第04講 一元二次方程的判別式、根與系數(shù)（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）

第4講一元二次方程的判別式、根與系數(shù)1.理解一元二次方程根的判別式并會運用根的判別式判別一元二次方程根的情況；2.理解一元二次方程根與系數(shù)的關系知識點1：一元二次方程的判別式根的判別式：①時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③時，方程無實數(shù)根，反之亦成立知識點2：一元二次方程的根與系數(shù)根與系數(shù)的關系：即的兩根為，則，。利用韋達定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如解題技巧：當一元二次方程的題目中給出一個根讓你求另外一個根或未知系數(shù)時，可以用韋達定理【題型1一元二次方程的判別式】【典例1】（2022秋?沈河區(qū)期末）一元二次方程3x2﹣6x+4＝0根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．無實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定【變式1-1】（2022秋?南開區(qū)校級期末）方程x2﹣2x+4＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實根 B．有兩個相等的實根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【變式1-2】一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷【變式1-3】下列關于x的一元二次方程，一定有兩個不相等的實數(shù)根的是（）A．x2+kx﹣1＝0B．x2+kx+1＝0C．x2+x﹣k＝0D．x2+x+k＝0【典例2】（2022秋?甘井子區(qū)校級期末）關于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＝﹣1 D．k＞﹣1且k≠0【變式2-1】（2022秋?滕州市校級期末）若關于x的一元二次方程x2+2m＝4有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＜2 B．m≤2 C．m≥0 D．m＜0【變式2-2】（2022?太湖縣校級一模）若關于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且k≠2【典例3】（2022秋?武漢期末）已知關于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果方程的一個根為x＝3，求k的值及方程的另一根．【變式3-1】已知關于x的方程ax2+2x-3=0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求a的取值范圍；．（2）若此方程的一個實數(shù)根為1，求a的值及方程的另一個實數(shù)根．【變式3-2】已知關于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若此方程的兩實數(shù)根x1，x2滿足x12+x22=10，求k的值．【變式3-3】（2022秋?和平區(qū)校級期末）關于x的一元二次方程：．（1）當k＝1時，求方程的根；（2）若此方程有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍．【題型2一元二次方程的根與系數(shù)的關系】【典例4】（2021?貴港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的兩個實數(shù)根，則α+β﹣αβ的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【變式4-1】設α,β是一元二次方程x2+2x-1=0的兩個根，則αβA．2 B．1 C．-2 D．-1【變式4-2】若一元二次方程x2-5x+k=0的一根為2，則另一個根為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式4-3】若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的兩個實數(shù)根為m，n，則m+nmm的值為．【典例5】已知關于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）若x1【變式5-1】已知關于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若此方程的兩實數(shù)根x1，x2滿足x12+x22=10，求k的值．【變式5-2】已知關于x的一元二次方程x（1）求證：不論k為何實數(shù),方程總有實數(shù)根;（2）若方程的兩實數(shù)根分別為x1,x2,且滿足【變式5-3】（2021秋?蓬溪縣期末）已知關于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．（1）求m的取值范圍；（2）當時，求m的值．1．（2022?梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情況（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定2.（2022?河南一模）方程x2+x+1＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有一個實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根3.（2022?羅平縣一模）已知關于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜且a≠1 D．a(chǎn)＞且a≠14.（2022?太湖縣校級一模）若關于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且k≠25.（2022?東港區(qū)校級一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，則m2﹣6m﹣n+2022的值是（）A．2016 B．2018 C．2020 D．20226．（2022?東營）關于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是．7．（2022?資陽）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個根，則2a2+4a的值是．8．（2022?湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個根是x1，x2，則x1?x2的值是．9.（2022?西城區(qū)校級模擬）已知關于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果此方程有一個實數(shù)根為0，求m的值．10.（2022?南海區(qū)一模）已知關于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當m＝﹣1時，求出此時方程的兩個根．11.（2022?珠海二模）已知關于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若此方程的兩實數(shù)根x1，x2滿足x12+x22＝10，求k的值．1．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷2．下列關于x的一元二次方程，一定有兩個不相等的實數(shù)根的是（）A．x2+kx﹣1＝0B．x2+kx+1＝0C．x2+x﹣k＝0D．x2+x+k＝03．（2022秋?大冶市期末）若關于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有兩不相等實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≤5 B．k＜5 C．k≤5且k≠1 D．k＜5且k≠14．（2022秋?漳州期中）若a*b＝ab2﹣2ab﹣3．則方程3*x＝0的根的情況為（）A．無實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．不能確定5．（2022秋?豐臺區(qū)期末）若關于x的一元二次方程x2+x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為．A．2 B．1 C．-2 D．-16．已知x1,x2是方程A．1 B．-1 C．±1 D．07．設α、β是方程x2+x+2012=0的兩個實數(shù)根，則α2+2α+β的值為（）A．-2014 B．2014 C．2013 D．-20138．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的兩個實數(shù)根為m，n，則m+nmm的值為9．設a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的兩個實數(shù)根，則a2＋2a＋b的值為.10.（2021秋?大冶市期末）已知關于x的方程kx2﹣3