第04講 素數(shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)（6種題型）（原卷版）

第04講素數(shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)（6種題型）【知識梳理】一、素數(shù)與合數(shù)（1）素數(shù)：一個正整數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，則叫做素數(shù)，也叫做質(zhì)數(shù)；（2）合數(shù)：一個正整數(shù)，如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù)，則叫做合數(shù)；（3）1既不是素數(shù)，也不是合數(shù)；正整數(shù)可分為：1、素數(shù)和合數(shù)三類．二、分解素因數(shù)1、分解素因數(shù)每個合數(shù)都可以寫成幾個素數(shù)相乘的形式，其中每個素數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的素因數(shù)．把一個合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解素因數(shù)．2、口算法分解素因數(shù)例如：．3.用樹枝分解法分解素因數(shù)例如：常常適用于較小數(shù)目4、短除法分解素因數(shù)3557形如右圖，這種在左側(cè)寫除數(shù)，下方寫商的除法格式叫做“短除法3557用短除法分解素因數(shù)的步驟如下：（1）先用一個能整除這個合數(shù)的素數(shù)（通常從最小的開始）去除；（2）得出的商如果是合數(shù)，再按照上面的方法繼續(xù)除下去，直到得出的商是素數(shù)為止；（3）然后把各個除數(shù)和最后的商按從小到大的順序?qū)懗蛇B乘的形式．例如：用短除法分解素因數(shù)，初步階段同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)錯誤：第一左側(cè)邊選用的除數(shù)出現(xiàn)合數(shù)，如：60＝4×3×5一定注意分解素因數(shù)的時候，每個因數(shù)都必須是素數(shù)。第二最后的商還是合數(shù)。如：一看91，常用的2，3，5都不行，于是短除停止了，其實91還是合數(shù)，要繼續(xù)除以7，商13，才停止短除。三、【考點剖析】題型一：素數(shù)與合數(shù)例1．（2022·上海市婁山中學(xué)九年級期中）在1至10，這10個正整數(shù)中，素數(shù)共有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式】（2021·上?！で嘟淘焊街衅谥校┰?、2、3、6、8、29、33、45中，素數(shù)是______．例2.判斷37，39，47和49是素數(shù)還是合數(shù)．【變式】最小的素數(shù)是_____，最小的合數(shù)是____.例3．（2021·上海市傅雷中學(xué)期中）下列說法中，正確的是（）A．奇數(shù)都是素數(shù) B．偶數(shù)都是合數(shù)C．合數(shù)不都是偶數(shù) D．素數(shù)都是奇數(shù)【變式】根據(jù)要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64這八個數(shù)中：是奇數(shù)又是素數(shù)的數(shù)是（ ）；是奇數(shù)不是素數(shù)的數(shù)是（ ）；是素數(shù)而不是奇數(shù)的數(shù)是（ ）；是合數(shù)而不是偶數(shù)的數(shù)是（ ）．題型二：素數(shù)與合數(shù)的應(yīng)用例4．（2021·上海黃浦·期中）有一個四位數(shù)，十位上的數(shù)字是最小的自然數(shù)，百位上的數(shù)字是最小的素數(shù)，千位上的數(shù)字是最小的合數(shù)，若這個四位數(shù)同時是2和3的倍數(shù)，則它個位上的數(shù)字是_______．【變式1】（2021·上海復(fù)旦五浦匯實驗學(xué)校期中）已知一個六位數(shù)：，其中A既不是素數(shù)，也不是合數(shù)；B是10以內(nèi)最大的數(shù)；C是最小的素數(shù)；D是10以內(nèi)最大的奇數(shù)；E的倒數(shù)等于它本身；F是最小的自然數(shù)；則這個六位數(shù)是_________．【變式2】著名的“哥德巴赫猜想”被喻為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”，猜想認(rèn)為：任何大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和，下列4個算式中，符合這個猜想的是（）A.；B.；C.；D..【變式3】閱讀理解：截尾素數(shù)73939133這個數(shù)具有相當(dāng)迷人的性質(zhì)，不只是因為它是素數(shù)，還因為把最末位數(shù)字依序“截尾”后，余下的數(shù)仍然是素數(shù).如:73939133，7393913，739391，73939，7393，739，73，7.具有這樣性質(zhì)的數(shù)叫“截尾素數(shù)”.巧的是，它也是具有這種性質(zhì)的最大數(shù)，總共有83個數(shù)具有這樣的性質(zhì).在100以內(nèi)的素數(shù)中，最大的截尾素數(shù)是_________.【變式4】如果m和n是兩個素數(shù)，滿足5m+7n=129,那么m+n的值是.【變式5】兩百年前，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫發(fā)現(xiàn)：任何一個不小于6的偶數(shù)都可以寫成兩個奇素數(shù)（既是奇數(shù)又是素數(shù)）之和，簡稱："l＋1"。如，等等。眾多數(shù)學(xué)家用很多偶數(shù)進行檢驗，都說明是正確的，但至今仍無法從理論上加以證明，也沒找到一個反例.這就是世界上著名的哥德巴赫猜想.你能檢驗一下這個偉大的猜想嗎？請把偶數(shù)42寫成兩個奇素數(shù)之和.，或者.你是否有更大的發(fā)現(xiàn)：把42寫成4個奇素數(shù)之和？.題型三：素因數(shù)的含義例5.在等式中，4和6都是的（），2和3都是的（）A．素因數(shù) B．素數(shù) C．因數(shù) D．合數(shù)【變式1】（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)課時練習(xí)）若a=18，則a的素因數(shù)是______________，a的因數(shù)是____________________【變式2】（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)課時練習(xí)）A=235，B=2235．Ａ與Ｂ公有的素因數(shù)是_____________________．題型四：分解素因數(shù)例6.把24分解素因數(shù)的正確算式是（）A． B．C． D．【變式1】把以下各數(shù)分解素因數(shù)：35，72，105，108，238．【變式2】把18分解素因數(shù)，那么18=.【變式3】（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)課時練習(xí)）下面各數(shù)分解素因數(shù)有沒有錯誤？如果有錯，請改正在橫線上.（1）36=1×2×2×3×3

_________________________；（2）210=3×7×10

_________________________；（3）2×3×3×3×3=162_________________________.【變式4】（2021·上?！て谥校┮?guī)定一種新的運算：對于一個合數(shù)n，（n）表示不是n的素因數(shù)的最小素數(shù)，如（4）=3，（12）=5．那么（60）+（84）的值是___________．例7.（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)課時練習(xí)）用短除法分解下面各數(shù)的素因數(shù)．32

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⑶85題型五：互素例8．（2021·上海黃浦·期中）下列說法中正確的是（

）A．所有合數(shù)都是偶數(shù) B．所有素數(shù)都是奇數(shù)C．兩個素數(shù)一定互素 D．兩個連續(xù)的正整數(shù)一定互素【變式1】（2021·上海浦東新·期中）下列整數(shù)中，與12互素的是（

）A．2 B．3 C．21 D．47【變式2】下列各組數(shù)中，互素的是（）A.4和9；B.12和8；C.11和44；D.39和13.【變式3】（2021·上海市彭浦初級中學(xué)期中）下面各數(shù)中，與6互素的合數(shù)是（）A．5 B．10 C．25 D．30【變式4】（2021·上海市民辦新竹園中學(xué)期中）在10的所有因數(shù)中，互素的數(shù)共有______對．題型六：分解素因數(shù)的應(yīng)用例9.（2021·上海市民辦新竹園中學(xué)期中）四名學(xué)生恰好一個比一個大一歲，年齡的積為5040，這四名同學(xué)的年齡從小到大的順序是______．【變式1】（2021·上海復(fù)旦五浦匯實驗學(xué)校期中）兩個素數(shù)的積是58，則這兩個素數(shù)的和是_____．【變式2】（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)課時練習(xí)）兩個素數(shù)的和是20，積是91，這兩個素數(shù)分別是_______和________.【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）在51＝317中，3和17都是51的(

)A．素因數(shù) B．倍數(shù) C．素數(shù) D．質(zhì)數(shù)2．（2022秋·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校校考期中）下面說法正確的是（

）A．最小的素數(shù)是1；B．一個合數(shù)至少有3個因數(shù)；C．因為，所以能被整除；D．16的因數(shù)有2，4，8，16．3．（2022秋·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校校考期中）兩個正奇數(shù)的和是（

）A．奇數(shù) B．素數(shù) C．偶數(shù) D．素因數(shù)4．（2022秋·六年級?？紗卧獪y試）下列各組數(shù)中，不是互素的有（

）A．和 B．和 C．和 D．和5．（2022秋·上?！ち昙壭？茧A段練習(xí)）下列各式中表示分解素因數(shù)的式子是（

）A．； B．； C．； D．．6．（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）12的素因數(shù)是(

)A．2，2，3 B．1，2，3 C．4，6，12 D．1，2，3，47．（2022秋·六年級?？紗卧獪y試）在正整數(shù)32，47，71，91，93中，素數(shù)的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題8．（2022秋·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校?5寫成兩個素數(shù)相加的形式是____________．9．（2022秋·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校校考期中）分解素因數(shù)___________________．10．（2023·上?！ち昙壖倨谧鳂I(yè)）如果A是不超過2017的所有質(zhì)數(shù)的乘積，那么A的末尾數(shù)字有連續(xù)___________個0．11．（2023·上海·六年級假期作業(yè)）如果兩個自然數(shù)的和與差的積是23，那么這兩個自然數(shù)的和除以這兩個數(shù)的差的商是___________．12．（2023·上海·六年級假期作業(yè)）在20以內(nèi)的合數(shù)中，是3的倍數(shù)的數(shù)是()，并用括號中的數(shù)組成比例，這個比例是()．13．（2023·上?！ち昙壖倨谧鳂I(yè)）用0～9這10個數(shù)字組成若干個合數(shù)，每個數(shù)字都恰好用一次，那么這些合數(shù)之和的最小值是___________．14．（2023·上海·六年級假期作業(yè)）甲、乙兩個三位數(shù)的乘積是一個五位數(shù)，這個五位數(shù)的后四位為1031，如果甲數(shù)的數(shù)字和為10，乙數(shù)的數(shù)字和為8，那么甲乙兩數(shù)之和是___________．15．（2022秋·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期中）規(guī)定一種新的運算：對于一個合數(shù)n，（n）表示不是n的素因數(shù)的最小素數(shù)，如（4）=3，（12）=5．那么（60）