2024屆陜西省部分學(xué)校高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat14頁2024屆陜西省部分學(xué)校高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，若，則（

）A．1 B． C．1或 D．0【答案】B【分析】令集合中元素等于2，求得值并檢驗是否滿足集合的定義即得．【詳解】若，則或.當(dāng)時，，不符合元素的互異性；當(dāng)時，，符合題意.故選：B．2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】乘以分母的共軛，再求模長即可.【詳解】因為，所以.故選：A3．為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移規(guī)則可知，將向左平移個單位長度即可得到.【詳解】易知，故將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.故選：C4．已知向量均為單位向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)量積運算性質(zhì)求解.【詳解】，所以.故選：B5．已知是函數(shù)的極小值點，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，根據(jù)極值點的定義即可求解.【詳解】因為，所以.又是的極小值點，所以，解得.當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以時，是的極小值點.故，故選：D6．已知等比數(shù)列滿足，則（

）A．1 B．3 C．4 D．15【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的通項公式運算求解.【詳解】設(shè)的公比為，因為，解得，所以.故選：B.7．在四面體中，兩兩垂直，且，則四面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將其轉(zhuǎn)化為正方體的外接球即可.【詳解】設(shè)四面體外接球的半徑為，因為兩兩垂直，且，則此四面體外接球相當(dāng)于棱長為6的正方體的外接球，所以，則四面體外接球的表面積為.故選：D.8．小明準(zhǔn)備將新買的《孟子》、《論語》、《詩經(jīng)》3本書立起來隨機(jī)地放在書架上，則《論語》、《詩經(jīng)》兩本書相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)古典概型概率問題計算公式以及排列數(shù)的計算公式、捆綁法求得正確答案.【詳解】3本書立起來隨機(jī)地放在書架上，基本事件有種，其中《論語》、《詩經(jīng)》兩本書相鄰的事件有種，所以《論語》、《詩經(jīng)》兩本書相鄰的概率為.故選：A9．若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義與基本初等函數(shù)的單調(diào)性即可列出不等式組，解出答案.【詳解】因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，解得.故選：D.10．如圖，二面角的平面角的大小為，，，，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】作點在平面的投影，作，得是二面角的平面角，然后根據(jù)垂直進(jìn)行計算可得．【詳解】如圖，作點在平面的投影，作，垂足為，連接，平面，則，同理，又，平面，，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，所以，又是矩形，所以，，從而，所以.故選：A．11．已知為坐標(biāo)原點，分別是橢圓的左頂點、上頂點和右焦點，點在橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)直線平行的坐標(biāo)運算即可得關(guān)系，從而得關(guān)系，即可得橢圓的離心率.【詳解】因為，則又，所以因為，所以，則，即，所以所以.故選：D.12．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，且恒成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后判斷其單調(diào)性，然后由可得，則將原不等式轉(zhuǎn)化為，再利用其單調(diào)性可得答案.【詳解】令，則，則在上單調(diào)遞增.因為，所以，則等價于，即，所以，所以不等式的解集為，故選：D二、填空題13．設(shè)滿足約束條件，則的最小值為.【答案】【分析】首先畫出可行域，再數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由約束條件作出可行域如下圖所示：又，解得，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最小值，且.故答案為：14．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為件，為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，用分層抽樣的方法從以上產(chǎn)品中抽取一個容量為的樣本，已知從乙產(chǎn)品中抽取了7件，則.【答案】20【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)運算求解.【詳解】由題可知，，解得.故答案為：20.15．已知數(shù)列滿足，則.【答案】【分析】由已知可得，與已知的等式相減可得，從而可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，故.故答案為：416．已知拋物線與直線交于兩點，點在拋物線上，且為直角三角形，則面積的最小值為．【答案】1【分析】根據(jù)已知設(shè)，由垂直關(guān)系有，可得求a的范圍且，即可求三角形面積最小值.【詳解】設(shè)，

則．因為為直角三角形，所以，即．因為，所以．所以．故答案為：1三、解答題17．人口結(jié)構(gòu)的變化，能明顯影響住房需求.當(dāng)一個地區(qū)青壯年人口占比高，住房需求就會增加，而當(dāng)一個地區(qū)老齡化嚴(yán)重，住房需求就會下降.某機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了某個地區(qū)的10個城市，統(tǒng)計了每個城市的老齡化率和空置率，得到如下表格.城市12345678910總和老齡化率0.170.20.180.050.210.090.190.30.170.241.8空置率0.060.130.090.050.090.080.110.150.160.281.2并計算得.(1)若老齡化率不低于，則該城市為超級老齡化城市，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計該地區(qū)城市為超級老齡化城市的頻率；(2)估計該地區(qū)城市的老齡化率和空置率的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）.參考公式：相關(guān)系數(shù).【答案】(1)估計該地區(qū)城市為超級老齡化城市的頻率為(2)該地區(qū)城市的老齡化率和空置率的相關(guān)系數(shù)約為0.63【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)確定老齡化率不低于的城市個數(shù)后用頻率估計概率；（2）根據(jù)所給公式計算相關(guān)系數(shù)可得．【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，調(diào)查的10個城市中，老齡化率不低于的有4個，故估計該地區(qū)城市為超級老齡化城市的頻率為.（2），則.故該地區(qū)城市的老齡化率和空置率的相關(guān)系數(shù)約為0.63.18．的內(nèi)角的對邊分別為，.(1)證明：；(2)若，求的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)用正弦定理轉(zhuǎn)化，結(jié)合正弦差角公式即可求解.(2)結(jié)合第一問的結(jié)論和余弦定理求得的余弦值，代入面積公式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，則.又，所以，故，即.（2）由（1）可知，.因為，所以，則，故的面積.19．如圖，在正四棱柱中，分別為的中點，.(1)證明：平面；(2)求四面體的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明是菱形，得，再由勾股定理逆定理證明，即可證得線面垂直；（2）證明平面，然后由棱錐體積公式計算，【詳解】（1）連接，在正四棱柱中，因為分別為的中點，所以，且，可知四邊形為菱形，所以.設(shè)，連接，由，得，即，所以，即.因為平面平面，所以平面.（2）因為為的中點，，所以.又，平面，所以平面.，20．已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為.(1)求雙曲線的方程.(2)已知雙曲線的左?右頂點分別為，直線與雙曲線的左?右支分別交于點（異于點），設(shè)直線的斜率分別為，若點）在雙曲線上，證明為定值，并求出該定值.【答案】(1)(2)證明見解析，定值為【分析】（1）利用漸近線的定義得到，再利用的關(guān)系即可得解；（2）由題意得到，再聯(lián)立方程得到，進(jìn)而得到，從而利用斜率公式進(jìn)行化簡計算即可得解.【詳解】（1）因為漸近線方程為，所以，即，所以，則，故的方程為.（2）依題意，知，因為點在雙曲線上，所以，即，聯(lián)立，得，則，設(shè)，則，，所以，，因為，所以，所以，故，故為定值，定值為.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21．已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)，時，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義得到切線方程；（2）令，求導(dǎo)后放縮得到，構(gòu)造，二次求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點函數(shù)值，得到在上恒成立，在上單調(diào)遞增，得到，證明出結(jié)論.【詳解】（1）因為，所以.，故曲線在處的切線方程為，即.（2）證明：令，則.因為，所以.令，則.令，則.當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，即在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，故，即.【點睛】導(dǎo)函數(shù)證明不等式，常常利用放縮法，常用的放縮有切線放縮或參數(shù)放縮，消去參數(shù)后，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊點的函數(shù)值，可大大減少難度.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)若與相交于兩點，點，求的值.【答案】(1)的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為(2)【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)即得普通方程，利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式替換即得的直角坐標(biāo)方程；（2）利用點在直線上和直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義即得.【詳解】（1）消去參數(shù)，得到的普通方程為.由得到的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（1）可知，點在上，將的方程化為參數(shù)方程：（為參數(shù)），代入的