奧數(shù)練習(xí)題之除法中的巧算(含答案)

除法中的巧算

(一)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)

我們利用“商不變的性質(zhì)”進(jìn)行除法中的巧算，因?yàn)椤吧滩蛔冃再|(zhì)”，是被除數(shù)、除

數(shù)同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)(零除外)，它們的商不變。

一般有這樣的公式：a+5=(axx〃)

或=(a++0+〃)(〃聲0)

如：12+3=(12x2)+(3x2)=24+6=4

或12+6=(12+2)+(6+2)=6+3=2

例1.用簡便方法計(jì)算下列各題。

(1)825+25(2)47700+900

分析：(1)(2)可以利用“商不變的性質(zhì)”去計(jì)算。

(1)825+25

=(825x4)+(25x4)

=3300+100

=33

想辦法使其中一個(gè)數(shù)擴(kuò)大、或縮小后成為整十、整百、整千，如25擴(kuò)大4倍得100。

(2)47700+9(X)

=(47700=100)+(900+100)

=477+9

=53

看到被除數(shù)，與除數(shù)末尾都有00,這樣讓它們同時(shí)縮小100倍。

在除法運(yùn)算中，還有兩個(gè)數(shù)的和，(或差)除以一個(gè)數(shù)，可以用這個(gè)數(shù)分別去除這兩

個(gè)數(shù)(在都能整除的情況下)，再求兩個(gè)商的和或差。

一般公式：(a+Z?)+c=a+c+/7+c

(a-b)+c=a+c-b+c

如：(12+6)+2=12+2+6+2=6+3=9

(12-6)+2=12+2-6+2=6-3=3

這個(gè)性質(zhì)可以推廣到多個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)的情況。

例2.用簡便方法計(jì)算。

(1)(250+165)+5

(2)(702-213-414)-3

分析：這兩題都可以運(yùn)用以上性質(zhì)去解答，就是“兩個(gè)數(shù)的和(差)除以一個(gè)數(shù)”的

除法運(yùn)算性質(zhì)。

(1)(250+165)+5(2)(702-213-414)^-3

=250+5+165+5=702+3-213+3-414+3

=50+33=234—71-138

=83=25

除了以上性質(zhì)外，使計(jì)算題簡便，同時(shí)還有利用乘、除同級(jí)運(yùn)算帶著符號(hào)“搬家”的

性質(zhì)：

(1)兩個(gè)數(shù)的商除以一個(gè)數(shù)，等于商中的被除數(shù)先除以這個(gè)數(shù)，再除以原來商中的

除數(shù)。

一般有：a+b+c=a+c+b

如：12+3+2=12+2+3

(2)兩個(gè)數(shù)的積除以一個(gè)數(shù)，等于用除數(shù)先去除積的任意一個(gè)因數(shù)，再與另一個(gè)因

數(shù)相乘。

一般有：axb+c=a+cxb

或=〃+cxa

如：12x6+2=12+2x6=36

或：12x6+2=6+2x12=36

例3.計(jì)算下面各題。

(1)525+7+5

(2)128x5+8

分析：這兩題可以運(yùn)用乘除混合運(yùn)算帶著符號(hào)“搬家”的性質(zhì)。

(1)525+7+5(2)128x5+8

=525+5+7=128+8x5

=1054-7=16x5

=15=80

在運(yùn)算中經(jīng)常出現(xiàn)乘除混合運(yùn)算及括號(hào)等，怎么辦，仍有一些性質(zhì)：

1.一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的積，等于這個(gè)數(shù)依次除以積的兩個(gè)因數(shù)。

一般公式：a+=a+b+c

如：12+(6x2)=12+6+2=1

例5.簡便計(jì)算下面各題。

(1)756+(7x9)

(2)1260+7+9

分析：利用以上公式計(jì)算，發(fā)現(xiàn)(1)被除數(shù)+兩個(gè)數(shù)的積，可以用下面公式計(jì)算：

(1)756+(7x9)(2)1260+7+9

=756+7+9=1260+(7x9)

=108+9=1260+63

=12=20

2.一個(gè)數(shù)乘以兩個(gè)數(shù)的商，等于這個(gè)數(shù)乘以商中的被除數(shù)，再除以商中的除數(shù)。

一般的有：ax(/?+c)=axb+c

如：12x(64-2)=12x64-2

例6.簡便計(jì)算。

(1)720x12+4

(2)125x(8-2)

分析：以上兩題可以利用乘除混合運(yùn)算“去括號(hào)”，或“添括號(hào)”的性質(zhì)進(jìn)行巧算。

(1)720x12+4(2)125x(8+2)

=720x(12+4)=125x8+2

=720x3=1000+2

=2160=500

3.一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的商，等于這個(gè)數(shù)除以商中的被除數(shù)，再乘以商中的除數(shù)。

一般有：”(b+c)=a+bxc

如：12+(6+2)=12+6*2=4

例7.簡便計(jì)算下面各題。

(1)216+24x6

(2)8750004-(10004-8)

分析：這兩題即根據(jù)?、坌再|(zhì)去做，可“添括號(hào)”。

(1)216+24x6(2)875000-(1000-8)

=216+(24+6)=875000-1000x8

=216+4=875x8

=54=7000

以上6題都是利用乘除混合運(yùn)算去括號(hào)，或添括號(hào)的性質(zhì)解決的。但要注意：我們?cè)?/p>

使用以上全部除法的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，必須具備的條件是商不能有余數(shù)。如果商有余數(shù)，在使

用這些運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，余數(shù)是會(huì)發(fā)生變化的。如：

324+(9x7)324+(9x7)

=324+63=324+9+7

=5……9=36+7

=5....1

例8.巧算下面各題。

(1)1326+39(3)248x68-17x248+248x48

(2)520x125(4)999x99x9

分析：以上4題，有些算式表面看起來不能進(jìn)行簡便運(yùn)算時(shí)，可把已知數(shù)適當(dāng)分解或

轉(zhuǎn)化，從而使計(jì)算簡便。另外，在計(jì)算時(shí)無論題目是否要求簡算，都應(yīng)盡量地使用簡便方

法，有時(shí)可反復(fù)使用有關(guān)的定律和性質(zhì)。

(1)1326+39

=1326+(13x3)

=1326+13+3

=102+3

=34

這題我們將39分解為39=13x3,然后按性質(zhì)去做。

(2)520x125

=520x(1000+8)

=520x1000+8

=520-8x1000

=65x1000

=65000

此題將125轉(zhuǎn)化為1000+8=125

(3)248x68-17x248+248x48

=248x(68-17+48)

=248x99.........這一步將99轉(zhuǎn)化為(100—1)

=248x(100-1)

=248x100—248

=24552

此題直接利用乘法分配律計(jì)算就可以。

(4)999x99x9

=(1000-1)x99x9

=(99000-99)x9.........再次轉(zhuǎn)化為(10-1)

=98901x(10-1)

=989010-98901

=890109

對(duì)接近100的兩位數(shù)相乘的速算。

接近100的兩位數(shù)，用被乘數(shù)減去，100減乘數(shù)的差，所得的結(jié)果作積的前兩位；再

用100減去被乘數(shù)的差與100減乘數(shù)的差相乘，所得的結(jié)果作積的后兩位?；蛴贸藬?shù)減去,

100減被乘數(shù)的差，所得的結(jié)果作積的前兩位，再用100減去被乘數(shù)的差與100減去乘數(shù)

的差相乘，所得的結(jié)果作積的后兩位。我們用這種方法計(jì)算。

例9.計(jì)算：98x91

分析：因?yàn)?00—98=2……＜1＞差對(duì)98而言

100—91=9……＜2＞差對(duì)91而言

所以98—9=89或91—2=89

2x9=182x9=18

所以98x91=891898x91=8918

用這種方法，有兩種特例需要注意：

特例1.用100分別減去兩個(gè)因數(shù)所得的差相乘之積不足10時(shí)，要在這個(gè)一位數(shù)前添

0,否則積變成三位數(shù)就錯(cuò)了。

如：96x98速算為：

100—96=4.........＜1＞差

100-98=2……＜2＞差

96-2=94

4x2=8

.?.96x98=9408

(注意8前添0)

發(fā)現(xiàn)：差＜1＞、差＜2＞,用第一個(gè)因數(shù)一差＜2＞,再用差＜2＞X差＜1＞,最后結(jié)果是第一

個(gè)因數(shù)X差＜2＞的結(jié)果做為前兩位數(shù)，差＜2＞X差＜1＞的結(jié)果做為后兩位數(shù)。如果結(jié)果為一

位數(shù)，前面要添0。

特例2.用100分別減去兩個(gè)因數(shù)所得的差相乘之積大于10時(shí)，要將百位作為向前進(jìn)

位的數(shù)，否則積變成五位數(shù)就錯(cuò)了。

如：93x84速算為：

100-93=7……<1>差

100-84=16……<2>差

93-16=77

16x7=112

.?.93x84=7812(注意百位上的1要向前進(jìn)位)

［答題時(shí)間:30分鐘］

練習(xí)：

(1)97x96(2)95x93(3)98x97

(4)99x92(5)88x89(6)95