2023版高三一輪總復習數(shù)學新教材老高考人教版教案：第1章 第3節(jié)　等式性質與不等式性質

等式性質與不等式性質

［考試要求］

1.掌握等式的性質.

2.會比較兩個數(shù)（式）的大小.

3.理解不等式的性質，掌握不等式性質的簡單應用.

［走進教材-夯實基礎］回顧知識?激活技能

C>梳理?必備知識

1.兩個實數(shù)比較大小的方法

方法

關系

作差法作商法

a>ba-b>0QO)或廣l(a,/?<O)

a=bg—b=O￡=1(注0)

a<hq—b<0]vi(a,b>0)或￡>l(a,b<0)

2.等式的性質

性質1對稱性：如果a=b,那么b=a；

性質2傳遞性：如果a=Z?,b=c,那么a=c；

性質3可力口（減）性：如果那么a±c=任c；

性質4可乘性：如果那么ac=/?c；

性質5可除性：如果cWO,那么￡=￡

3.不等式的性質

性質1對稱性：a>b^b<a；

性質2傳遞性：a>b,h>c^a>c\

性質3可加性：a>h^a+c>b+c；

性質4可乘性：a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc；

性質5同向可加性：a>b,c>d^a+c>b+d；

性質6同向同正可乘性：a>h>0,c>d>O0ac>bd；

性質7同正可乘方性：a>b>O=^an>bn(n^N,〃22).

提醒：同向不等式可相加，不能相減.

［常用結論］

1.倒數(shù)性質

(Da>b,M>()W；

⑵aVOVQ區(qū)；

(3)a>b>0,d>c>0=>^>^.

2.分數(shù)性質

若m>0,則

*、一，，ybb+mbb—m

(1)真分數(shù)性質：->=—加>0)；

婦意Qi公二退

(2)假分數(shù)性質：旺矍；祟V魯圖3一機>0).

R~~~b+jnRb~m

?激活?基本技能

一'易錯易誤辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)若。>力，則a/Abc2.()

⑵若ac2>bc2,則a>b.()

⑶球>1,則()

(4)若a+c>b+c,則a>b.()

［答案］⑴X(2)V(3)X(4)7

二'教材習題衍生

1.若M=(X—3)2,N=(X—2)(X—4),則有()

A.M>NB.M?NC.M<ND.M&N

A［因為M-N=(X-3)2-(X-2)(X-4)=1>0,

所以M>N.］

2.設bV”，d<c,則下列不等式中一定成立的是()

A.a—c<.h-dB.ac<bd

2

C.a+c>h+dD.a+d>b+c

C［由c>d得a+c>b+d,故選C.］

3.鹽水溶液的濃度公式為夕=魂簫焉（a>與，向鹽水中再加入〃?克鹽,

那么鹽水將變得更咸，下面哪一個式子可以說明這一事實（）

bb+mbb+m

A.-<_r-B.->_r-

aa-vmaa-rm

b+m

A［向鹽水溶液中加入加克鹽，鹽水的濃度變?yōu)榘俑?，此時濃度變大，鹽

h+mh

水更咸，即故選A.］

a+ma

4.已知一—3<Z?<5,則a—〃的取值范圍是.

（—6,5）［V—3<b<5,A_5<—b<3,

又一1<。<2,—一

b<5.］

［細研考點?突破題啊重難解惑■直擊高考

□考點一比較兩個數(shù)（式）的大小帆生共研

In3In4In5.?

［典例1］若。=亍，h=~,c=~,則（），?題鄉(xiāng)檢

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

［四字解題］

讀想算思

竽-竽及竽-警的正負

作差法

,—In3In4In5轉化化歸

比r較亍,—,—

作商法空與1的大小

的大小

段）」丫的單調性

單調性法構造函數(shù)

B［法一：（作差法）

_In3In4_41rl3-31rl4_In81-In64

a~b=q-4=V)=r?>°，

3

In4In551n4-41n5In1024-ln625“

/?-c="^—―------20------=---------20-------->0,所以a>b>c.

法二：(作商法)

易知a,b,c都是正數(shù)，~=1^1=log8i64<1,所以。>匕；^=4hT5=lo§6251

024>1,所以8>c.即cVbVa.

法三：(單調性法)

一…InX1-Inx

對于函數(shù))=/。)=二1，y'=—^—.

易知當x>e時，函數(shù)/(九)單調遞減.

因為e<3<4<5,

所以/(3)>/(4)>/(5),即cVbVa.］

令反思領悟比較兩式大小的常用方法

(1)作差法一般步驟：①作差；②變形；③定號；④結論.其中關鍵是變形,

常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩個

式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差.

(2)作商法一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大??；④結論.

(3)函數(shù)的單調性法：將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)

函數(shù)單調性得出大小關系.

(4)特殊值法：對于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.

［跟進訓練］

1.(1)若a<0,b<0,則/?="+%與q=a+b的大小關系為()

A.p<qB.pWqC.p>qD.p2g

⑵已知a>b>0,則a"附與a%"的大小關系為

(1)B(2)aabb>ahba[(1)p—q=~+~^—a—b

2,層一爐、

=b丁—^+〒=("標比(\力1

(加一屋)(匕一〃)(A—4)2(。+〃)

abab'

因為a<0,Z?<0,所以。+。<0,ab>0.

4

又（〃一。）2?0,:?p—qWO.

綜上，pWq.

又。>人>0,故齊1,a—b>0,

又abba>0,a(ihb>abha.]

考點二不等式的基本性質枷生共研

[典例2](1)已知實數(shù)〃，h,c在數(shù)軸上對應的點如圖所示，則下列式子中

正確的是()￡5加

A.b-a<c-\-aB.（r<ab

C.D.\b\c<\a\c

⑵(2021?珠海模擬)若〃。<0,c>0,則下列不等式中一定成立的是()

1111

AB

/-b-y-

-Q<PQ

C.\n(b-a)>QD.

(1)D(2)D[(1)法一：(邏輯分析法)根據(jù)數(shù)軸可得cCvavO,且|c|>|句>同，

對于A:因為c<b,4V0,所以c+a<cfb—a>bf貝c+a<c<b<b—a,即c+a<b

—a9故A錯誤;對于B：因為c<*a<0,|。|>步|>|。],所以。2>62>。2,且比>加?，

所以。2>〃>血即血故B錯誤；對于C:因為從a<0,所以f，則R1

故C錯誤；對于D:因為|例>同，且c<0,所以以c<|a|c,故D正確.

法二：(特殊值法)不妨令c=~5,b=—4,a=~\,則c+a=—6</?一。=

—3,故A錯誤；c2=25>ab=4,故B錯誤；^=1<^=5,故C錯誤；\b\c=—

20<|a|c=-5,故D正確.故選D.

.,_11b—a1,“一b-a

(2)對選項A,―一7=一「因為〃<匕<0,所以。比>0,b—a>Of即方>0,

5

所以｝>］,故A錯誤；對選項B,.一1一,一0=4一〃+(一：=(4-5>*」，因

為。<。<0,所以。一8<0,不能判斷a41間的關系，故B不正確；對選項C,因

為b-a>0,所以Ing—a)的范圍為R,故C錯誤.

對選項D,因為。<方<0,所以F>0,->0,因為T--=~—￡>0,所以亳盤，

b，a，baab，ba'

又因為c>0,所以y=f在(0,+8)為增函數(shù)，

所以母〉(勻，故D正確.故選D.］

畬反思領信判斷不等式是否成立的常用方法

(1)直接利用不等式的性質逐個驗證，利用不等式的性質判斷不等式是否成

立時要特別注意前提條件.

(2)利用特殊值法排除錯誤答案.

(3)利用函數(shù)的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利

用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、霖函數(shù)等函數(shù)的單調性來比較.

一［跟進訓練］

2.(2021?上海楊浦一模)設a>b>0,cWO,則下列不等式恒成立的是()

11,

~>Tac2>bc2

A.abB.

cc

ac>bc-

C.D.a<Tb

B［由不等式的性質易得，當a>0>0,cWO時，恒成立的是這2>兒2.故選

B.］

□考點三不等式性質的綜合應用《師生共研

X

［典例3］已知l〈xV4,2VyV5,則2x-y的取值范圍是________,二的取

y

值范圍是.

(-3,6)2)［Vl<x<4,Z.2<2x<8.

\'2<y<5,：.-5<~y<~2,

二?一3V2尤一yV6.

V0<1<A-<4,0<!<-<|,

Jyz

6

5y」

［母題變遷］

1.將本例條件改為"一la<y<3",求x—y的取值范圍.

［解］因為-14<3,一1勺<3,

所以一3v—y<l,—4<r—y<4.①

又因為x<y,所以/一y〈0,②

由①②得一4<x—y<0,

故x—y的取值范圍是(一4,0).

2.將本例條件改為“已知一14一產4,2令+y<3”,求3尤+2))的取值范圍.

［解］設3x+2y=2(x—y)+〃(x+y),

即3x+2y=(2+〃)龍+(//—2)y,

，+〃=3,

于是1〃T=2,解得

5

3x+2y=j(x—y)+］(x+y).

—i<x—y<492<x+y<3,

.11/、cL5I、15

??一2<2。一了)<2,5<2(x+^)<y,

.91