第06講公倍數(shù)與最小公倍數(shù)（4種題型）（解析版）

第06講公倍數(shù)與最小公倍數(shù)（4種題型）【知識(shí)梳理】1、公倍數(shù)與最小公倍數(shù) 公倍數(shù)：幾個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)； 最小公倍數(shù)：幾個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)中，最小的一個(gè)叫做它們的最小公倍數(shù)．2、最小公倍數(shù)的求法 求兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)，只要取它們所有公有的素因數(shù)，再取它們各自剩余的素因數(shù)，將這些數(shù)連乘，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)； 如果兩個(gè)整數(shù)中某一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)； 如果兩個(gè)數(shù)互素，那么它們的乘積就是它們的最小公倍數(shù)．3.兩數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系已知數(shù)a和數(shù)b，兩數(shù)的最大公因數(shù)為m，最小公倍數(shù)為n，則：4.三個(gè)數(shù)的最大公公因數(shù)與最小公倍數(shù)1、三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)要找三個(gè)數(shù)的公有的素因數(shù)，如果其中的兩個(gè)商還有素因數(shù)，也不要往下除；2、最小公倍數(shù)的計(jì)算要把三個(gè)數(shù)的公有素因數(shù)和獨(dú)有素因數(shù)都要找全，最后除到兩兩互素為止?！究键c(diǎn)剖析】題型一：公倍數(shù)與最小公倍數(shù)例1.求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)．8和15； （2）9和45； （3）19和21．【答案】（1）8和15的最大公因數(shù)是1；8和15的最小公倍數(shù)是120；（2）9和45的最大公因數(shù)是9；9和45的最小公倍數(shù)是45；（3）19和21的最大公因數(shù)是1；19和21的最小公倍數(shù)是399．【解析】（1）（3）互素的兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積；成倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，最大公因數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)；【總結(jié)】本題考察了求兩個(gè)特殊關(guān)系的數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法．【變式1】求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)（1）36和60（2）39和78（3）15和4【答案】（1）180；（2）78；（3）60【分析】根據(jù)最小公倍數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：（1）36=2×2×3×3，60=2×2×3×5，36和60最小公倍數(shù)：2×2×3×3×5=180（2）如果兩個(gè)整數(shù)中某一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)，所以39和78最小公倍數(shù)78．（3）如果兩數(shù)互素，那么它們的乘積就是它們的最小公倍數(shù)，15和4最小公倍數(shù)60．【點(diǎn)睛】此題主要考查找最小公倍數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟知最小公倍數(shù)的定義．【變式2】若，，則m、n的最小公倍數(shù)為_(kāi)__________．【答案】1260【解析】m、n的最小公倍數(shù)是：（2×3）×2×5×3×7=1260．【總結(jié)】本題考察了用分解素因數(shù)法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．例2.用短除法求10，12和15的最小公倍數(shù)．【答案】60【解析】2101215356155525121∴10、12、15的最小公倍數(shù)是：2×3×5×1×2×1=60．【總結(jié)】本題考察了求三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法．【變式】（2021·上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)期中）用短除法求54與144的最小公倍數(shù)．【答案】最小公倍數(shù)為432【分析】用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)即可．【詳解】解：短除法如下：54和144的最小公倍數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)，掌握“最大公約數(shù)，指兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個(gè)；最小公倍數(shù)是幾個(gè)數(shù)共有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中除0以外最小的一個(gè)公倍數(shù)”，運(yùn)用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．題型二：最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)例3.用短除法求24和36的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù).【答案】12;72;【解析】解：如下圖所示，24和36的最大公因數(shù)為2×2×3=12，24和36的最小公倍數(shù)為2×2×3×2×3=72.【變式】用短除法求104和130的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù).【答案】26；520；【解析】解：短除法如下圖所示；因?yàn)?04=2×2×2×13，130=2×5×13，所以104和130的最大公因數(shù)是2×13=26；104和130的最小公倍數(shù)是2×13×2×2×5=520.題型三：最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的應(yīng)用例4.已知三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是15，那么這三個(gè)奇數(shù)的最小公倍數(shù)是多少？【答案】105【解析】設(shè)三個(gè)數(shù)為．則：解得：，這三個(gè)數(shù)是：3，5，7．∴3、5、7的最小公倍數(shù)是：3×5×7=105．【總結(jié)】本題考察了求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法．【變式1】?jī)蓚€(gè)數(shù)的積是144，它們的最小公倍數(shù)是36，這兩個(gè)數(shù)各是多少？【答案】4和36．【解析】由已知得：這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是4；設(shè)這兩個(gè)數(shù)是4a，4b(a、b互素)，則．所以．因?yàn)閍、b互素，所以a=1×4=4，b=9×4=36．即這兩個(gè)數(shù)是9、36．【總結(jié)】本題考察了兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)、最大公倍數(shù)和它們乘積的關(guān)系：兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積．【變式2】甲、乙兩戶人家相鄰而居，甲每6天去超市購(gòu)物一次，乙每7天去同一家超市購(gòu)物一次，元旦這一天兩戶人家都去這家超市購(gòu)物，再經(jīng)過(guò)多少天他們又會(huì)在同一天都去超市？【答案】42天【解析】6與7的最小公倍數(shù)是42．答：再經(jīng)過(guò)42天他們又會(huì)在同一天都去超市．【總結(jié)】本題考察了兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的應(yīng)用．【變式3】3月12日植樹(shù)節(jié)，六（2）班同學(xué)在400米跑道的一側(cè)每隔4米種一棵樹(shù)，當(dāng)種好第31棵樹(shù)時(shí)，覺(jué)得樹(shù)與樹(shù)之間隔太密，于是改為每隔6米種一棵樹(shù)，那么有多少棵樹(shù)不需要移動(dòng)呢？【答案】11棵【解析】4×(31-1)=120米，而4與6的最小公倍數(shù)是12，120÷12+1=11棵．答：有11棵樹(shù)不需要移動(dòng)．【總結(jié)】本題考察了兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的應(yīng)用．【變式4】在長(zhǎng)1．5千米的公路一邊，等距離種樹(shù)（兩端都種），開(kāi)始每隔10米種一棵，后來(lái)改成每隔12米種一棵，不用改種的樹(shù)有多少棵？【答案】26棵【解析】1.5千米=1500米，10與12的最小公倍數(shù)是60，1500÷60+1=26棵．答：有26棵樹(shù)不需要移動(dòng)．【總結(jié)】本題考察了兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的應(yīng)用．例5.某工廠承包了學(xué)校的桌椅制作任務(wù)，一張桌子配一把椅子，某車(chē)間有甲、乙兩組，甲組人員做桌子，每人每天可以做6張桌子；乙組每人每天可以做9把椅子，為了使生產(chǎn)均衡，每天的桌子、椅子數(shù)量剛好配套．該車(chē)間至少安排多少人員？（不考慮其他因素）【答案】5人【解析】因?yàn)?與9的最小公倍數(shù)是18，所以18÷6+18÷9=5人．答：該車(chē)間至少安排5個(gè)人．【總結(jié)】本題考察了兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)最小公倍數(shù)的應(yīng)用．【變式1】先求出8和10的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，并把最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)相乘，再把8和10相乘，你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律接下面的問(wèn)題：（1）甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是30，已知甲數(shù)是6，那么乙數(shù)是多少？（2）甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是90，已知甲數(shù)是18，那么乙數(shù)是多少？【答案】8，10的最大公因數(shù)是2，最小公倍數(shù)是40，而8×10=80；規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積．（1）15；（2）15．【解析】（1）設(shè)另一個(gè)數(shù)是x，則：6x=3×30解得：x=15答：乙數(shù)是15．（2）設(shè)另一個(gè)數(shù)是x，則：18x=3×90解得：x=15答：乙數(shù)是15．【總結(jié)】本題考察了兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)、最大公倍數(shù)和它們乘積的關(guān)系：兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積．【變式2】已知兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是144，求這兩個(gè)數(shù)的和是多少？【答案】120或66．【解析】設(shè)這兩個(gè)數(shù)是6a，6b(a、b互素)，則：6ab=144∴ab=24=1×24=3×8；當(dāng)a=1，b=24，這兩個(gè)數(shù)是6、144，和為：6+144=120；當(dāng)a=3，b=8，這兩個(gè)數(shù)是18、48，和為：18+48=66；【總結(jié)】本題考察了兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)、最大公倍數(shù)的相關(guān)概念．【變式3】?jī)蓚€(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是140，最大公因數(shù)是4，且小數(shù)不能整除大數(shù)，這兩個(gè)數(shù)分別是多少？【答案】20和28【解析】設(shè)這兩個(gè)數(shù)是4a，4b(a、b互素)，則：4ab=140．∴ab=35=1×35=5×7，∵小數(shù)不能整除大數(shù)∴a=5，b=7，這兩個(gè)數(shù)是20、28．【總結(jié)】本題考察了兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)、最大公倍數(shù)的相關(guān)概念．題型四：三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)例6．求20、30和36的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)；參考答案：解法1：列舉法

20的因數(shù)有：1、2、4、5、10、20

30的因數(shù)有：1、2、3、5、6、10、15、30

36的因數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36

所以最大公因數(shù)是2

20的倍數(shù)有：20、40、60、80……

30的倍數(shù)有：30、60、90、……

36的倍數(shù)有：36、72、……

所以最小公倍數(shù)是180

；解法2：分解素因數(shù)法

20＝2×2×5

30＝2×3×5

36＝2×2×3×3

所以最大公因數(shù)是2

，最小公倍數(shù)是180

；解法3：短除法

所以最大公因數(shù)是2

所以最小公倍數(shù)是2×2×5×3×1×1×3＝180

；歸納總結(jié)：1、三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)要找三個(gè)數(shù)的公有的素因數(shù)，如果其中的兩個(gè)商還有素因數(shù)，也不要往下除；2、最小公倍數(shù)的計(jì)算要把三個(gè)數(shù)的公有素因數(shù)和獨(dú)有素因數(shù)都要找全，最后除到兩兩互素為止?！咀兪?】求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)；（1）10、36和90；（2）24、15和36。參考答案：（1）最大公因數(shù)：2，最小公倍數(shù)180；（2）最大公因數(shù)：3，最小公倍數(shù)360；【變式2】已知三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的最小公倍數(shù)是24，則這三個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別是什么？【答案】4，6，8【解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)是；2若n為奇數(shù)，則是偶數(shù)，2 則：解得：，這三個(gè)數(shù)是4，6，8．若n為偶數(shù)，則是相鄰奇數(shù)，則：此方程無(wú)解；∴這三個(gè)數(shù)是4，6，8．【總結(jié)】本題考察了三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的求法．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共1小題）1．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)正整數(shù)的最大因數(shù)減去這個(gè)正整數(shù)的最小倍數(shù)，所得的差一定（）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不等于零【分析】一個(gè)正整數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是這個(gè)數(shù)本身，再求差即可得出答案，做出選擇．【解答】解：根據(jù)最大因數(shù)的定義，可得這個(gè)正整數(shù)的最大因數(shù)是它本身；根據(jù)最小倍數(shù)的定義，可得這個(gè)正整數(shù)的最小倍數(shù)都是它本身，所以一個(gè)正整數(shù)的最大因數(shù)減去這個(gè)正整數(shù)的最小倍數(shù)，所得的差一定為0，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查正整數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的意義，掌握一個(gè)正整數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是這個(gè)數(shù)本身，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二．填空題（共12小題）2．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）已知A＝2×3×a×7，B＝3×5×7．如果A和B的最小公倍數(shù)是630，那么a＝3．【分析】根據(jù)最小公倍數(shù)的計(jì)算方法，結(jié)合題意，列方程并求解，即可得到答案．【解答】解：∵A，B的最小公倍數(shù)是630，∴2×3×5×a×7＝630，∴m＝3，∴故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程和最小公倍數(shù)的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程和最小公倍數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．3．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）如果兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72，那么這兩個(gè)數(shù)是6，72或18，24．【分析】設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為6a，6b（a，b為正整數(shù)，且a與b互質(zhì)，a＜b），根據(jù)題意得出ab＝12，得出a＝1，b＝12，或a＝3，b＝4，a＝2，b＝6（不符合題意舍去），然后代入依次計(jì)算即可．【解答】解：依題意，設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為6a，6b（a，b為正整數(shù)，且a與b互質(zhì)，a＜b），則這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是6ab．即6ab＝72，從而ab＝12．又12＝1×12＝2×6＝3×4，則a＝1，b＝12，或a＝3，b＝4，a＝2，b＝6（不符合題意舍去）．當(dāng)a＝1，b＝12時(shí)，6a＝6，6b＝72；當(dāng)a＝3，b＝4時(shí)，6a＝18，6b＝24；故這兩個(gè)數(shù)分別為6，72或18，24．故答案為：6，72或18，24．【點(diǎn)評(píng)】主要考查最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的問(wèn)題，理解題意，列出式子計(jì)算是解題關(guān)鍵．4．（2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）12和30的最小公倍數(shù)是60．【分析】先把12和30進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)，根據(jù)求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：即求12和30這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積；進(jìn)行解答即可．【解答】解：把12和30進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)為：12＝2×2×3，30＝2×3×5，根據(jù)最小公倍數(shù)的定義，可得12和30的最小公倍數(shù)是2×2×3×5＝60；故答案為：60．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最小公倍數(shù)，掌握最小公倍數(shù)的求法是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022秋?寶山區(qū)期中）正整數(shù)16的最小倍數(shù)減去它的最大因數(shù)，所得的差是0．【分析】根據(jù)“一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最大的約數(shù)是它本身，最小的約數(shù)是1；一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，最小倍數(shù)是它本身”得出：一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)相等，即差是0；據(jù)此判斷．【解答】解：正整數(shù)16的最小倍數(shù)是16，最大因數(shù)是16，所以正整數(shù)16的最小倍數(shù)減去它的最大因數(shù)，所得的差是0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，解答此題應(yīng)明確：一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)相等．6．（2022秋?普陀區(qū)期中）4和5的最小公倍數(shù)是20．【分析】直接把兩數(shù)相乘即可．【解答】解：4×5＝20，故4和5的最小公倍數(shù)是20．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是公倍數(shù)和最小公倍數(shù)，熟知有理數(shù)乘法的法則是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?松江區(qū)校級(jí)月考）若A＝2×3×3，B＝2×3×5，則A和B的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)90．【分析】首先根據(jù)：A＝2×3×3，B＝2×3×5，可得：這兩個(gè)數(shù)的公共質(zhì)因數(shù)是2和3，據(jù)此求出A和B的最大公因數(shù)是多少；然后根據(jù)A獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)是3，B獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)是5，求出它們的最小公倍數(shù)是多少即可．【解答】解：因?yàn)锳＝2×3×3，B＝2×3×5，所以這兩個(gè)數(shù)的公共質(zhì)因數(shù)是2和3，根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得A和B的最大公因數(shù)是2×3＝6；由A獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)是3，B獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)是5，根據(jù)最小公倍數(shù)的定義，可得它們的最小公倍數(shù)是6×3×5＝90．故答案為：6、90．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的含義和求法，要熟練掌握．8．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知A＝2×3×3×5×7，B＝2×2×5×5×7，則A與B的最小公倍數(shù)是6300．【分析】根據(jù)最小公倍數(shù)的求法列式計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)锳＝2×3×3×5×7，B＝2×2×5×5×7，所以A與B的最小公倍數(shù)＝2×5×7×3×3×2×5＝6300，故答案為：6300．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最小公倍數(shù)，掌握兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)，兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)的公倍數(shù)里最小的那個(gè)叫做它們的最小公倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是24，這個(gè)數(shù)的素因數(shù)有2，2，2，3．【分析】利用分解質(zhì)因數(shù)的方法解答即可．【解答】解：把24分解質(zhì)因數(shù)為：24＝2×2×2×3，故這個(gè)數(shù)的素因數(shù)有：2，2，2，3．故答案為：2，2，2，3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有最小公倍數(shù)，素因數(shù)，把這個(gè)數(shù)表示出素因數(shù)乘積的形式是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知x、y是正整數(shù)，且x÷y＝5，則x和y的最大公因數(shù)是y，它們的最小公倍數(shù)是x．【分析】x÷y＝5，x和y成倍數(shù)關(guān)系，兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，較大的那個(gè)數(shù)，是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，較小的那個(gè)數(shù)，是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．【解答】解：∵x÷y＝5，x、y是正整數(shù)，∴x和y成倍數(shù)關(guān)系，∴x和y的最大公因數(shù)是較小的數(shù)y，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)x．故答案為：y；x．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法：兩個(gè)數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)為較小的數(shù)，較大的那個(gè)數(shù)，是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)；是互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)即這兩個(gè)數(shù)的乘積．11．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）12和16的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的和是52．【分析】求出12和16的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是48，求和即可得出答案．【解答】解：分別把12和16分解質(zhì)因數(shù)為：12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，∴12和16的最大公因數(shù)是4，12和16的最小公倍數(shù)是48，∴4+48＝52，故答案為：52．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，掌握分解質(zhì)因數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?金山區(qū)期末）如果A＝2×3×3×a，B＝2×2×3×a，且A、B的最小公倍數(shù)是180，那么a＝5．【分析】根據(jù)最小公倍數(shù)的性質(zhì)，完成求解．【解答】解：由題意得2×3×3×a×2＝180，解得：a＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最小公倍數(shù)的知識(shí)，掌握最小公倍數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．13．（2021秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）定義新運(yùn)算“*”如下：對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為a*b，例如：6*8＝2+24＝26，根據(jù)上面的定義運(yùn)算，12*15＝63．【分析】根據(jù)新運(yùn)算知道，求12*15，就是求12和15的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和，由此即可解答．【解答】解：∵12＝2×2×3，15＝3×5，∴12和15的最大公約數(shù)是3，最小公倍數(shù)是2×3×2×5＝60，所以12*15＝3+60＝63；故答案為：63．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)，解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)定義的新運(yùn)算，找出運(yùn)算方法，列式解答即可．三．解答題（共7小題）14．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）用短除法求45與60的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．【分析】把各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)即可得到最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．【解答】解：∵45＝3×3×5，60＝2×2×3×5，因此45與60的最大公因數(shù)為：3×5＝15，45與60的最小公倍數(shù)為：3×5×3×4＝180．答：45與60的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是180．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)，能夠熟練運(yùn)用短除法是解題的關(guān)鍵．最大公約數(shù)，指兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個(gè)；最小公倍數(shù)，指兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有的倍數(shù)中，除0以外最小的一個(gè)．15．（2022秋?青浦區(qū)期中）用短除法求90與84的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．【分析】求最大公因數(shù)也就是這幾個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最小公倍數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積，對(duì)于兩個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公因數(shù)，兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)，由此依次解答即可．【解答】解：如圖：所以90與84的最大公因數(shù)是：2×3＝6；最小公倍數(shù)是：2×3×15×14＝1260．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的方法：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公因數(shù)，兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)；數(shù)字大的可以用短除解答．16．（2022秋?嘉定區(qū)期中）用短除法求出24與36的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．【分析】根據(jù)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的定義解答即可．【解答】解：，根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得24與36的最大公因數(shù)為：2×2×3＝12；根據(jù)最小公倍數(shù)的定義，可得24與36的最小公倍數(shù)為：2×2×3×3×2＝72．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法，熟知最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．17．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：（1）8和9；（2）12和48；（3）13和104；（4）34和51．【分析】（1）（2）（3）（4）直接利用最大公因式以及最小公倍數(shù)的定義分別得出答案．【解答】解：（1）8和9是互質(zhì)數(shù)，互為質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1，故8和9的最大公因數(shù)是1，互為質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積，故8和9的最小公倍數(shù)是：8×9＝72：（2）12＝3×2×2和48＝2×2×2×2×3，故12和48的最大公因數(shù)是：2×2×3＝12，12和48的最小公倍數(shù)是：3×2×2×2×2＝48；（3）13和104＝13×8，故13和104的最大公因數(shù)是13，13和104的最小公倍數(shù)是：13×8＝104：（4）34＝17×2和51＝3×17，故34和51的最大公因數(shù)是1