電容靜電能量

授課計劃重點內容回顧及疑難解答教學內容主

要

知

識

點

重點難點

思考題與作業(yè)

備注

場圖、實驗演示、習題。

1-8

電容與部分電容電容的定義、計算

1-9

靜電能量與力電場能量的計算式及其相互差異力的計算——虛位移法。

總結能量的計算；虛位移的選擇；廣義力與廣義坐標。

1-9-2(1),(2)，1-9-4預習chap.2

鏡像電荷的數(shù)量、大小的確定（唯一性定理+疊加定理）；適用范圍（有效區(qū)）。測驗：點電荷與介質平面、與接地導體球的鏡像、電軸法公式?？偨Y1.電容的計算2.靜電能量的計算(1-101)(1-102)(1-103)(1-105)點電荷系統(tǒng)的相互作用能V，S指場源所在區(qū)域（有限）V指整個場域（無限大）

3.電場力的計算虛位移法回顧1.點(線)電荷與導體平面2.點(線)電荷與平面介質-qqq=3.點電荷與導體球4.圓柱導體之間(電軸法)Rqdob-q’xybbhaaqq=+唯一性定理疊加定理注意有效區(qū)！靜電場計算小結

靜電場分析計算的類型：第一類：

給定空間的電荷分布，求電位和電場的分布。

對于這一類問題的求解，可以應用靜電場中的積分方程，即

對于某些對稱場的問題，可直接應用高斯定理中求解。

靜電場分析計算的類型第二類：給定空間某一區(qū)域內的電荷分布，同時給定該區(qū)域邊界上的電位或電場，即邊界條件，在這種條件下求解區(qū)域內的電位和電場分布。這類問題也稱為邊值問題。對于這類邊值問題的求解，一是直接求解微分方程，其中解析計算方法主要有直接積分法(一維問題)和分離變量法(二維和三維問題)，數(shù)值計算法有差分法、有限元法、模擬電荷法和矩量法等。二是間接計算法，如鏡像法，電軸法。1.鏡像法，電軸法2.高斯定理3.靜電場積分方程4.求解微分方程先判斷題目類型，再決定解題方法。1-8電容

——靜電場參數(shù)計算之一

1.電容的定義2.電容的計算假設QE高斯定理φ,U假設U▽2=0E,DQ關鍵是場的計算電容計算舉例例1平行板電容器由兩塊面積為S，相隔距離為d的平行導體板組成，極板間填充介電常數(shù)為ε＝εrε0的電介質，求電容量。解：忽略電場的邊緣效應，拉普拉斯方程簡化為：極板間的電場強度為電通密度為電容為例2

半徑分別為a和b的同軸線，外加電壓U，如圖所示，圓柱面電極間在圖示θ角部分充滿介電常數(shù)為ε

的介質，其余部分為空氣，求介質與空氣中的電場和單位長度上的電容量。

解：兩個區(qū)域的電位方程均為：ab由邊界條件

內導體表面單位長度上的電荷量單位長度的電容為ab例2,多導體系統(tǒng)的部分電容（p47）

所以靜電屏蔽在工程上有廣泛應用。

靜電屏蔽

三導體系統(tǒng)的方程為：

4.靜電屏蔽當時，說明1號與2號導體之間無靜電聯(lián)系，實現(xiàn)了靜電屏蔽。下頁上頁電場的最基本特征是對靜止的電荷有作用力，即對任一種電荷分布總存在著與之相關聯(lián)的力系統(tǒng)，因此也就有與之相關聯(lián)的能量儲存在系統(tǒng)中，在靜態(tài)條件下帶電體系的能量完全以勢能形式存在著，稱為靜電能。1-9靜電能量與力

——靜電場參數(shù)計算之二電場能量的來源?由建立電荷系統(tǒng)的過程中外界的能源提供。如電源、外力……1.點電荷系統(tǒng)的電場能量表達式以三個點電荷系統(tǒng)為例。設介質為線性、均勻，原來空間既無電場也無電荷。123q3q1q2Step1:

把點電荷q1從無窮遠處移到位置1，沒受到任何阻力（無電場），不做功。123q1q2將上述過程調換順序，有

把點電荷q2從無窮遠處移到位置2，受到q1產(chǎn)生的電場對它的阻力，做功，建立電場能量W2

。Step2:q1q3q2Step3:

q3總能量

對于n個點電荷的系統(tǒng)123q1q2

把點電荷q3從無窮遠處移到位置3，受到q1

、q2產(chǎn)生的電場對它的阻力做功，建立電場能量W3

。q3點電荷系統(tǒng)的相互作用能2.分布電荷系統(tǒng)的靜電能量

對于某體積單元dV，其電位為α

φ

，送入微分電荷(dα

ρ)dV，能量增量為(α

φ)(dα

ρ)dV。設系統(tǒng)完全建立時，最終的電荷分布為ρ,電位函數(shù)為φ。如果在充電過程中使各點的電荷密度按其最終值的同一比例因子α增加,則各點的電位也按同一因子增加。整個空間增加的能量為

整個充電過程中增加的能量就是系統(tǒng)增加的總能量，為(1-101)若是帶電導體系統(tǒng)，每個導體的電位為常數(shù)若電荷分布在表面上，其面密度為σ，則(1-102)(1-103)對于點電荷系統(tǒng)可推導出靜電能量的另一表示式靜電能量的分布由P334高斯散度定理對于場源在有限范圍內分布的情況，取無限大空間作為積分區(qū)域，則(1-105)靜電能量體

密度對于線性各向同性介質靜電能量的計算小結(1-101)(1-102)(1-103)(1-105)點電荷系統(tǒng)的相互作用能（例1-23）V，S指場源所在區(qū)域（有限）V指整個場域（無限大）例1部分填充介質的同軸線，求介質與空氣中單位長度內的電場能量，已知同軸線內導體電位φ1=U0，外導體電位為零。ab解法一：由前面例2可知，內導體單位長度上的電荷量為單位長度內的電場能量單位長度上的電容解法二：由例2可知，空氣和介質中的電場強度相等

空氣和介質中的能量密度對場空間體積分,得單位長度的電場能量為3.靜電力——虛位移法點電荷的電場力虛位移法的理論依據(jù)是能量守恒對某多導體系統(tǒng)，假設系統(tǒng)內某一導體因受靜電力F的作用引起某種位移dg，則靜電力所作的功為Fdg。

該位移使得該導體與其他所有導體之間的相對位置發(fā)生改變，導體的電位亦發(fā)生變化，則系統(tǒng)的靜電能量隨之變化為dWe。按照能量守恒的原理，這兩項能量的改變應由電源提供dW。dW=dWe+Fdg1)常電荷系統(tǒng)電場能量的增量為

假定導體系統(tǒng)內各導體與外加電源不相連，此時各導體的電荷保持為常數(shù)，此時外界電源不作功，dW=0。

故電場能量的增量全部用于靜電力作功，這時靜電力計算為

如某一導體發(fā)生位移，則必然引起所有導體上的電位的變化，從而引起電場能量的改變。dW=dWe+Fdg力的方向如何判斷？F>0，力的方向沿位移增加的方向F<0，力的方向沿位移減小的方向例2.孤立導體球——常電荷如一半徑為R的孤立導體球充電后與電源斷開，這時帶電量q為常量，設無限遠處電位為零。則總的靜電能量為法拉第觀點2)常電位系統(tǒng)電場能量的增量為

假定導體系統(tǒng)內各導體保持與外加電源相連，此時各導體的電位保持為常數(shù)，如某一導體發(fā)生位移，則必然引起所有導體上的電荷量變化。故外界電源所作的功為

故電源提供的能量一半用于電場儲能，另一半用于靜電力作功，這時靜電力計算為假定半徑為R的孤立導體球的電位φ=U=常數(shù)，總的靜電能量為靜電力例3.孤立導體球——常電位例4

平行板電容器寬為w，長為l，極間距離為d,其中寬度等于x(x<w)的部分區(qū)域充滿了介電常數(shù)為ε的介質，求電介質受到的靜電力。解:平行板電容器中的儲能為(忽略邊緣效應)

假定電容器與電源相連，則U不變，設位移變化量為x,靜電力為

位于電容器內的介質板側面上單位面積上的力為例1-27P59結論：

1.力總是垂直于介質分界面；

2.力的方向總是由介電常數(shù)大的一邊指向介電常數(shù)小的一邊。水滴氣泡變壓器油氣泡水滴預習內容及思考題——第二章第一講教學內容主

要

知

識

點

及

預

習

思

考

題

靜電場分析總結：主線是什么？

方法是什么？第二章恒定電場——注意與靜電場的對比2-1

導電媒質中的電流——產(chǎn)生恒定電場的源

1.電流體密度、面密度、線密度、元電流的概念；

2.電流密度與電場強度的關系

2-2

電源電動勢與局外場強——一般了解2-3

恒定電場基本方程.分界面的銜接條件

1.積分方程；

2.微分方程；

3.位函數(shù)及其方程；

4.銜接條件；

5.導體的功率損耗。靜電場分析總結1-1電場強度，電位1.電荷與電荷分布2.電場強度、庫侖定律

基本變量及其環(huán)量方程3.電位函數(shù)

位函數(shù)1-2

高斯定理1.真空中的高斯定理

基本變量及其通量方程2.導體3.電介質4.電位移矢量5.介質中的高斯定理1.積分形式的基本方程

積分方程2.微分形式的基本方程

微分方程3.兩種介質分界面的銜接條件

銜接條件1-3

靜電場基本方程與分界面上的銜接條件方程基本變量場源亥姆霍茲定理1-4靜電場邊值問題1.靜電場位函數(shù)方程2.邊值問題及其分類3.邊值問題的建立4.邊值問題的分析方法概述靜電場分析總結邊值問題求解

解析法數(shù)值法有限差分法接間法分離變量法(直角坐標系)鏡像法（電軸法）直接解方程1-5，6，71-8，1-9靜電場參數(shù)計算電容、靜電能量、電場力的計算邊值問題及其建立邊值問題的分析參數(shù)計算場源基本變量方程參數(shù)靜電場計算小結

靜電場分析計算的類型：第一類：

給定空間的電荷分布，求電位和電場的分布。

對于這一類問題的求解，可以應用靜電場中的積分方程，即對于某些對稱場的問題，可直接應用高斯定理中求解。