北師大版2021-2022學(xué)年中考數(shù)學(xué)模擬試題（一模）（解析版）

【精編整理】北師大版2021-2022學(xué)年中考數(shù)學(xué)模仿試題（一模）

（解析版）

一、選一選（共13小題；每小題3分，共39分）

1.一個直角三角形有兩條邊長為3,4,則較小的銳角約為（）

A.37°B.4fC.37°或41°D.以上答案

均不對

【答案】C

【解析】

【詳解】試題解析：①若3匚4直角邊，

:兩直角邊為3口4口

.?.斜邊長=律萍=5口

3

二較小的銳角所對的直角邊為3,則其正弦值為

②若斜邊長為4,則較小邊="二?■之2.65口

.?.較小邊所對銳角正弦值約=竺=0.6625

4

利用計(jì)算器求得角約為37。或41°

故選CD

2.已知。0的半徑為5,點(diǎn)P到圓心0的距離為6,那么點(diǎn)P與。O的地位關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在。O上B.點(diǎn)P在。O內(nèi)

C.點(diǎn)P在OO外D.無法確定

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：由于OP=6>5,所以點(diǎn)P與回。的地位關(guān)系是點(diǎn)在圓外.

故選C.

考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的地位關(guān)系.

3.若田。八團(tuán)。2的半徑分別為4和6,圓心距。1。2=8,則回。1與d。2的地位關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.外離

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：001，田。2的直徑分別為4和6,圓心距。1。2=2,1301、團(tuán)。2的半徑之和為5,

只差為1,而1<。1。2=2<5,所以兩圓相交

考點(diǎn)：兩圓的地位關(guān)系

點(diǎn)評：考查兩圓的地位關(guān)系，利用兩圓的圓心距和兩圓的半徑之差或者之和，來判斷兩圓的地

位

4.在團(tuán)ABC中,13c=90°,0A=72°,AB=10,則邊AC的長約為（到0.1）（）

A.9.1B.9.5C.3.1D.3.5

【答案】C

【解析】

【詳解】分析：在Rt回ABC中，根據(jù)三角函數(shù)的定義，易得AB、AC及鼬的關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算可得

答案.

解答：解：根據(jù)題意

A

在RtEABC中，有cosA=------，sinA=------：

ABAB

則AC=AB?cosA=10xcos72°=3.1；

故選C.

5.已知拋物線y=-x?+l的頂點(diǎn)為P,點(diǎn)A是象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的

平行線交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B,分別過點(diǎn)B、A作X軸的垂線，垂足分別為C、D,連結(jié)PA、

PD,PD交AB于點(diǎn)E,?PAD與E1PEA類似嗎？（）

/C0D\x

A.一直不類似B.一直類似C.只要AB=AD時類似D.無法確定

【答案】B

【解析】

ppDA

【詳解】試題分析：設(shè)A（X,-x2+l）根據(jù)題意可求出PAPD、PE的值，從而得出——=——,

PAPD

X0APE=0DPA,因此，BPAD0E1PEA.

故選B.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

6.已知團(tuán)。的半徑為r,圓心。到直線I的距離為d.若直線I與回0有交點(diǎn)，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.d=rB.0<d<rC.d>rD.d<r

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：圓與直線有交點(diǎn)，即可能為1個交點(diǎn)或2個交點(diǎn)，當(dāng)d=r=l時，圓與直

線相切，即有一個交點(diǎn)，當(dāng)d=r=l時，有兩個交點(diǎn)

考點(diǎn)：圓與直線的關(guān)系

點(diǎn)評：圓與直線有相交、相切、相離三種關(guān)系，其中相交、相切有交點(diǎn)，即當(dāng)點(diǎn)與直線距離小

于或者等于半徑時，圓與直線有交點(diǎn)

7.如圖是二次函數(shù)丫=2*2+6*+（:的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是【】

B.x>5C.x<-l且x>5D.x<—1或x

>5

【答案】D

【解析】

【詳解】利用二次函數(shù)的對稱性，可得出圖象與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)，圖象可得出

ax2+bx+c<0的解集:

由圖象得：對稱軸是x=2,其中一個點(diǎn)的坐標(biāo)為（5,0）,

回圖象與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）.

由圖象可知：ax2+bx+c<0解集即是yVO的解集，

取<一1或x>5.故選D.

8.已知二次函數(shù)y=（x-h）2+1（h為常數(shù)），在自變量x的值滿足14X43的情況下，與其對應(yīng)

的函數(shù)值y的最小值為5,則h的值為（）

10.如圖，半圓0的半徑OA=4,P是OA延伸線上一點(diǎn)，線段OP的垂直平分線分別交OP、

半圓。于B、C兩點(diǎn)，射線PC交半圓。于點(diǎn)D.設(shè)PA=x,CD=y，則能表示y與x的函數(shù)關(guān)

系的圖象是（）

【答案】A

【解析】

【詳解】試題解析：作OE_LCD,垂足為E,如圖1口

VZP=ZPDZPBC=ZPEO=90°D

.".△PBC^APEOQ

PBPC

~PE~~OP□

而PB=；OP=；」x+41PE=PC+CE=4+yy

x+4

2--4--□

4+Zx+4

2

/.y=x2+2x-4n4y/2-4xlJ4U

故選A.

11.若二次函數(shù)y=Y+6x的圖象的對稱軸是點(diǎn)（2,0）且平行于y軸的直線，則關(guān)于x的方程

/+云=5的解為（

A.%=0X1-4B.%=1X]—5C.Xj—1nx2=-5D.%——1

%2=5

【答案】D

【解析】

【詳解】?.?二次函數(shù)y=x2+bx的圖象的對稱軸是點(diǎn)（2口0）且平行于y軸的直線，

拋物線的對稱軸為直線x=2Q

貝!|----==2：

2a2

解得：b=-4D

.\x2+bx=5即為x2-4x-5=0D

則(x-5)(x+l尸0

解得：xi=5nx2=-i.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把二次函數(shù)y=ax?+bx+cabc是常數(shù)，a/))與

X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)成績轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的一元二次方程的成績.

12.如圖為二次函數(shù)yaxZ^bxEic的圖象，在下列說法中：①ac<0□②方程ax?匚bx二cCjO的根

是xP：：l[Zx2Ei3□③aEJbIZcX)□④當(dāng)x>l時，y隨x的增大而增大.正確的有：0

【答案】②?

【解析】

【詳解】試題解析：根據(jù)圖象可得a>0,c<0,則ac<0,故①正確.

二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)是(-1,0)和(3,0),則方程以2+瓜+c=o的根為％=-1,%=3,故②

正確.

當(dāng)x=l時，y=a+b+c<0,故匚錯誤.

對稱軸是x=l,當(dāng)x>l時，丫隨x的增大而增大.故④正確.

故答案為①②④

13.如圖，在RS/8C中□□/C8=90°ZJCZ>EM8口垂足為Q.若4。=石口8。=2口則sin匚4。

的值為(口

A.此B.—C.@D.-

3523

【答案】A

【解析】

【分析】在直角△/8C中口根據(jù)勾股定理即可求得”二而N8□匚ZCQ匚即可把求sinlZCD轉(zhuǎn)化

為求siD

【詳解】在直角△NBC中□根據(jù)勾股定理可得口/5=，4。2+3。2=向?qū)f=3口

B+BCD90°：ACD+BCD90°；BACDsinACDsinB=—=—

AB3

故選AD

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的運(yùn)用要純熟掌握好邊角之間的關(guān)系難度適

中口

二、填空題（共10題；共30分）

14.已知拋物線y=x2-4x+3,如果點(diǎn)P（0,5）與點(diǎn)Q關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，那么點(diǎn)Q的

坐標(biāo)是.

【答案】（4,5）.

【解析】

【分析】首先確定拋物線的對稱軸，然后根據(jù)對稱點(diǎn)的性質(zhì)解題即可.

【詳解】?；y=x2-4x+3的對稱軸為x=2,

.?.點(diǎn)P（0,5）關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4,5）,

故答案為（4,5）.

15.將函數(shù)yDx2的圖象向右平移2個單位得函數(shù)川的圖象，將y與刈合構(gòu)成新圖象，直線

yd"被新圖象依次截得三段的長相等，則m匚

【答案】m=4或,

4

【解析】

【詳解】試題解析：?.?二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移2個單位，

平移后的解析式為：y=Dx-2C2n

把y=m代入y=x2得m=x2,解得x=±0

把y=m代入產(chǎn)Ux-22得m=x-2D2,解得x=2土〃？口

當(dāng)ODmDI時，則金-□-而匚=2-金-而,解得m=1口

4

當(dāng)m匚1時，則2+詬-赤=詬-02-而），解得m=4

故答案為1或4口

4

16.已知拋物線y=-gx2-3x點(diǎn)（-2,m）,那么m=.

【答案】4

【解析】

【詳解】試題解析：：尸-只,上點(diǎn)(-2Cm口口

.*.m=-^x22-3xD-2O=4

故答案為4

17.已知圓的半徑是6cm，則120。的圓心角所對的弧長是cm.

【答案】471

【解析】

【分析】直接利用扇形的弧長公式計(jì)算即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由題意知，，=6cm,"=120,

nrtr_120^x6

—(cm),

180-18()

故答案為：47t.

【點(diǎn)睛】此題次要考查了扇形的弧長公式，解本題的關(guān)鍵是熟記扇形的弧長公式.

18.一個扇形的面積為671cm2,弧長為mm,則該扇形的半徑為一.

【答案】12cm.

【解析】

【詳解】試題解析：設(shè)半徑是r,

國一個扇形的弧長是ncm,扇形的面積為6Tlem2,

E)6n=；xTixr,

0r=12.

考點(diǎn)：1.扇形面積的計(jì)算；2.弧長的計(jì)算.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y=-2x2的圖象先向右平移1個單位長度，再向上平移5個

單位長度，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是.

【答案】y=2(x-1)2+5.

【解析】

【詳解】試題分析：由“左加右減"的準(zhǔn)繩可知，拋物線y=-2x2的圖象向右平移1個單位所得函

數(shù)圖象的關(guān)系式是：y=-2(x-1)2；

由"上加下減"的準(zhǔn)繩可知，拋物線y=-2(x-1)2的圖象向上平移5個單位長度所得函數(shù)圖象

的關(guān)系式是：y=2(x-1)2+5.

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換.

20.如圖，CA±AB,DB±AB,已知AC=2,AB=6,點(diǎn)P射線BD上一動點(diǎn)，以CP為直徑作

。0,點(diǎn)P運(yùn)動時，若。O與線段AB有公共點(diǎn)，則BP值為.

D

9

【答案】

2

【解析】

【詳解】試題分析：首先判斷當(dāng)AB與回。相切時，PB的值，設(shè)AB與團(tuán)0相切于E,連接0E,則

OE0AB,過點(diǎn)C作CFEIPB于F,由CA?AB,DBBAB,得至ACBOEISPB,四邊形ABPC是矩形，證得

CF=AB=6,在直角三角形PCF中，由勾股定理列方程求解.

試題解析：當(dāng)AB與回。相切時，PB的值，

如圖，設(shè)AB與m0相切于E,連接0E,則OEG1AB,

過點(diǎn)C作CF0PB于F,

0AC0OES1PB,

四邊形ABPC是矩形,

BCF=AB=6,

BCO=OP,

0AE=BE,

設(shè)PB=x,貝ljPC=2OE=2+x,PF=x-2,

0(x+2)2=(x-2)2+62,

9

解得；x=—，

2

9

國BP值為：一.

2

考點(diǎn)：直線與圓的地位關(guān)系.

21.已知函數(shù)y=（k-3'）x1+2x+\的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍為.

【答案】R

【解析】

【分析】分為兩種情況：①當(dāng)上3切時，（h3）f+2x+l=0,求出/=62_4“c=4+16K）的解集即

可；②當(dāng)h3=0時，得到函數(shù)尸2x+l,與x軸有交點(diǎn)；即可得到答案.

【詳解】解：①當(dāng)七39時，（七3）/+%+1=0,

/l=b2-4ac=22-4（A-3）xl=-4^+16>0,

解得：仁4；

②當(dāng)％-3=0時，尸2x+l,與x軸有交點(diǎn)；

故〃的取值范圍是依4,

故答案為：陋4.

【點(diǎn)睛】本題次要考查對拋物線與x軸的交點(diǎn)，根的判別式，函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌

握，能進(jìn)行分類求出每種情況的％是解此題的關(guān)鍵.

22.某服裝店購進(jìn)單價為15元的童裝若干件，一段工夫后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)價為25元時平均每天能售

出8件，而當(dāng)價每降低1元，平均每天能多售出2件,當(dāng)每件的定價為元時，該服裝店

平均每天的利潤.

【答案】22

【解析】

【詳解】試題分析：設(shè)定價為x元時，利潤為w元，由題意建立w與x的二次函數(shù)關(guān)系：w=

25-xh88

（x-15）（二一X4+8）,化簡得：?/=—2/+88尤一870,42<0,回當(dāng)x=——=—=22時，w有值國

22a4

當(dāng)每件的定價為22元時，該服裝店平均每天的利潤.

考點(diǎn)：利用二次函數(shù)處理實(shí)踐成績..

23.E10AB是以正多邊形相鄰的兩個頂點(diǎn)A,B與它的。為頂點(diǎn)的三角形，若回0AB的一個內(nèi)角為

70°,則該正多邊形的邊數(shù)為.

【答案】9

【解析】

360

【詳解】分兩種情況討論：若EIOAB=iaOBA=70。，則回BOA=40。，邊數(shù)為：——=9；

40

若［3BOA=70。，則邊數(shù)為：理不為整數(shù)，故不存在.綜上所述，邊數(shù)為9.

70

三、解答題（共5題；共51分）

24.如圖，00直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AB的延伸線上，H0BCF=0A.

A

（1）求證：直線CF是回。的切線；

（2）若回。的半徑為5,DB=4.求sin!3D的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

【詳解】試題分析：（1）連接。C,由OA=OA可知0ACCM3A,再根據(jù)EIFCBWA可知團(tuán)ACO=（3FCB,

由于AB是團(tuán)0的直徑，所以EIACO+iaOCB=90o故國FCB+IBOCB=90°故可得出結(jié)論；

（2）由AB是團(tuán)。的直徑，CDE1AB可知

試題解析：（1）連接OC,

BOA=OC,

0E)ACO=0A,

又00FCB姬A

E0ACO=fflFCB,

又回AB是130的直徑

00ACO+EOCB=9O°,0FCB+EOCB=9O-

回直線CF為囿。的切線，

(2)I3AB是130直徑

ffl0ACB=9O0

EIDCEAB

回BC=BO

BBC=BD,0A=0D

HsinND=sinNA=----=——=—

AB1（）5

考點(diǎn)：1.切線的判定：2.圓周角定理；3.解直角三角形.

25.如圖，AB是10的直徑，AC是弦，半徑ODAC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D的切線與BA延伸線交

于點(diǎn)F口

⑴求證：CDB=BFD；

⑵若AB=1OE1AC=8,求DF的長.

【答案】（1）證明見解析（2）y

【解析】

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到DF囪OD,由于0D回AC,推出DFI3AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得

到I3CAB=?BFD,再根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；

（2）利用垂徑定理得出AE的長，再利用類似三角形的判定與性質(zhì)得出DF的長.

【詳解】解：（IDYDF與。0相切，D為切點(diǎn)，

ADF1OD,

VOD±AC,

；.DF〃AC,

；.NCAB=/BFD,

VZCAB=ZCDB,

；./CDB=/BFD：

2CT.?半徑OD垂直于弦AC于點(diǎn)E,AC=8,

；.AE=!AC=!X8C]4,

22

TAB是。0的直徑,

，OA=OD=yAB=1x]0=5,

RtAAEO中，0E=7OA2-AE2=A/52-42=3，

VAC//DF,

.,.△OAEcoAOFD,

■OE_AE

^~OD~~DFf

34

:.—―---,

5DF

20

；.DF=—□

3

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、平行線的判定與性質(zhì)、類似三角形的

判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，純熟掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

26.水利部門為加強(qiáng)防汛工作，決定對某水庫大壩進(jìn)行加固，大壩的橫截面是梯形ABCD.如圖

所示，已知迎水坡面AB的長為16米，回B=60。，背水坡面CD的長為166米，加固后大壩的

橫截面積為梯形ABED,CE的長為8米.

(1)已知需加固的大壩長為150米，求需求填土石方多少立方米？

(2)求加固后的大壩背水坡面DE的坡度.

BCE

【答案】解：(1)需求填土石方150x326=4800百立方米.

(2)加固后的大壩背水坡面DE的坡度為3.

4

【解析】

【分析】(1)分別過A、D作下底的垂線，設(shè)垂足為F、G.在RtDABF中，已知坡面長和坡角

的度數(shù)，可求得鉛直高度AF的值，也就得到了DG的長；以CE為底，DG為高即可求出UCED

的面積，再乘以大壩的長度，即為所需的填方體積.

(2)在Rt匚CDG中，由勾股定理求CG的長，即可得到GE的長；Rt匚DEG中，根據(jù)DG、

GE的長即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比.

【詳解】解：(1)如圖，分別過A、D作AF匚BC,DGOBC,垂點(diǎn)分別為F、G.

sinZB=—

AB

□AF=16x—=8N/3-即DG=8廳.

2

又二CE=8,S&DCE=；,CE-DG=；x8x8>/3=32y/3.

又「需加固的大壩長為150,需求填方：150x326=4800百.

答：需求填土石方150x326=48(X)6立方米.

(2)在REDGC中，DC=166DG=86

□GC=VDC2-DG2=24.□GE=GC+CE=32.

DE的坡度i=2^=^=@.

GE324

答：加固后的大壩背水坡面DE的坡度為IL

4

27.如圖，在ABC中，IC=90°,DBAC的平分線交BC于點(diǎn)D,DECJAD,交AB于點(diǎn)E,

AE為匚O的直徑.

(1)判斷BC與匚O的地位關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)求證：ABDil匚DBE；

(3)若。0=氈~,AE=4,求CD.

3

【答案】（1）BC與口0相切；（2）證明見解析；（3）二三.

3

【解析】

【詳解】試題分析：（1）結(jié)論：BC與匚0相切，連接0D只需證明0D匚AC即可.

（2）欲證明匚ABDCmDBE,只需證明OBDEMEIDAB即可.

（3）在RtODB中，由8=器=￥^,設(shè)BD=2應(yīng)k,OB=3k,利用勾股定理列出方程求

出k,再利用DODAC,得處=也列出方程即可處理成績.

CDAO

試題解析：（1）結(jié)論：BC與口0相切.

證明：如圖連接OD.

□OA=OD,□□OAD=DODA,DAD平分EiCAB,□OCAD=：ZDAB,□□CAD=DADO,

□ACDOD,EACOBC,OODDBC,匚BC是口0的切線.

（2）[BC是O切線，□ODB=90°,BDE+DODE=90°,AE是直徑，口[6口￡=90。，

：□DAE+CAED=90°,OOD=OE,□EODE=EOED,□□BDE=EDAB,CnB=OB,

□OABDODDBE.

⑶在RtODB中，：co=—,設(shè)BD=2正k,OB=3k,OD2+BD2=OB2,

OB3

□4+8k2=9k2,Dk=2,nBO=6,BD=4正，CDODAC,□—=—,=-,ECD=

CDAOCD2

4>/2

"V

考點(diǎn)：圓的綜合題；探求型.

28.如圖1,二次函數(shù)丫|=8口2口”口4）的圖象與x軸交于AE1B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左

側(cè)），其對稱軸1與x軸交于點(diǎn)C,它的頂點(diǎn)為點(diǎn)D

：1）寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)□

2）點(diǎn)P在對稱軸1上，位于點(diǎn)C上方，且CP=2CD,以P為頂點(diǎn)的二次函數(shù)

2

y2=ax+bx+cna/0）的圖象過點(diǎn)A口

①試闡明二次函數(shù)y2=ax2+bx+cOa^O）的圖象過點(diǎn)B0

②點(diǎn)R在二次函數(shù)y尸匚以口2口八口4）的圖象上，到x軸的距離為d,當(dāng)點(diǎn)R的坐標(biāo)為

時，二次函數(shù)y2=ax2+bx+cE）a#））的圖象上有且只要三個點(diǎn)到x軸的距離等于2dl

③如圖2,已知0m2,過點(diǎn)作x軸的平行線，分別交二次函數(shù)

y戶口*口2口口*口4匚口丫2=2*2+6*+（:匚a/0）的圖象于點(diǎn)EEIFEIGEJH（點(diǎn)EEIG在對稱軸I左側(cè)），

過點(diǎn)H作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)N,交二次函數(shù)yi=dxC2D[JxlZ4）的圖象于點(diǎn)Q,若

△GHN^AEHQ,求實(shí)數(shù)m的值.

【答案】口1口匚3口口1口口

2口①證明見解析；（2）13口亞口1口口口3+夜口1）或（3口」11口③當(dāng)AGHNs/xEHQ,實(shí)數(shù)

m的值為1口

【解析】

【詳解】試題分析：□□利用配方法將二次函數(shù)3=口光口2口口》口4）變形為頂點(diǎn)式，由此即可得

出結(jié)論；

匚2口①由點(diǎn)尸在對稱軸/上，可得出二次函數(shù)為=?2+區(qū)+。的圖象的對稱軸為直線/,再點(diǎn)

4口3關(guān)于對稱軸/對稱，二次函數(shù)）＞2=。/+樂+?？?。#））的圖象過點(diǎn)/,即可得出二次函數(shù)

=ax2+bx+cDa^O）的圖象過點(diǎn)8口

②由二次函數(shù)為=??+及+C匚存0）的圖象上有且只要三個點(diǎn)到X軸的距離等于2d,即可得

出d=l,再令二次函數(shù)3=口%口2口口》口4）中/=±1求出x值，即可得出結(jié)論；

③設(shè)N”0）,則//口〃□匚2口”口2口〕〃4匚口匚。匚“口匚〃2口口〃口4））,由此即可得出

HN22HNHG2

-=7—7=7.根據(jù)類似三角形性質(zhì)即可得出二=工六=三，再根據(jù)對稱性可得出

HQ2+13HQHE3

KG]

一=一,設(shè)KG=f1f0）,則G