公有質因數(shù)和獨有質因數(shù)的乘積，所以用最小公倍數(shù)除以最大公因數(shù)得到兩個數(shù)的獨有質因數(shù)的乘積，從而求出結論．【詳解】解：72÷12=6而6=1×6=2×3則這兩個數(shù)為1×12=12和6×12=72或2×12=24和3×12=36故答案為：12和72或24和36．【點睛】此題考查的是最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，解題關鍵是最小公倍數(shù)除以最大公因數(shù)得到兩個數(shù)的獨有質因數(shù)的乘積．14．54的素因數(shù)有_____________．【答案】2，3，3，3【分析】對54進行分解素因數(shù)，常見的素數(shù)：2，3，5，7，11，13等．【詳解】，故填：2，3，3，3．【點睛】本題考查素因數(shù)，熟記常見的素數(shù)是關鍵．15．是一個正整數(shù)，它的最小的因數(shù)是______，最大的因數(shù)是______，最小的倍數(shù)是______．【答案】

1

【分析】根據(jù)“一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，最大的約數(shù)是它本身，最小的約數(shù)是1；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小倍數(shù)是它本身”進行依次列舉即可．【詳解】解：由分析知：一個數(shù)a的最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是a，最小倍數(shù)是a；故答案為：1，a，a．【點睛】解答此題的應根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義及特征進行解答．16．兩個連續(xù)偶數(shù)的和是38，那么這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是______．【答案】180【分析】先求出這兩個偶數(shù)，然后再求最小公倍數(shù)即可．【詳解】解：∵兩個連續(xù)偶數(shù)的和是38，∴38÷2=19，所以這兩個連續(xù)的偶數(shù)為18，20．18=2×3×3，20=2×2×5，∴這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是：2×3×3×2×5=180．故答案為：180．【點睛】本題考查了學生求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法．解題的關鍵是正確求出這兩個連續(xù)偶數(shù)．17．在兩個數(shù)12和3中，________是________的因數(shù)，是________的倍數(shù)．【答案】

3

12

3【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)即可得出結果．【詳解】解：因為12÷3=4，所以3是12的因數(shù)，12是3的倍數(shù)，故答案為：3，12；12，3【點睛】本題主要考查的是因數(shù)和倍數(shù)的意義，應該明確因數(shù)和倍數(shù)的意義是解題的關鍵．18．a是一個大于2的偶數(shù)，那么與a相鄰的兩個奇數(shù)分別是________和________．【答案】

【分析】根據(jù)偶數(shù)與相鄰奇數(shù)之間的關系即可得到結果．【詳解】因為偶數(shù)與相鄰的奇數(shù)之間相差1，所以與a相鄰的兩個奇數(shù)分別是a－1和a+1．故答案為：a－1；a+1．【點睛】本題考查了奇偶數(shù)，掌握相鄰奇偶數(shù)之間的關系是解題的關鍵．三、解答題（滿分58分）19．寫出下列各數(shù)所有的因數(shù)．（1）11

（2）102【答案】（1）11的因數(shù)有1和11；（2）102的因數(shù)有1、2、3、6、17、34、51和102【分析】（1）根據(jù)求一個數(shù)的因數(shù)的方法，進行列舉即可；（2）由題意根據(jù)求一個數(shù)的因數(shù)的方法，進行列舉即可．【詳解】解：（1）11的因數(shù)有1和11；（2）102的因數(shù)有1、2、3、6、17、34、51和102．【點睛】本題考查的是求一個數(shù)因數(shù)的方法，注意掌握有順序的寫，做到不重復，不遺漏．20．用短除法分解素因數(shù)．（1）12

（2）105【答案】（1），短除法格式見解析；（2），短除法格式見解析.【分析】分解素因數(shù)就是把一個合數(shù)寫成幾個質數(shù)的連乘積形式，一般先從簡單的素數(shù)試著分解．【詳解】解：（1）；短除法格式如下：（2）．短除法格式如下：【點睛】此題主要考查利用短除法進行分解素因數(shù)的方法．21．已知甲數(shù)，乙數(shù)，甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是6．（1）求甲、乙兩數(shù)和A；（2）求甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)．【答案】（1）甲數(shù)為，乙數(shù)為，；（2）最小公倍數(shù)為1260．【分析】(1)兩個數(shù)的最大公因數(shù)等于兩個數(shù)公有的質因數(shù)的乘積，據(jù)此解答即可；(2)根據(jù)兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是兩個數(shù)公有質因數(shù)與獨有質因數(shù)的連乘積，結合(1)中求出的甲乙兩數(shù)計算即可得解．【詳解】解：（1）因為甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)為2A，所以，所以，所以甲數(shù)為，乙數(shù)為；（2），所以最小公倍數(shù)為1260．【點睛】本題考查最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，解決此