專題9 分類(lèi)討論思想解決等腰三角形中的兩解及多解問(wèn)題（解析版）

專題9分類(lèi)討論思想解決等腰三角形中的兩解及多解問(wèn)題（解析版）類(lèi)型一等腰三角形的要和底不明確時(shí)需討論1．（2022?宿遷）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3cm和5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【思路引領(lǐng)】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3cm和5cm，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解答】解：當(dāng)3cm是腰長(zhǎng)時(shí)，3，3，5能組成三角形，當(dāng)5cm是腰長(zhǎng)時(shí)，5，5，3能夠組成三角形．則三角形的周長(zhǎng)為11cm或13cm．故選：D．【總結(jié)提升】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二等腰三角形頂角與底角不明確時(shí)需討論2．（2023秋?寶應(yīng)縣月考）已知等腰三角形中，一個(gè)角為70°，則該等腰三角形的底角度數(shù)是70°或55°．【思路引領(lǐng)】根據(jù)題意，分已知角是底角與不是底角兩種情況討論，結(jié)合三角形內(nèi)角和等于180°，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，一個(gè)等腰三角形的一個(gè)角等于70°，①當(dāng)這個(gè)角是底角時(shí)，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是70°，②設(shè)該等腰三角形的底角是x，則2x+70°＝180°，解可得，x＝55°，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是55°；故答案為70°或55°【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理；通過(guò)三角形內(nèi)角和，列出方程求解是正確解答本題的關(guān)鍵．類(lèi)型三等腰三角形形狀不確定時(shí)需討論（一）有高無(wú)圖時(shí)3．（2023?瓊中縣一模）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則等腰三角形的底角度數(shù)為（）A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°【思路引領(lǐng)】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高，∠ABD＝40°，討論：當(dāng)BD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖1，先計(jì)算出∠BAD＝30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠ACB；當(dāng)BD在△ABC外部時(shí)，如圖2，先計(jì)算出∠BAD＝30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠ACB．【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高，∠ABD＝40°，當(dāng)BD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖1，∵BD為高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣30°）＝當(dāng)BD在△ABC外部時(shí)，如圖2，∵BD為高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，∴∠ACB=12∠BAD＝綜上所述，這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為75°或15°．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．有垂直平分線時(shí)4．（2023春?新泰市期末）已知線段AB垂直平分線上有兩點(diǎn)C、D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，則∠ACB＝（）A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90°【思路引領(lǐng)】如圖，DE垂直平分AB，垂足為E，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠DAB＝∠DBA＝50°，當(dāng)C點(diǎn)在線段DE上，∠CAD＝10°時(shí)，則∠CAB＝40°，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算∠ACB＝100°；當(dāng)C′點(diǎn)在ED的延長(zhǎng)線上，∠C′AD＝10°時(shí)，則∠C′AB＝60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易得∠AC′B＝60°．【解答】解：如圖，DE垂直平分AB，垂足為E，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠DBA=12（180°﹣∠ADB）=12×（180當(dāng)C點(diǎn)在線段DE上，∠CAD＝10°時(shí)，則∠CAB＝50°﹣10°＝40°，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；當(dāng)C′點(diǎn)在ED的延長(zhǎng)線上，∠C′AD＝10°時(shí)，則∠C′AB＝50°+10°＝60°，∵CA＝CB，∴∠AC′B＝60°，綜上所述，∠ACB的度數(shù)為60°或100°．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．5．（2022秋?沭陽(yáng)縣期中）已知等腰三角形一腰上的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角是40°，則底角的度數(shù)為．【思路引領(lǐng)】作出圖形，分①三角形是銳角三角形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出頂角，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解；②三角形是鈍角三角形，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出頂角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解．【解答】解：①如圖1，三角形是銳角三角形時(shí)，∠A＝90°﹣40°＝50°，底角為：12×（180°﹣50°）＝②如圖2，三角形是鈍角三角形時(shí)，∠BAC＝90°+40°＝130°，底角為：12×（180°﹣130°）＝綜上所述，底角為65°或25°．故答案為：65°或25°．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．類(lèi)型四圖形分割問(wèn)題中的分類(lèi)討論中線分割周長(zhǎng)6．（2023?興化市校級(jí)一模）已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為10cm，一腰上的中線把三角形的周長(zhǎng)分為兩部分，其中一部分比另一部分長(zhǎng)5cm，那么這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)為15cm．【思路引領(lǐng)】?jī)刹糠种羁梢允堑走吪c腰之差，也可能是腰與底邊之差，解答時(shí)應(yīng)注意．設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是xcm，根據(jù)其中一部分比另一部分長(zhǎng)5cm，即可列方程求解．【解答】解：如圖，設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是xcm．當(dāng)AD+AC與BC+BD的差是5cm時(shí)，即12x+x﹣（12x+10）＝解得：x＝15，15，15，10能夠組成三角形；當(dāng)BC+BD與AD+AC的差是5cm時(shí)，即10+12x﹣（12x+x解得：x＝5，5，5，10不能組成三角形．故這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)為15cm．故答案為：15．【總結(jié)提升】本題考查等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形有兩邊相等，同時(shí)考查了三角形的三邊關(guān)系．7．（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）已知一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為45cm，一腰上的中線將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為3：2的兩部分，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為18cm或12cm．【思路引領(lǐng)】本題可分別設(shè)出等腰三角形的腰和底的長(zhǎng)，然后根據(jù)一腰上的中線所分三角形兩部分的周長(zhǎng)來(lái)聯(lián)立方程組，進(jìn)而可求得等腰三角形的底邊長(zhǎng)．注意此題一定要分為兩種情況討論，最后還要看所求的結(jié)果是否滿足三角形的三邊關(guān)系．【解答】解：設(shè)該三角形的腰長(zhǎng)是xcm，底邊長(zhǎng)是ycm．根據(jù)題意得，一腰上的中線將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為27和18兩部分，∴x+x2=27解得x=18y=9或x=12經(jīng)檢驗(yàn)，都符合三角形的三邊關(guān)系．因此這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為18cm或12cm．故答案為：18cm或12cm．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確3：2兩部分是哪一部分含有底邊，所以一定要想到兩種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．過(guò)三角形一頂點(diǎn)的直線將等腰三角形分割成兩個(gè)小等腰三角形8．（2022?天寧區(qū)校級(jí)二模）已知△ABC是等腰三角形，過(guò)△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線，把△ABC分成兩個(gè)小三角形，如果這兩個(gè)小三角形也是等腰三角形，我們把這樣的等腰三角形叫做和諧三角形．請(qǐng)構(gòu)造出所有符合條件的和諧三角形并標(biāo)出相關(guān)角的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】先根據(jù)題意做出等腰三角形，再根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)A，B分四種情況，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等，分別求出內(nèi)角的度數(shù)即可．【解答】解：一共有4種情況：①△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直線AD是過(guò)頂點(diǎn)A．∵△ABD，△ACD是等腰三角形，∴AD＝BD，AD＝CD，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C．∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C＝180°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°；②△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直線AD是過(guò)頂點(diǎn)A．∵△ABD，△ACD是等腰三角形，∴AB＝BD，AD＝CD，∴∠B＝∠C，∠DAC＝∠C，∠BAD＝∠BDA，∴∠BDA＝2∠C．∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴2∠B+3∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠C＝36°，∠BAC＝108°；③如圖所示，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直線BD是過(guò)頂點(diǎn)B．∵△ABD，△BCD是等腰三角形，∴AD＝BD，BD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠C．∵∠BDC＝2∠A，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°；④如圖所示，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直線BD是過(guò)頂點(diǎn)B．∵△ABD，△BCD是等腰三角形，∴AD＝BD，BC＝CD，∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠A，∠DBC＝∠CDB．∴∠BDC＝2∠A，∴∠DBC＝2∠A，∠ABC＝∠C＝3∠A．∴7∠A＝180°，解得∠A=180°則∠ABC=∠C=540°【總結(jié)提升】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，正確記憶三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等，注意多種情況討論，不能丟解是解題關(guān)鍵．9．已知△ABC中，∠A＝80°，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)B的直線將△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形，求∠C的度數(shù)．（請(qǐng)畫(huà)圖分析）【思路引領(lǐng)】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖1，∵AB＝BD＝CD，∠A＝80°，∴∠ADB＝∠A＝80°，∠DBC＝∠C，∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∴∠C=12∠ADB＝如圖2，∵AB＝AD＝BD，∠A＝80°，∴∠ADB＝∠ABD=12（180°﹣∠A）＝50°，∠DBC＝∠∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∴∠C=12∠ADB＝如圖3，AD＝BD，BD＝CD，∴∠A＝∠ABD＝80°，∠DBC＝∠C＝10°．綜上所述，∠C的度數(shù)為40°或25°或10°．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．10．（2016?章貢區(qū)模擬）有一三角形紙片ABC，∠A＝80°，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，沿BD方向剪開(kāi)三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩紙片均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可以是25°或40°或10°．【思路引領(lǐng)】分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解．【解答】解：由題意知△ABD與△DBC均為等腰三角形，對(duì)于△ABD可能有①AB＝BD，此時(shí)∠ADB＝∠A＝80°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣80°＝100°，∠C=12（180°﹣100°）＝②AB＝AD，此時(shí)∠ADB=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣50°＝130°，∠C=12（180°﹣130°）＝③AD＝BD，此時(shí)，∠ADB＝180°﹣2×80°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣20°＝160°，∠C=12（180°﹣160°）＝綜上所述，∠C度數(shù)可以為25°或40°或10°．故答案為：25°或40°或10°．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論．11．（2021秋?東湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，有一個(gè)三角形紙片ABC，∠C＝30°，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，沿BD方向剪開(kāi)三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得的兩紙片均為等腰三角形，則∠A的度數(shù)可以是37.5°或15°或60°．【思路引領(lǐng)】分BC＝CD或BC＝BD或CD＝BD三種情況，求出∠ADB，再分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠A即可得解．【解答】解：由題意知△ABD與△DBC均為等腰三角形，①BC＝CD，此時(shí)∠CDB＝∠DBC＝（180°﹣∠C）÷2＝75°，∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣75°＝105°，AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝37.5°；②BC＝BD，此時(shí)∠CDB＝∠C＝30°，∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣30°＝150°，AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝15°；③CD＝BD，此時(shí)∠CDB＝180°﹣2∠C＝120°，∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣120°＝60°，AB＝AD時(shí)，∠A＝180°﹣2∠ADB＝60°；或AB＝BD，∠A＝60°；或AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝60°．綜上所述，∠A的度數(shù)可以是37.5°或15°或60°．故答案為：37.5°或15°或60°．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題．類(lèi)型五因動(dòng)點(diǎn)引起的分類(lèi)討論12．（2020秋?嵊州市期中）如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1＝50°，點(diǎn)A是直線a上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B在直線b上運(yùn)動(dòng)，若以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則∠OAB的度數(shù)是50°或65°或80°或25°．【思路引領(lǐng)】根據(jù)△OAB為等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)OB＝AB時(shí)，②當(dāng)OA＝AB時(shí)，③當(dāng)OA＝OB時(shí)，分別求得符合的點(diǎn)B，即可得解．【解答】解：要使△OAB為等腰三角形分三種情況討論：①當(dāng)OB1＝AB1時(shí)，∠OAB＝∠1＝50°；②當(dāng)OA＝AB2時(shí)，∠OAB＝180°﹣2×50°＝80°；③當(dāng)OA＝OB3時(shí)，∠OAB＝∠OBA=12（18