2024屆陜西省漢中市中學高三上學期教學質量第一次檢測試題（一模） 數學文（解析版）

漢中市2024屆高三年級教學質量第一次檢測考試數學（文科）本試卷共23小題，共150分，共4頁.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內.2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知，則復數z的虛部為（）A. B. C. D.3.已知向量，，若與共線且同向，則實數值為（）A.2 B.4 C. D.或44.一個幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.5.已知，則（）A. B. C. D.6.為慶祝我國第39個教師節(jié)，某校舉辦教師聯(lián)誼會，甲?乙兩名數學老師組成“幾何隊”參加“成語猜猜猜”比賽，每輪比賽由甲?乙兩人各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為.在每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，則“幾何隊”在一輪比賽中至少猜對一個成語的概率為（）A. B. C. D.7.已知；，若是的充分條件，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知雙曲線的一條漸近線的斜率為2，則（）A.－4 B.4 C. D.9.下列函數中，在上是減函數且是偶函數的是（）A. B. C. D.10.“歡樂頌”是音樂家貝多芬創(chuàng)作的重要作品之一.如圖，如果以時間為橫軸、音高為縱軸建立平面直角坐標系，那么寫在五線譜中的音符就變成了坐標系中的點，如果這些點恰好在函數的圖象上，且圖象過點，相鄰最大值與最小值之間的水平距離為，則使得函數單調遞增的區(qū)間的是（）A. B.C. D.11.已知是拋物線：的焦點，是拋物線的準線，點（）連接交拋物線于點，，則的面積為（）A.6 B.3 C. D.12.設定義在R上的函數滿足，且，則下列結論正確的是（）A.R上單調遞減 B.在R上單調遞增C.在R上有最大值 D.在R上有最小值第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知單位向量，滿足，則與的夾角為__________.14函數，則__________.15.已知中，，，，則的外接圓面積為___________.16.已知正三棱錐的各頂點都在表面積為球面上，正三棱錐體積最大時該正三棱錐的高為______.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.17.等差數列中，，．（1）求數列的通項公式；（2）設，求的值．18.某市交管部門為了宣傳新交規(guī)舉辦交通知識問答活動，隨機對該市15～65歲的人群抽樣，回答問題統(tǒng)計結果如圖表所示．組別分組回答正確人數回答正確的人數占本組的概率第1組[15，25)50.5第2組[25，35)a0.9第3組[35，45)27x第4組[45，55)b0.36第5組[55，65]3y（1）分別求出a，b，x，y的值；（2）從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取6人，則第2，3，4組每組應各抽取多少人？（3）在（2）前提下，決定在所抽取的6人中隨機抽取2人頒發(fā)幸運獎.求：所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運獎的概率．19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，側面PAB底面，，（1）求證：平面（2）過AC的平面交PD于點M，若，求三棱錐的體積．20.已知橢圓的離心率為；，與直線有且只有一個公共點.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，若，求直線的方程21.已知函數．（1）討論的單調性；（2）證明：當時，．（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數方程]22.在直角坐標系：中曲線的參數方程為（為參數），是上的動點，點滿足，點的軌跡為曲線．（Ⅰ）求的參數方程；（Ⅱ）在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線與的異于極點的交點為，與的異于極點的交點為，將曲線、的方程轉化為極坐標方程后，求．[選修4-5：不等式選講]23.設函數（1）當時，解不等式；（2）若存在，使得成立，求a的取值范圍.漢中市2024屆高三年級教學質量第一次檢測考試數學（文科）本試卷共23小題，共150分，共4頁.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內.2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將集合化簡，再結合集合的交集運算即可得到結果.詳解】將集合化簡可得，則故選:A2.已知，則復數z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數的四則運算及定義計算即可.【詳解】由可得，即虛部為.故選：A3.已知向量，，若與共線且同向，則實數的值為（）A.2 B.4 C. D.或4【答案】C【解析】【分析】通過向量共線且同向，即可求出實數的值.【詳解】由題意，，，∵與共線且同向∴，解得或，當時，與共線且反向，舍去，故選：C．4.一個幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】根據三視圖可知：該幾何體是一個圓錐和正方體的組合體.圓錐的體積為，正方體的體積為8，故幾何體的體積為：故選：A5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將條件等式兩邊平方，利用，結合二倍角公式，即可求解.【詳解】因為，所以，所以．故選：C.【點睛】本題考查應用同角間的三角函數關系、三角恒等變換求值，屬于基礎題．6.為慶祝我國第39個教師節(jié)，某校舉辦教師聯(lián)誼會，甲?乙兩名數學老師組成“幾何隊”參加“成語猜猜猜”比賽，每輪比賽由甲?乙兩人各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為.在每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，則“幾何隊”在一輪比賽中至少猜對一個成語的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用事件的相互獨立性求解.法一，所求事件轉化為互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用對立事件的概率和為，間接法可得.【詳解】設事件“甲猜對”，“乙猜對”，“幾何隊至少猜對一個成語”，所以，則.由題意知，事件相互獨立，則與，與，與也相互獨立，法一：，且兩兩互互斥，則.法二：事件的對立事件“幾何隊一個成語也沒有猜對”，即，則.故選：B.7.已知；，若是的充分條件，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據充分，必要條件與集合的包含關系，即可求解.【詳解】若是的充分條件，則，所以.故選：C8.已知雙曲線的一條漸近線的斜率為2，則（）A.－4 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線的方程求解漸近線，求出的值.【詳解】根據,得到,則焦點在軸，故漸近線為，則，故.故選：A9.下列函數中，在上是減函數且是偶函數的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，依次分析選項中函數的奇偶性與單調性，綜合即可得答案．【詳解】解：根據題意，依次分析選項：對于，，是偶函數，在區(qū)間上是增函數，不符合題意；對于，，是奇函數，不符合題意；對于，，是偶函數，在區(qū)間上是減函數，符合題意；對于，，是偶函數，但在區(qū)間上是增函數，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性的判斷，關鍵是掌握冪指對函數的性質，屬于基礎題．10.“歡樂頌”是音樂家貝多芬創(chuàng)作的重要作品之一.如圖，如果以時間為橫軸、音高為縱軸建立平面直角坐標系，那么寫在五線譜中的音符就變成了坐標系中的點，如果這些點恰好在函數的圖象上，且圖象過點，相鄰最大值與最小值之間的水平距離為，則使得函數單調遞增的區(qū)間的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據已知得出函數的周期，求出，根據點的坐標，結合的取值范圍，求出的值.然后得出函數的單調區(qū)間，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，.又圖象過點，所以有，所以，.因為，所以，所以，所以，.由可得，，所以，函數的單調遞增區(qū)間為.當時，單調遞增區(qū)間為；當時，單調遞增區(qū)間為；當時，單調遞增區(qū)間為；對于A項，，故A項錯誤；對于B項，因為，故B項正確；對于C項，因為，故C項錯誤；對于D項，因為，故D項錯誤.故選：B.11.已知是拋物線：的焦點，是拋物線的準線，點（）連接交拋物線于點，，則的面積為（）A.6 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出拋物線方程，進一步求出的坐標，最終求出答案.【詳解】∵是拋物線的準線，∴，拋物線∴∵∴為的中點，即的橫坐標為，代入，得到，∴∴∴.故選：D.12.設定義在R上的函數滿足，且，則下列結論正確的是（）A.在R上單調遞減 B.在R上單調遞增C.在R上有最大值 D.在R上有最小值【答案】C【解析】【分析】根據已知可得，由求出可得，利用導數判斷單調性可得最值情況.【詳解】因為，所以，可得，可得（為常數），因為，所以，解得，所以，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以在時有極大值即最大值，無最小值.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵點是利用已知構造，求出.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知單位向量，滿足，則與的夾角為__________.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直點乘等于零和數量積公式求解.【詳解】因為，是單位向量，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以.故答案為：14.函數，則__________.【答案】【解析】【分析】根據分段函數解析式，結合對數運算，求得所求表達式的值.【詳解】依題意.故答案為：【點睛】本小題主要考查分段函數求值，考查對數運算，屬于基礎題.15.已知中，，，，則的外接圓面積為___________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求解邊長，再利用正弦定理求解外接圓半徑，即可得外接圓面積.【詳解】解：根據題意，由余弦定理可得，該的外接圓的半徑為r，則由正弦定理得：.故答案為：.16.已知正三棱錐的各頂點都在表面積為球面上，正三棱錐體積最大時該正三棱錐的高為______.【答案】##【解析】【分析】根據球的性質，結合導數的性質、棱錐的體積公式、球的表面積公式進行求解即可.【詳解】因為，所以正三棱錐外接球半徑，如圖所示，設外接球圓心為O，過向底面作垂線垂足為D，，要使正三棱錐體積最大，則底面與在圓心的異側，因為是正三棱錐，所以D是的中心，所以，又因為，所以，，所以，令，解得或，當，；當，，所以在遞增，在遞減，故當時，正三棱錐的體積最大，此時正三棱錐的高為，故正三棱錐體積最大時該正三棱錐的高為.故答案為：三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.17.等差數列中，，．（1）求數列的通項公式；（2）設，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】（Ⅰ）設等差數列的公差為．由已知得，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以．考點：1、等差數列通項公式；2、分組求和法．18.某市交管部門為了宣傳新交規(guī)舉辦交通知識問答活動，隨機對該市15～65歲的人群抽樣，回答問題統(tǒng)計結果如圖表所示．組別分組回答正確的人數回答正確的人數占本組的概率第1組[15，25)50.5第2組[25，35)a0.9第3組[35，45)27x第4組[45，55)b0.36第5組[55，65]3y（1）分別求出a，b，x，y的值；（2）從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取6人，則第2，3，4組每組應各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，決定在所抽取的6人中隨機抽取2人頒發(fā)幸運獎.求：所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運獎的概率．【答案】（1）（2）2人，3人，1人（3）【解析】【分析】（1）根據頻率分布直方圖的性質，以及頻率、頻數的計算方法，即可求解；（2）根據第2，3，4組回答正確的人的比，結合分層抽樣的方法，即可求解；（3）抽取的6人中，第2組的記為a1，a2，第3組的記為b1，b2，b3，第4組的記為c，利用列舉法求得基本事件的總數和所求事件中所包含的基本事件的個數，結合古典摡型的概率計算公式，即可求解.【小問1詳解】解：第1組人數為，所以總人數；第2組人數為，所以；第3組人數為，所以；第4組人數為，所以；第5組人數為，所以.【小問2詳解】解：第2，3，4組回答正確的人的比為，所以第2，3，4組每組應各依次抽取2人，3人，1人．【小問3詳解】解：抽取的6人中，第2組的記為a1，a2，第3組的記為b1，b2，b3，第4組的記為c，則從6人中任取2人的所有可能的情況有15種，分別為(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c)，(b2，b3)，(b2，c)，(b3，c)．其中第2組至少有1人的情況有9種，分別為(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)．由古典摡型的概率計算公式，可得所求概率為.19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，側面PAB底面，，（1）求證：平面（2）過AC的平面交PD于點M，若，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由菱形的性質有，勾股定理知，結合面面垂直的推論可得，根據線面垂直的判定證垂直即可；（2）由面即可計算，結合已知條件可求三棱錐的體積；【詳解】（1）由題意知：底面ABCD是菱形，且∴，又在△中，，即，∴，又面PAB面，面PAB面，面PAB，∴面，而面，有：，，∴平面；（2）由（1）知：面，有，而，且，∴【點睛】本題考查了應用幾何圖形的性質，及線面垂直的判定證明垂直，根據已知體積關系結合三棱錐的體積公式求三棱錐的體積.20.已知橢圓的離心率為；，與直線有且只有一個公共點.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，若，求直線的方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題得橢圓方程為，再把代入并整理，根據得解；（2）先分析直線的斜率不為0，再設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得到韋達定理，再由得t的值，即得解.【詳解】解：（1）由橢圓E的離心率為，得故橢圓方程為，把代入并整理，得，因為E與有且只有一個公共點，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）當直線的斜率為0時，則A，B的坐標為，不符合，故直線的斜率不為0，設直線的方程為，代入橢圓方程得則，設，則，由，得得，代入，得，解得.故直線的方程為，即.【點睛】方法點睛：求直線的方程，一般利用待定系數法，先定式（從直線的五種方程中選擇一種作為直線的方程），后定量（再求出待定系數的值）.21.已知函數．（1）討論的單調性；（2）證明：當時，．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導后對a分類討論，結合導數的符號判斷單調區(qū)間即可；（2）轉化為證明函數的最大值小于，構造函數利用導數確定函數的最值可得證.【小問1詳解】，當時，，則在上單調遞減當時，令，解得，當時，，則在上單調遞增當時，，則在上單調遞減綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減【小問2詳解】由（1）得：要證：，即證：即證：令，當時，，則在上單調遞增；當時，，則在上單調遞減；所以，從而命題得證．