廣東省珠海市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第二階段考試數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

廣東省珠海市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第二階段考試數(shù)學(xué)模擬試題考生注意：1.各題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．4 D．2或3．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．4．某服裝店開張第一周進(jìn)店消費(fèi)的人數(shù)每天都在變化，設(shè)第天進(jìn)店消費(fèi)的人數(shù)為y，且y與（表示不大于的最大整數(shù)）成正比，第1天有10人進(jìn)店消費(fèi)，則第4天進(jìn)店消費(fèi)的人數(shù)為（

）A．74 B．76 C．78 D．805．若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意的，有，則（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)在上是單調(diào)的函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）.A． B．C． D．7．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)a的值共有（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．17個(gè)8．定義在上的函數(shù)滿足：對于定義域上的任意，，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④能被稱為“理想函數(shù)”的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有若干個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9．下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．若，則C．若，則 D．若，，，則10．（多選題）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．已知，則11．給出以下四個(gè)判斷，其中正確的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镃．函數(shù)定義域，值域，則滿足條件的有個(gè)D．若函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值為12．對于實(shí)數(shù)x，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A． B．C．函數(shù)的最大值為1 D．方程有無數(shù)個(gè)根第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上）13．已知函數(shù)，則．14．已知函數(shù)f（x）＝x+1，g（x）＝2|x+2|+a若對任意x1∈[3，4]，存在x2∈[﹣3，1]，使f（x1）≥g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.15．若函數(shù)（且）的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．設(shè)函數(shù)關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，，，，則的最小值為.四、解答題：（本大題共6小題，17題10分，其余每小題12分，共70分，解答題應(yīng)寫出適當(dāng)?shù)奈淖终f明或證明步驟）17．計(jì)算：(1)；(2)．18．已知冪函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）求函數(shù)的值域．19．已知函數(shù)，（且）（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性，并予以證明；（3）求使的x取值范圍.20．已知函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)．（1）求的值，并判斷的單調(diào)性(不必給出證明)；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．為了加強(qiáng)“平安校園”建設(shè)，保障師生安全，某校決定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務(wù)室.由于此警務(wù)室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)14400元.設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為米.(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？并求出最低報(bào)價(jià)；(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與此警務(wù)室的建造競標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功，試求的取值范圍.22．對于定義域?yàn)镈的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時(shí)滿足：①在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，的值域也是[m，；則稱[m，n]是該函數(shù)的“美好區(qū)間”.(1)判斷函數(shù)是否存在“美好區(qū)間”，若存在，則求出m，n的值，若不存在，請說明理由；(2)已知函數(shù)有“美好區(qū)間”[m，n]，當(dāng)a變化時(shí)，求出的最大值.1．A【分析】求兩個(gè)集合中函數(shù)的值域，得到這兩個(gè)集合，再進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，，所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，則，得.故選：A2．A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和定義即可求解.【詳解】由于是冪函數(shù)，所以，解得或，由于在上是減函數(shù)，所以，故，因此，故選：A3．B【詳解】根據(jù)已知可得函數(shù)的定義域需滿足：,解得，即函數(shù)定義域?yàn)?，故選B.考點(diǎn)：求函數(shù)定義域4．C【分析】利用題中的條件，第1天有10人進(jìn)店消費(fèi)，即可得出比例系數(shù)，進(jìn)而可以解出．【詳解】由題意可設(shè)比例系數(shù)為，所以，，，當(dāng)時(shí)，，故選：C．5．C由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，可得關(guān)于對稱，即，可得，再由在上單調(diào)遞減，即可得解.【詳解】由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，可得關(guān)于對稱，即可得，又，有可得：在上單調(diào)遞減，所以，可得，故選：C.6．B【分析】根據(jù)在上的單調(diào)性，可以列出相應(yīng)的不等式方程組，計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)的，當(dāng)時(shí)，，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，則，解得，當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞減，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B7．A【分析】先判斷出函數(shù)在R有兩個(gè)零點(diǎn)為和，由a的范圍求出符合題意的整數(shù)a.【詳解】因?yàn)榉匠淘赗上有且僅有一解，所以要使函數(shù)在R有兩個(gè)零點(diǎn),只需在R上有且僅有一個(gè)解,同時(shí)該解不能為.因?yàn)樵赗上值域?yàn)?0,+∞），因此要滿足即有解,只需a>0.又因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增,因此當(dāng)a>0時(shí),在R上有且僅有一個(gè)解.因?yàn)榍襛>0,所以整數(shù)a可以為1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中當(dāng)a=3或a=9時(shí),.因此滿足條件的a為1,2,4,5,6,7,8共7個(gè).故選：A8．C【分析】首先求得“理想函數(shù)”的等價(jià)條件，然后對題目所給四個(gè)函數(shù)逐一分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，定義在上的函數(shù)滿足：對于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒有，不妨設(shè)，可得，即，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.也即為“理想函數(shù)”的等價(jià)條件是函數(shù)在上單調(diào)遞增.①，在上單調(diào)遞減，不符合；②，在上單調(diào)遞增，符合；③，在上單調(diào)遞減，不符合；④，在上單調(diào)遞增，符合；綜上所述，②④符合題意.故選：C9．BD【分析】對每個(gè)選項(xiàng)注意檢驗(yàn)，要么證明其成立，要么舉出反例判定其錯誤.【詳解】當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)，所以A不正確；若，則，考慮函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即，所以B正確；若，則，，所以C不正確；若，，，根據(jù)基本不等式有所以D正確.故選：BD此題考查命題真假性的判斷，內(nèi)容豐富，考查的知識面很廣，解題中尤其注意必須對每個(gè)選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)，要么證明其成立，要么舉出反例，方可確定選項(xiàng).10．BC根據(jù)根式運(yùn)算和指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解判斷.【詳解】A.，故錯誤；B.，故正確；C.，故正確；D.因?yàn)?，所以，則，故錯誤；故選：BC11．ABC【分析】利用分離常數(shù)法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用抽象函數(shù)定義域的求解原則可判斷B選項(xiàng)；求出滿足條件的集合，結(jié)合函數(shù)的概念可判斷C選項(xiàng)；利用配湊法求出函數(shù)的解析式，結(jié)合求出的值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，，則，則，所以，函數(shù)的值域?yàn)?，A對；對于B選項(xiàng)，對于函數(shù)，，則，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢τ诤瘮?shù)，則，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，B對；對于C選項(xiàng)，由，可得，所以，函數(shù)的定義域可以是：或或，故滿足條件的有個(gè)，C對；對于D選項(xiàng)，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，，其中或，由可得，合乎題意，D錯.故選：ABC.12．BD【分析】由函數(shù)的定義進(jìn)行判斷A，由題意畫出函數(shù)的圖像，可對B，C，D進(jìn)行判斷【詳解】解：因?yàn)椋裕?，所以A錯誤；作出的圖像，如圖所示，由圖像可知沒有最大值，且為周期為1的函數(shù)，所以B正確，C錯誤，方程有無數(shù)個(gè)根，所以D正確，故選：BD

13．【分析】利用函數(shù)的解析式由內(nèi)到外逐層計(jì)算可得的值.【詳解】由已知，所以故答案為.14．（﹣∞，3]【分析】由題意可得，由一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得最值，解不等式可得所求范圍．【詳解】若對任意，，存在，，使，可得，由在，遞增，可得的最小值為（1），在，上遞減，在，遞增，可得的最小值為，所以，解得．即的取值范圍是，．故，．15．【詳解】試題分析：由于函數(shù)的值域是，故當(dāng)時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，由，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的值域.【方法點(diǎn)晴】本題以分段為背景主要考查了對數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)的值域問題，解答時(shí)要牢記對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的特殊點(diǎn)的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了分類討論的思想方法的應(yīng)用，本題的解答中，當(dāng)時(shí)，由，得，即，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.16．【分析】作出函數(shù)的大致圖象，當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的對稱性可求得的值，由與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)可得，計(jì)算求得的值即可得的范圍，根據(jù)可得與的關(guān)系，再根據(jù)基本不等式計(jì)算的最小值即可求解.【詳解】作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，對稱軸為，所以，若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，，，，則，由，得或，則，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的最小值為.故答案為.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)根式以及指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可化簡求解，（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）原式．（2）原式.18．（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，即可解得或5，根據(jù)為奇函數(shù)，即可確定m的值.（2）由（1）可得，，令，，利用換元法，即可求得的值域，即可得答案.【詳解】（1）∵函數(shù)為冪函數(shù)，，解得或5，當(dāng)時(shí)，，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，；（2）由（1）可知，，則，，令，則，，則，，函數(shù)為開口向下，對稱軸為的拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)，函數(shù)取得最大值為1，的值域?yàn)?，故函?shù)的值域?yàn)椋忸}的關(guān)鍵是熟練掌握冪函數(shù)的定義，換元法求值域等知識，易錯點(diǎn)為換元后，需寫出t的范圍，再根據(jù)t的范圍，進(jìn)行求值計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.19．（1）；（2）函數(shù)是奇函數(shù)，證明見解析；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)列式可解得結(jié)果；（2）函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義證明即可；（3）不等式化為后，分類討論底數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】（1）要使函數(shù)數(shù)有意義，則必有，解得，所以函數(shù)的定義域是.

（2）函數(shù)是奇函數(shù)，證明如下：∵，，，∴函數(shù)是奇函數(shù)

（3）使，即當(dāng)時(shí)，有，解得，當(dāng)時(shí)，有，解得.綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)解析式，求函數(shù)定義域的方法：1、有分式時(shí)：分母不為0；2、有根號時(shí)：開奇次方，根號下為任意實(shí)數(shù)，開偶次方，根號下大于或等于0；3、有指數(shù)時(shí)：當(dāng)指數(shù)為0時(shí)，底數(shù)一定不能為0；4、有根號與分式結(jié)合時(shí)，根號開偶次方在分母上時(shí)：根號下大于0；5、有指數(shù)函數(shù)形式時(shí)：底數(shù)和指數(shù)都含有，指數(shù)底數(shù)大于0且不等于1；6、有對數(shù)函數(shù)形式時(shí)，自變量只出現(xiàn)在真數(shù)上時(shí)，只需滿足真數(shù)上所有式子大于0，自變量同時(shí)出現(xiàn)在底數(shù)和真數(shù)上時(shí)，要同時(shí)滿足真數(shù)大于0，底數(shù)要大0且不等于1.20．(1)在R上是減函數(shù)；(2)【分析】(1)根據(jù)求出b的值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a的值，得出的解析式，并判斷單調(diào)性即可.(2)問題等價(jià)于，得到，轉(zhuǎn)化為對恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可.【詳解】(1)因?yàn)槭嵌x域在R上的奇函數(shù)，有，所以，所以所以，所以所以，在R上為減函數(shù)；(2)不等式等價(jià)于，又在R上為減函數(shù)，所以即對恒成立，所以，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為21．(1)4米，28800元(2)【分析】(1)建立函數(shù)模型，利用基本不等式求最小值;(2)根據(jù)不等式的恒成立問題求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)甲工程隊(duì)的總造價(jià)為元，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.即當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為4米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低為28800元.（2）由題意可得，對任意的恒成立.即，從而恒成立，令，又在為單調(diào)增函數(shù)，故.所以.22．(1)存在，(2)【分析】（1）按函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分類討論在區(qū)間[m，n]上的值域，根據(jù)題目要求列方程解之即可；（2）由數(shù)有“美好區(qū)間”[m，n]，可推導(dǎo)出參數(shù)a需滿足的條件，進(jìn)而求出以參數(shù)a表示的的代數(shù)式的最