浦東初一數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)班 東南數(shù)理化 因式分解授課講義及習(xí)題

./因式分解授課講義因式分解是初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。初學(xué)上手有一定難度,必須熟練掌握技巧,為初二初三的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。本講義主要介紹如下幾種因式分解方法：〔其中,一到四為教材要求的基礎(chǔ)方法一、提公因式法二、運(yùn)用公式〔平方差公式、平方和公式等法三、分組分解法四、十字相乘法〔交叉相乘法五、換元法六、"添""拆""配"法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m<a+b+c>二、運(yùn)用公式法.在整式的乘、除中,我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式,現(xiàn)將其反向使用,即為因式分解中常用的公式,例如：〔1<a+b><a-b>=a2-b2a2-b2=<a+b><a-b>；<2><a±b>2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=<a±b>2；<3><a+b><a2-ab+b2>=a3+b3a3+b3=<a+b><a2-ab+b2>；<4><a-b><a2+ab+b2>=a3-b3a3-b3=<a-b><a2+ab+b2>．下面再補(bǔ)充兩個(gè)常用的公式：〔碰到難題可查詢<5>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=<a+b+c>2；<6>a3+b3+c3-3abc=<a+b+c><a2+b2+c2-ab-bc-ca>；三、分組分解法.〔一分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從"整體"看,這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒(méi)有公因式可提,也不能運(yùn)用公式分解,但從"局部"看,這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a,后兩項(xiàng)都含有b,因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組,后兩項(xiàng)分為一組先分解,然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式==每組之間還有公因式！=例2、分解因式：解法一：第一、二項(xiàng)為一組；解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第三、四項(xiàng)為一組。第二、三項(xiàng)為一組。解：原式=原式=====練習(xí)：分解因式1、2、〔二分組后能直接運(yùn)用公式例3、分解因式：例4、分解因式：思考：這兩題,將哪些項(xiàng)分在一組？解：原式=解：原式=====練習(xí)：分解因式3、4、練習(xí)：〔1〔2〔3〔4〔5〔6〔7〔8〔9〔10四、十字相乘法.〔一二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式——進(jìn)行分解。特點(diǎn)：〔1二次項(xiàng)系數(shù)是1；〔2常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；〔3一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。例5、分解因式：分析：將6分成兩個(gè)數(shù)相乘,且這兩個(gè)數(shù)的和要等于5。由于6=2×3=<-2>×<-3>=1×6=<-1>×<-6>,從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合,即2+3=5。12解：=13=1×2+1×3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積,且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例6、分解因式：解：原式=1-1=1-6〔-1+〔-6=-7練習(xí)5、分解因式<1><2><3><4>練習(xí)6、分解因式<1><2><3><3>〔二二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式——條件：〔1〔2〔3分解結(jié)果：=例7、分解因式：分析：1-23-5〔-6+〔-5=-11解：=練習(xí)7、分解因式：〔1〔2〔3〔4〔三二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式：分析：將看成常數(shù),把原多項(xiàng)式看成關(guān)于的二次三項(xiàng)式,利用十字相乘法進(jìn)行分解。18b1-16b8b+<-16b>=-8b解：==練習(xí)8、分解因式<1> <2><3>〔四二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例9、例10、1-2y把看作一個(gè)整體1-12-3y1-2<-3y>+<-4y>=-7y<-1>+<-2>=-3解：原式=解：原式=練習(xí)9、分解因式：〔1〔2練習(xí)10、〔1〔2〔3〔4〔5〔6〔7〔8〔9〔10五、換元法。例13、分解因式〔1〔2解：〔1設(shè)2016=,則原式===〔2型如的多項(xiàng)式,分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。原式=設(shè),則∴原式====練習(xí)13、分解因式〔1〔2六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。例14、分解因式〔1解法1——拆項(xiàng)。原式=====解法2——添項(xiàng)。原式=====練習(xí)14、分解因式〔1〔2〔3因式分解知識(shí)總結(jié)歸納因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式,它和整式乘法互為逆運(yùn)算,學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。1.因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；2.因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；3.分解因式,必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止；4.公式中的字母可以表示單項(xiàng)式,也可以表示多項(xiàng)式；5.結(jié)果如有相同因式,應(yīng)寫成冪的形式；6.題目中沒(méi)有指定數(shù)的圍,一般指在有理數(shù)圍分解；7.因式分解的一般步驟是：〔1通常采用一"提"、二"公"、三"分"、四"變"的步驟。即首先看有無(wú)公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施,可用分組分解法,分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；〔2若上述方法都行不通,可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)〔添項(xiàng)等方法；下面我們一起通過(guò)例題來(lái)回顧本章所學(xué)的容。1.通過(guò)基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的例1.分解因式分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式,很顯然要先進(jìn)行分組,此題可把分別看成一組,此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式,提取公因式后,再進(jìn)一步分解；也可把,,分別看成一組,此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式,提取公因式后再進(jìn)行分解。解一：原式解二：原式=2.通過(guò)變形達(dá)到分解的目的例1.分解因式解一：將拆成,則有解二：將常數(shù)拆成,則有3.在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù),它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值。本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù),需要變形成完全平方數(shù)。證明：設(shè),則4.因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例：分解因式：分析：本題若直接用公式法分解,過(guò)程很復(fù)雜,觀察a+b,b+c與a+2b+c的關(guān)系,努力尋找一種代換的方法。解：設(shè)a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B說(shuō)明：在分解因式時(shí),靈活運(yùn)用公式,對(duì)原式進(jìn)行"代換"是很重要的。綜合練習(xí)題〔一一、填空題1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的_______的形式,叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。2分解因式：m3-4m=.3.分解因式：x2-4y2=_______.4、分解因式：=_________________。5.將xn-yn分解因式的結(jié)果為<x2+y2><x+y><x-y>,則n的值為.6、若,則=_________,=__________。二、選擇題7、多項(xiàng)式的公因式是<>A、B、C、D、8、下列各式從左到右的變形中,是因式分解的是<>A、B、C、D、10.下列多項(xiàng)式能分解因式的是〔<A>x2-y<B>x2+1<C>x2+y+y2<D>x2-4x+411．把〔x－y2－〔y－x分解因式為〔A．〔x－y〔x－y－1B．〔y－x〔x－y－1C．〔y－x〔y－x－1D．〔y－x〔y－x＋112．下列各個(gè)分解因式中正確的是〔A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac〔5b2＋3cB．〔a－b2－〔b－a2＝〔a－b2〔a－b＋1C．x〔b＋c－a－y〔a－b－c－a＋b－c＝〔b＋c－a〔x＋y－1D．〔a－2b〔3a＋b－5〔2b－a2＝〔a－2b〔11b－2a13.若k-12xy+9x2是一個(gè)完全平方式,那么k應(yīng)為〔A.2B.4C.2y2D.4y2三、把下列各式分解因式：14、15、16、17、18、19、五、解答題20、如圖,在一塊邊長(zhǎng)=6.67cm的正方形紙片中,挖去一個(gè)邊長(zhǎng)=3.33cm的正方形。求紙片剩余部分的面積。dD21、如圖,某環(huán)保工程需要一種空心混凝土管道,它的規(guī)格是徑,外徑長(zhǎng)。利用分解因式計(jì)算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土？<取3.14,結(jié)果保留2位有效數(shù)字>dD22、觀察下列等式的規(guī)律,并根據(jù)這種規(guī)律寫出第<5>個(gè)等式。綜合練習(xí)題〔二一、求證求值題1、在中,三邊a,b,c滿足求證：2、若x為任意整數(shù),求證：的值不大于100。3、將二、填空：1、若是完全平方式,則的值等于_____。2、則=____=____3、與的公因式是＿4、若=,則m=_______,n=_________。5、6、7、若是完全平方式,則m=_______。8、9、已知?jiǎng)t10、若是完全平方式M=________。11、若是完全平方式,則k=_______。14、若則___。12、若的值為0,則的值是________。13、若則=_____。15、方程,的解是________。三、選擇題：1、多項(xiàng)式的公因式是〔A、－a、B、C、D、2、若,則m,k的值分別是〔A、m=—2,k=6,B、m=2,k=12,C、m=—4,k=—12、Dm=4,k=12、3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有〔A、1個(gè),B、2個(gè),C、3個(gè),D、4個(gè)4、計(jì)算的值是〔A、B、四、分解因式：1、2、3、4、5、6、7、8、五、代數(shù)式求值已知,,求的值。若x、y互為相反數(shù),且,求x、y的值已知,求的值六、計(jì)算：〔10.75〔2〔3七、證明題1、對(duì)于任意自然數(shù)n,都能被動(dòng)24整除。2、兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù),所得的數(shù)就是夾在這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。八、利用分解因式計(jì)算1、一種光盤的外D=11.9厘米,徑的d=3.7厘米,求光盤的面積?！步Y(jié)果保留兩位有效數(shù)字2、正方形1的周長(zhǎng)比正方形2的周長(zhǎng)長(zhǎng)96厘米,其面積相差960平方厘米求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。3、老師給了一個(gè)多項(xiàng)式,甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)分別對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行了描述：甲：這是一個(gè)三次四項(xiàng)式乙：三次項(xiàng)系數(shù)為1,常數(shù)項(xiàng)為1。丙：這個(gè)多項(xiàng)式前三項(xiàng)有公因式?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法若這四個(gè)同學(xué)描述都正確請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足這個(gè)描述的多項(xiàng)式,并將它分解因式。綜合練習(xí)〔三選擇題1、代數(shù)式a3b2－a2b3,a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4的公因式是〔A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b32、用提公因式法分解因式5a<x－y>－10b·<x－y>,提出的公因式應(yīng)當(dāng)為〔A、5a－10bB、5a＋10bC、5<x－y>D、y－x3、把－8m3＋12m2＋4m分解因式,結(jié)果是〔A、－4m<2m2－3m>B、－4m<2m2＋3m－1>C、－4m<2m2－3m－1>D、－2m<4m2－6m＋2>4、把多項(xiàng)式－2x4－4x2分解因式,其結(jié)果是〔A、2<－x4－2x2>B、－2<x4＋2x2>C、－x2<2x2＋4>D、－2x2<x2＋2>5、〔－21998＋〔－21999等于〔A、－21998B、21998C、－21999D、219996、把16－x4分解因式,其結(jié)果是〔A、<2－x>4B、<4＋x2><4－x2>C、<4＋x2><2＋x><2－x>D、<2＋x>3<2－x>7、把a(bǔ)4－2a2b2＋b4分解因式,結(jié)果是〔A、a2<a2－2b2>＋b4B、<a2－b2>2C、<a－b>4D、<a＋b>2<a－b>28、把多項(xiàng)式2x2－2x＋分解因式,其結(jié)果是〔A、<2x－>2B、2<x－>2C、<x－>2D、<x－1>29、若9a2＋6<k－3>a＋1是完全平方式,則k的值是〔A、±4B、±2C、3D、4或210、－〔2x－y<2x＋y>是下列哪個(gè)多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果〔A、4x2－y2B、4x2＋y2C、－4x2－y2D、－4x2＋y211、多項(xiàng)式x2＋3x－54分解因式為〔A、<x＋6><x－9>B、<x－6><x＋9>C、<x＋6><x＋9>D、<x－6><x－9>二、填空題1、2x2－4xy－2x=_______<x－2y－1>2、4a3b2－10a2b3=2a2b2<________>3、<1－a>mn＋a－1=<________><mn－1>4、m<m－n>2－<n－m>2=<__________><__________>5、x2－<_______>＋16y2=<>26、x2－<_______>2=<x＋5y><x－5y>7、a2－4<a－b>2=<__________>·<__________>8、a<x＋y－z>＋b<x＋y－z>－c<x＋y－z>=<x＋y－z>·<________>9、16<x－y>2－9<x＋y>2=<_________>·<___________>10、<a＋b>3－<a＋b>=<a＋b>·<___________>·<__________>11、x2＋3x＋2=<___________><__________>12、已知x2＋px＋12=<x－2><x－6>,則p=_______.三、解答題1、把下列各式因式分解。<1>x2－2x3<2>3y3－6y2＋3y<3>a2<x－2a>2－a<x－2a>2<4><x－2>2－x＋2<5>25m2－10mn＋n2<6>12a2b<x－y>－4ab<y－x><7><x－1>2<3x－2>＋<2－3x><8>a2＋5a＋6<9>x2－11x＋24<10>y2－12y－28<11>x2＋4x－5<12>y4－3y3－28y22、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算?！?9992＋999〔22022－542＋256×352<3>3、已知：x＋y=,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3的值。四、探究題若a－b=2,a－c=,求<b－c>2＋3<b－c>＋的值。求證：1111－1110－119=119×109綜合練習(xí)題〔四一、填空題：2．<a－3><3－2a>=_______<3－a><3－2a>；12．若m2－3m＋2=<m＋a><m＋b>,則a=______,b=______；15．當(dāng)m=______時(shí),x2＋2<m－3>x＋25是完全平方式．二、填空選擇題：1．下列各式的因式分解結(jié)果中,正確的是[]A．a(chǎn)2b＋7ab－b＝b<a2＋7a>B．3x2y－3xy－6y=3y<x－2><x＋1>C．8xyz－6x2y2＝2xyz<4－3xy>D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a<a＋2b－3c>2．多項(xiàng)式m<n－2>－m2<2－n>分解因式等于[]A．<n－2><m＋m2>B．<n－2><m－m2>C．m<n－2><m＋1>D．m<n－2><m－1>3．在下列等式中,屬于因式分解的是[]A．a(chǎn)<x－y>＋b<m＋n>＝ax＋bm－ay＋bnB．a(chǎn)2－2ab＋b2＋1=<a－b>2＋1C．－4a2＋9b2＝<－2a＋3b><2a＋3b>D．x2－7x－8=x<x－7>－84．下列各式中,能用平方差公式分解因式的是[]A．a(chǎn)2＋b2B．－a2＋b2C．－a2－b2D．－<－a2>＋b25．若9x2＋mxy＋16y2是一個(gè)完全平方式,那么m的值是[]A．－12B．±24C．12D．±126．把多項(xiàng)式an+4－an+1分解得[]A．a(chǎn)n<a4－a>B．a(chǎn)n-1<a3－1>C．a(chǎn)n+1<a－1><a2－a＋1>D．a(chǎn)n+1<a－1><a2＋a＋1>7．若a2＋a＝－1,則a4＋2a3－3a2－4a＋3的值為[]A．8B．7C．10D．128．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0,那么x,y的值分別為[]A．x=1,y=3B．x=1,y=－3C．x=－1,y=3D．x=1,y=－39．把<m2＋3m>4－8<m2＋3m>2＋16分解因式得[]A．<m＋1>4<m＋2>2B．<m－1>2<m－2>2<m2＋3m－2>C．<m＋4>2<m－1>2D．<m＋1>2<m＋2>2<m2＋3m－2>210．把x2－7x－60分解因式,得[]A．<x－10><x＋6>B．<x＋5><x－12>C．<x＋3><x－20>D．<x－5><x＋12>11．把3x2－2xy－8y2分解因式,得[]A．<3x＋4><x－2>B．<3x－4><x＋2>C．<3x＋4y><x－2y>D．<3x－4y><x＋2y>12．把a(bǔ)2＋8ab－33b2分解因式,得[]A．<a＋11><a－3>B．<a－11b><a－3b>C．<a＋11b><a－3b>D．<a－11b><a＋3b>13．把x4－3x2＋2分解因式,得[]A．<x2－2><x2－1>B．<x2－2><x＋1><x－1>C．<x2＋2><x2＋1>D．<x2＋2><x＋1><x－1>14．多項(xiàng)式x2－ax－bx＋ab可分解因式為[]A．－<x＋a><x＋b>B．<x－a><x＋b>C．<x－a><x－b>D．<x＋a><x＋b>15．一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式,其x2項(xiàng)的系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)是－12,且能分解因式,這樣的二次三項(xiàng)式是[]A．x2－11x－12或x2＋11x－12B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12D．以上都可以16．下列各式x3－x2－x＋1,x2＋y－xy－x,x2－2x－y2＋1,<x2＋3x>2－<2x＋1>2中,不含有<x－1>因式的有[]A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式為[]A．<x－6y＋3><x－6x－3>B．－<x－6y＋3><x－6y－3>C．－<x－6y＋3><x＋6y－3>D．－<x－6y＋3><x－6y＋3>18．下列因式分解錯(cuò)誤的是[]A．a(chǎn)2－bc＋ac－ab=<a－b><a＋c>B．a(chǎn)b－5a＋3b－15=<b－5><a＋3>C．x2＋3xy－2x－6y=<x＋3y><x－2>D．x2－6xy－1＋9y2=<x＋3y＋1><x＋3y－1>19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式,且a,b都不為零,則a與b的關(guān)系為[]A．互為倒數(shù)或互為負(fù)倒數(shù)B．互為相反數(shù)C．相等的數(shù)D．任意有理數(shù)20．對(duì)x4＋4進(jìn)行因式分解,所得的正確結(jié)論是[]A．不能分解因式B．有因式x2＋2x＋2C．<xy＋2><xy－8>D．<xy－2><xy－8>21．把a(bǔ)4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式為[]A．<a2＋b2＋ab>2B．<a2＋b2＋ab><a2＋b2－ab>C．<a2－b2＋ab><a2－b2－ab>D．<a2＋b2－ab>222．－<3x－1><x＋2y>是下列哪個(gè)多項(xiàng)式的分解結(jié)果[]A．3x2＋6xy－x－2yB．3x2－6xy＋x－2yC．x＋2y＋3x2＋6xyD．x＋2y－3x2－6xy23．64a8－b2因式分解為[]A．<64a4－b><a4＋b>B．<16a2－b><4a2＋b>C．<8a4－b><8a4＋b>D．<8a2－b><8a4＋b>24．9<x－y>2＋12<x2－y2>＋4<x＋y>2因式分解為[]A．<5x－y>2B．<5x＋y>2C．<3x－2y><3x＋2y>D．<5x－2y>225．<2y－3x>2－2<3x－2y>＋1因式分解為[]A．<3x－2y－1>2B．<3x＋2y＋1>2C．<3x－2y＋1>2D．<2y－3x－1>226．把<a＋b>2－4<a2－b2>＋4<a－b>2分解因式為[]A．<3a－b>2B．<3b＋a>2C．<3b－a>2D．<3a＋b>227．把a(bǔ)2<b＋c>2－2ab<a－c><b＋c>＋b2<a－c>2分解因式為[]A．c<a＋b>2B．c<a－b>2C．c2<a＋b>2D．c2<a－b>28．若4xy－4x2－y2－k有一個(gè)因式為<1－2x＋y>,則k的值為[]A．0B．1C．－1D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y,正確的是[]A．－<a2＋b2><3x＋4y>B．<a－b><a＋b><3x＋4y>C．<a2＋b2><3x－4y>D．<a－b><a＋b><3x－4y>30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2