河北省衡水市2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

河北省衡水市2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息；2.請將答案正確填寫在答題卡上.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．下列表示圖中的陰影部分的是（

）A． B．C． D．2．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的大致圖象是（

）A．B．C．D．5．將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數(shù)解析式是（）.A． B．C． D．6．已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，是邊所在直線上一點(diǎn)，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．7．已知正方形ABCD的邊長為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過程中，點(diǎn)始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡的長度為（

）A． B． C． D．8．已知三角形中，，角的平分線交于點(diǎn)，若，則三角形面積的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列命題中正確的是（

）A．若，則B．命題：“”的否定是“”C．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)镈．若函數(shù)則10．已知是函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的定義域?yàn)镃．在區(qū)間單調(diào)遞增D．的圖象的對稱中心為點(diǎn)11．已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，，，則下列說法正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．是奇函數(shù)B．C．的值域是D．方程在區(qū)間內(nèi)恰有1518個(gè)實(shí)數(shù)解第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知等差數(shù)列滿足，則.14．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則.15．在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為．16．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，，則的最大值為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知數(shù)列為等比數(shù)列，在數(shù)列中，，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知，，且.(1)求角的大小；(2)已知函數(shù)，若在區(qū)間上有極大值，無極小值，求的取值范圍.19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求；(2)求.21．如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個(gè)半圓形，其中O為圓心，直徑AB的長為，C，D兩點(diǎn)在半圓弧上，且，設(shè)．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形ABCD的面積；(2)若要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條由線段AB，BC，CD和DA組成的觀光道路，則當(dāng)為何值時(shí)，觀光道路的總長l最長，并求出l的最大值．22．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).(1)求在上的極值；(2)設(shè)，求證.1．A【分析】根據(jù)交集、并集和補(bǔ)集的定義判斷即可.【詳解】

①②③④⑥⑦，②③④⑤⑥⑦，所以②③④⑥⑦，故A正確；①②③④⑤⑥，所以①②③④⑥，故B錯(cuò)；①②③④⑤⑥⑦，故C錯(cuò)；③④⑥，故D錯(cuò).故選：A.2．A【分析】先化簡復(fù)數(shù)，然后求其共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第一象限，故選：A.3．D【分析】根據(jù)向量垂直，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【詳解】，，故選：D4．D【分析】方法一：根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)值的符號排除即可判斷；方法二：根據(jù)函數(shù)的奇偶性及某個(gè)函數(shù)值的符號排除即可判斷.【詳解】方法一：因?yàn)?，即，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除；當(dāng)時(shí)，，即，因此，故排除A.故選:D.方法二：由方法一，知函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除；又，所以排除A.故選：D.5．A【分析】結(jié)合對函數(shù)圖象的影響可得.【詳解】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)即的圖象，再把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，就得到函數(shù)的圖象，然后再把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的4倍，就得到函數(shù)的圖象.故選：A.6．A【分析】由三點(diǎn)共線，可得，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出結(jié)果.【詳解】由題意可知三點(diǎn)共線，所以，因?yàn)椋允且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故選：A7．C【分析】根據(jù)題設(shè)分析時(shí)的形狀，進(jìn)而確定D的運(yùn)動軌跡，即可求軌跡長度.【詳解】設(shè)方形對角線AC與BD交于O，由題意，翻折后時(shí)，為邊長為的等邊三角形，此時(shí)，若繼續(xù)翻折，如下圖示，

所以點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓心角為的圓弧，所以點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡的長度為.故選：C8．C【分析】先根據(jù)正弦定理可得，再建立平面直角坐標(biāo)系求解的軌跡方程，進(jìn)而可得面積的最大值.【詳解】在中，在中，故，，因?yàn)?，故，又角的平分線交于點(diǎn)，則，故.故.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則因?yàn)?，，故，，設(shè)，則，即，故，化簡可得，即，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除去）.故當(dāng)縱坐標(biāo)最大，即時(shí)面積取最大值為.

故選：C9．ACD【分析】利用二次函數(shù)求最值判斷A，利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題來判斷B，根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可判斷C，根據(jù)換元法求解析式可判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A，由，得，，則，，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，“”的否定是“”，故選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t中的范圍為，即，所以，由抽象函數(shù)的定義域可得，中的范圍為，故函數(shù)的定義域?yàn)?；所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，令，則，，由得，，所以，，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10．AD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)的周期性判斷即可；BD選項(xiàng)利用整體代入的方法求定義域和對稱中心即可；C選項(xiàng)，利用代入檢驗(yàn)法判斷單調(diào)性.【詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)的圖象與直線的交點(diǎn)，所以的最小值為函數(shù)的最小正周期，，所以，故A正確；令，解得，所以的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)；因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以函數(shù)在上不單調(diào)，故C錯(cuò)；令，解得，所以的對稱中心為點(diǎn)，，故D正確.故選：AD.11．AD【分析】根據(jù)遞推公式可判定A，利用特殊項(xiàng)結(jié)合等比數(shù)列的定義可判定B，利用迭代法及等比數(shù)列的定義結(jié)合的關(guān)系可判定C、D.【詳解】由題意可知，所以，故A正確；因?yàn)?，所以不能是等比?shù)列，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋ǎ矗ǎ?，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即，故D正確．故選：AD.12．ACD【分析】由判斷奇函數(shù)，即判斷A選項(xiàng)；求周期再結(jié)合奇偶性計(jì)算的值，即判斷B選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)判斷上的單調(diào)性，再求最值，最后利用奇偶性，對稱性即判斷C選項(xiàng)；將的解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，畫出圖象先求出上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用周期計(jì)算上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即判斷D選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以是奇函?shù)，A正確；由，得，所以以4為周期，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以．因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈闹芷跒?，所以當(dāng)時(shí)，，故C正確；方程的解的個(gè)數(shù)，即的圖象與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．因?yàn)榈闹芷跒?，且當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)，故D正確．故選：ACD.13．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，代入條件式，可求得，再根據(jù)，可得解.【詳解】在等差數(shù)列中，，又，，解得，又，而，解得.故答案為.14．【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)列式，消去得的解析式.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，所以，即，又為奇函數(shù)，所以，即，所以，解得.故15．【分析】根據(jù)條件及余弦定理，可求得，由勾股定理可得，則三棱錐的外接球球心為中點(diǎn)，即外接圓的直徑為，進(jìn)而求出外接球的半徑，從而可求外接球的表面積.【詳解】由，，，根據(jù)余弦定理可得，則，，中E為斜邊AB中點(diǎn)，所以到各點(diǎn)的距離相等，則三棱錐外接球的直徑為，故三棱錐外接球的表面積為．

故16．##【分析】寫出的表達(dá)式，利用余弦定理和基本不等式即可求出最大值.【詳解】由題意，

,所以消去得，由,得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，∴，∴原式故答案為.17．(1)(2)【分析】（1）先求出等比數(shù)列的公比，然后利用等差數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合等差數(shù)列求和公式及等比數(shù)列求和公式，利用分組求和法求解即可.【詳解】（1）由已知，所以等比數(shù)列的公比為，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）得：.18．(1)(2)【分析】（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，結(jié)合角的范圍及求解即可；（2）先根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)得，再運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，又，所以，故或，解得或，又，所?（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上有極大（最大）值，無極?。ㄗ钚。┲?，所以，解得，所以的取值范圍為.19．(1)(2)答案見解析【分析】(1)代入，求出即可求得切線方程；(2)函數(shù)求導(dǎo)，對分類討論，進(jìn)而求得單調(diào)性.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，曲線在處的切線方程為.（2），①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，則(舍)或，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.③當(dāng)時(shí)，令，則或(舍)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增20．(1)(2)【分析】（1）由與的關(guān)系化簡得為等差數(shù)列后求解，（2）由裂項(xiàng)相消法求解．【詳解】（1），可得，可得，即數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，可得，由，可得；（2），即有.21．(1)(2)，【分析】（1）把四邊形分解為三個(gè)等腰三角形：，利用三角形的面積公式即得解；（2）利用表示（1）中三個(gè)等腰三角形的頂角，利用正弦定理分別表示，和，令，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，即得解.【詳解】（1）連結(jié)，則四邊形的面積為

（2）由題意，在中，，由正弦定理同理在中，，由正弦定理令時(shí)，即，的最大值為522．(1)極小值為，極大值為(2)證明見詳解【分析】（1）先找到周期，后去求導(dǎo)，注意導(dǎo)數(shù)的變號零點(diǎn)才是極值點(diǎn)，分別討論求極值即可；（2）利用第一問結(jié)論，進(jìn)行合理恒等變形，放縮法求解即可.【詳解】（1）是的周期，