2024屆云南省3+3+3高考備考診斷性聯(lián)考卷（一）數(shù)學(xué)（含答案）

云南省2024屆“3+3+3”高考備考診斷性聯(lián)考卷（一）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B.或C. D.或2.設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且，則（）A.i B. C.2 D.3.已知函數(shù)，設(shè)甲：函數(shù)是偶函數(shù)，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，書中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓雉，若直角圓雉底面圓的半徑為1，則其內(nèi)接正方體的棱長為（）A. B. C. D.5.若，則（）A.3 B.2 C. D.6.袋子中裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取兩個(gè)球，已知第二次摸到的是紅球，則第一次摸到紅球的概率為（）A. B. C. D.7.已知曲線的方程為：，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，過點(diǎn)的直線交曲線于C，D兩點(diǎn)，且B，C，D三點(diǎn)不共線，則的周長為（）A. B. C. D.8.若過點(diǎn)可以作三條直線與曲線：相切，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.對(duì)于下列概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，8，9，11的第75百分位數(shù)是7B.若事件M，N的概率滿足，且M，N相互獨(dú)立，則C.由兩個(gè)分類變量，的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷，獨(dú)立D.若一組樣本數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為10.已知平面向量，滿足，，，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.，恒成立11.已知圓：，過直線：上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則（）A.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 B.面積的最小值為C.直線過定點(diǎn) D.12.如圖，在菱形中，，，將沿折起，使到，點(diǎn)不在底面內(nèi)，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中，以下說法正確的是（）A.B.四面體的表面積的最大值為C.不存在點(diǎn)，使得D.當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，四面體的內(nèi)切球的半徑為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.的展開式中第五項(xiàng)為______.（系數(shù)用數(shù)字作答）14.已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與直線相切，則圓心的軌跡方程為______.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，則______.16.如圖，已知?jiǎng)訄A和定圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的半徑分別為1和2，動(dòng)圓的圓心的初始坐標(biāo)為，動(dòng)圓上的點(diǎn)的初始坐標(biāo)為，動(dòng)圓逆時(shí)針沿定圓滾動(dòng)，則在滾動(dòng)過程中，點(diǎn)離開其初始位置距離的最大值為______.四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知，，成等差數(shù)列，且，.（1）求角；（2）求角的內(nèi)角平分線的長.18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并且求其通項(xiàng)公式；（2）證明：.19.（本小題滿分12分）某校高一年級(jí)舉行數(shù)學(xué)史知識(shí)競(jìng)賽，每個(gè)同學(xué)從10道題中一次性抽出4道作答.小張有7道題能答對(duì)，3道不能答對(duì)；小王每道答對(duì)的概率均為，且每道題答對(duì)與否互不影響.（1）分別求小張，小王答對(duì)題目數(shù)的分布列；（2）若預(yù)測(cè)小張答對(duì)題目數(shù)多于小王答對(duì)題目數(shù)，求的取值范圍.20.（本小題滿分12分）如圖甲，在矩形中，，，，為邊上的點(diǎn)，且.將沿翻折，使得點(diǎn)到，滿足平面平面，連接，，如圖乙.甲 乙（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值的大小.21.（本小題滿分12分）已知雙曲線的方程為：，若點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，以點(diǎn)為切點(diǎn)作雙曲線的切線.（1）求證：切線的方程為；（2）分別過雙曲線的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)作切線的垂線，垂足分別為，.求證：為定值.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且，求證：.2024屆“3+3+3”高考備考診斷性聯(lián)考卷（一）數(shù)學(xué)參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）題號(hào)12345678答案DABCBADD【解析】1.因?yàn)?，，則，所以，故選D.2.設(shè)（），則，由，可得，所以，所以，故選A.3.為偶函數(shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，；又當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，所以甲是乙的必要不充分條件，故選B.4.沿正方體上底面的對(duì)角線作圓錐的軸截面，設(shè)正方體的棱長為，則由三角形相似可得，即，所以正方體棱長為，故選C.5.，故選B.6.記為第次摸到的是紅球，則，又，，所以，故選A.7.設(shè)曲線上任意一點(diǎn)為，則由題設(shè)可得，可得曲線的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)且長軸長為的橢圓，所以的周長等于，故選.8.設(shè)一個(gè)切點(diǎn)為，則由，可得該點(diǎn)處的切線方程，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有，即，則過點(diǎn)切線的條數(shù)即為方程的解的個(gè)數(shù).設(shè)，則，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又由，，可得時(shí)，有三個(gè)解，故選D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）題號(hào)9101112答案BCDACDACDAB【解析】9.對(duì)于選項(xiàng)A，9個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，由于，所以第75百分位數(shù)應(yīng)該是第7個(gè)數(shù)8，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由M，N相互獨(dú)立得：，所以，，故B正確：對(duì)于選項(xiàng)C，由，可以認(rèn)為和獨(dú)立，故C正確：對(duì)于選項(xiàng)D，樣本點(diǎn)都在直線，說明是負(fù)相關(guān)且為線性函數(shù)關(guān)系，所以相關(guān)系數(shù)為，故D正確，故選BCD.10.對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋訠錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，都是單位向量，由平行四邊形法則和菱形性質(zhì)知對(duì)應(yīng)有向線段平分，的夾角，由題設(shè)知，所以C正確；對(duì)于D，由A選項(xiàng)知：，所以由向量減法的幾何意義直接看出結(jié)果成立.另法：恒成立，則，即，整理得，此式恒成立，所以，恒成立，所以D正確，故選ACD.11.A選項(xiàng)，如圖1，由圓的切線性質(zhì)及勾股定理可得：，所以A選項(xiàng)正確：B選項(xiàng)，到直線的距離為，而，所以的最小值為，所以三角形面積的最小值為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤：C選項(xiàng)，設(shè)，，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓的方程為，，由，兩式相減得直線的方程為：，，由解得，所以直線過定點(diǎn)，C選項(xiàng)正確（法二：直線的方程也可直接由圓的切點(diǎn)弦方程直接求出）；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，圓心到直線的距離，所以，D選項(xiàng)正確，故選ACD.圖112.對(duì)于A選項(xiàng)，如圖2，連接交于點(diǎn)，連接，則由題設(shè)知，，所以平面，故，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，由題意可知，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故，的最大值為2，而，則四面體的表面積的最大值為，B正確：C選項(xiàng)，不妨假設(shè)存在點(diǎn)，使得，取的中點(diǎn)為，連接，，M為線段的中點(diǎn)，故；由于在菱形中，，，而為線段的中點(diǎn)，故.由于，，平面，故平面，平面，故，而，故，即為正三角形，則，故.又，且，故.由于，故.因?yàn)?，滿足，即當(dāng)時(shí)，使得，C錯(cuò)誤：對(duì)于D，因?yàn)椋蕿槎娼堑钠矫娼?，即，所以，即，而，則四面體為正四面體，故將其補(bǔ)成如圖3所示正方體，且正方體棱長為，則四面體的體積，則四面體的內(nèi)切球半徑，D錯(cuò)誤，故選AB.圖2 圖3三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）題號(hào)13141516答案1358【解析】13.設(shè)展開式的第項(xiàng)是，令，所以.14.由題意可知：圓心到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，所以根據(jù)拋物線的定義可知圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，故得圓心的軌跡方程為.15.由已知，且，，即函數(shù)是以24為周期的周期函數(shù)，故.16.如圖4所示，設(shè)圓逆時(shí)針繞圓轉(zhuǎn)過的圓心角，點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則由題設(shè)知，過點(diǎn)作軸，再過點(diǎn)作，垂足為，則.設(shè)，則，，所以，令，則，，又，.由，得；，得，易知，故.圖4四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）解：（1）因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以.由正弦定理得，又，，所以.由余弦定理得，，，故.（2）由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)知：，又C，D，B三點(diǎn)共線，所以，所以.18.（本小題滿分12分）證明：（1）由數(shù)列的前項(xiàng)積為，得，由題設(shè)，可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列.由題設(shè)，故，，，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故.（2）.19.（本小題滿分12分）解：（1）設(shè)小張答對(duì)的題目數(shù)為，可知隨機(jī)變量服從超幾何分布，的取值分別為1，2，3，4.有，，，，故小張答對(duì)的題目數(shù)的分布列為X1234P設(shè)小王答對(duì)的題目數(shù)為，可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，的取值分別為0，1，2，3，4，有，，，，.故小王答對(duì)的題目數(shù)的分布列為Y01234P（2）由（1）可知，，若預(yù)測(cè)小張答對(duì)的題目數(shù)多于小王答對(duì)的題目數(shù)，則，即，可得.20.（本小題滿分12分）（1）證明：如圖5，過在平面內(nèi)作交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平?故，又，所以平面，故，在中，，，.同理，在中，，，.又，平面.又平面，平面平面.圖5（2）解：如圖，作，垂足為，在中，可得，，由（1）知，，平面平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為x，y軸，過點(diǎn)垂直平面為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，則，，.由（1）知平面，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，可得，，，，又，則.所以二面角的正弦值為.21.（本小題滿分12分）證明：（1）法1：導(dǎo)數(shù)法 法2：判別式法（略）由雙曲線的方程，可得，即或，其中函數(shù)的圖象即為雙曲線在軸的上半部分，函數(shù)的圖象即為雙曲線在軸的下半部分.1、當(dāng)時(shí)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線斜率，所以切線方程為：，即①.又，故，代入①整理得，又切點(diǎn)在雙曲線上，故，所以切線方程為：.2、當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線斜率，所以切線方程為：，即②.又，故，代入②整理得.又切點(diǎn)在雙曲線上，故，所以切線方程為：.3、當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，切線方程為，滿足，綜上：上一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的方程為.（2）由（1）知，切線的方程可化為，由點(diǎn)到直線的距離公式得，由，可得，代入上式分母整理得，所以，所以為定值.22.（本小題滿分12分）（1