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2024屆湖北省宜昌市秭歸縣二中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知復(fù)數(shù)是正實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.3.設(shè)為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知,,若,則實(shí)數(shù)的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或75.雙曲線的一條漸近線方程為,那么它的離心率為()A. B. C. D.6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,記,,…,N.若,則()A. B. C. D.7.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為,則在軸上的截距為()A. B. C. D.8.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i9.函數(shù)()的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)且,則()A. B. C. D.11.設(shè)復(fù)數(shù)z=,則|z|=()A. B. C. D.12.將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在△ABC中,E為邊AC上一點(diǎn),且,P為BE上一點(diǎn),且滿足,則的最小值為_(kāi)_____.14.設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍為_(kāi)_______.15.小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的答題活動(dòng),要從4道題中隨機(jī)抽取2道作答,小李會(huì)其中的三道題,則抽到的2道題小李都會(huì)的概率為_(kāi)____.16.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,若,則的最小值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知多面體中,、均垂直于平面,,,,是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函數(shù)(1)求單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若存在實(shí)數(shù),使得,求證:19.(12分)在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會(huì)上,張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲,每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次,每個(gè)人擊中鼓則得積分100分,沒(méi)有擊中鼓則扣積分50分,最終積分以家庭為單位計(jì)分.已知張明每次擊中鼓的概率為,王慧每次擊中鼓的概率為;每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響,假設(shè)張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.(1)若家庭最終積分超過(guò)200分時(shí),這個(gè)家庭就可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī),問(wèn)張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)的概率是多少?(2)張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為:(其中為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù))(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)若曲線與直線交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的值.21.(12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BCC1B1是菱形,AC=BC=2,∠CBB1=,點(diǎn)A在平面BCC1B1上的投影為棱BB1的中點(diǎn)E.(1)求證:四邊形ACC1A1為矩形;(2)求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值.22.(10分)已知數(shù)列滿足且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b?logab<1,logab<1?a>b,∴a>b是logab<1的充分必要條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵.2、C【解析】
將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式,由題意可得實(shí)部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù),所以且,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義,屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn),求得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo),由此判斷對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,化簡(jiǎn)即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,代入化簡(jiǎn)可得.∴解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為,列出方程,求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為,可得,∴,∴雙曲線的離心率.故選:D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
通過(guò)計(jì)算,可得,最后計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題可知:所以所以猜想可知:由所以所以故選:D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及不完全歸納法的應(yīng)用,選擇題、填空題可以使用取特殊值,歸納猜想等方法的使用,屬中檔題.7、A【解析】
求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程,從而可求切線的縱截距.【詳解】,故,所以曲線在處的切線方程為:.令,則,故切線的縱截距為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距,注意直線的縱截距指直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),因此截距有正有負(fù),本題屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
兩邊同乘-i,化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i,選D.【點(diǎn)睛】的共軛復(fù)數(shù)為9、C【解析】
對(duì)x分類討論,去掉絕對(duì)值,即可作出圖象.【詳解】故選C.【點(diǎn)睛】識(shí)圖常用的方法(1)定性分析法:通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性的分析,從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì),利用這一特征分析解決問(wèn)題;(2)定量計(jì)算法:通過(guò)定量的計(jì)算來(lái)分析解決問(wèn)題;(3)函數(shù)模型法:由所提供的圖象特征,聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型,利用這一函數(shù)模型來(lái)分析解決問(wèn)題.10、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計(jì)算能力.11、D【解析】
先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn),然后用模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng).【詳解】解:z====﹣﹣,則|z|====.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式,然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.【詳解】解:圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,得到再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,故選:D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì),基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:根據(jù)題意有,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以有,從而有,所以的最小值是.考點(diǎn):向量的運(yùn)算,基本不等式.【方法點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用基本不等式求最值的問(wèn)題,屬于中檔題目,在解題的過(guò)程中,關(guān)鍵步驟在于對(duì)題中條件的轉(zhuǎn)化,根據(jù)三點(diǎn)共線,結(jié)合向量的性質(zhì)可知,從而等價(jià)于已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問(wèn)題,兩式乘積,最后應(yīng)用基本不等式求得結(jié)果,最后再加,得出最后的答案.14、【解析】
當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)為常數(shù),故需滿足,且,解得答案.【詳解】,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)為常數(shù),需滿足,且,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.15、【解析】
從四道題中隨機(jī)抽取兩道共6種情況,抽到的兩道全都會(huì)的情況有3種,即可得到概率.【詳解】由題:從從4道題中隨機(jī)抽取2道作答,共有種,小李會(huì)其中的三道題,則抽到的2道題小李都會(huì)的情況共有種,所以其概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)古典概型求概率,關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個(gè)數(shù).16、40【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù),可得,因?yàn)?,根?jù)均值不等式,即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù),,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取得最小值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求數(shù)列值的最值問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式和靈活使用均值不等式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接、,推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形,可得出,由此能證明平面;(2)由,得平面,則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),就是到平面的距離,也就是點(diǎn)到平面的距離,由此能求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)取的中點(diǎn),連接、,、分別為、的中點(diǎn),則且,、均垂直于平面,且,則,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面;(2)由,平面,平面,平面,點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),平面,平面,,,,平面,即就是到平面的距離,也就是點(diǎn)到平面的距離,設(shè),則到平面的距離,,因此,直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.18、(1)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,,函數(shù)單調(diào)遞減,;(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到函數(shù)的極值;(2)易得且,要證明,即證,即證,即對(duì)恒成立,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得證;【詳解】解:(1)因?yàn)槎x域?yàn)?,所以,時(shí),,即在和上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)在單調(diào)遞減,所以在處取得極小值,在處取得極大值;,;(2)易得,要證明,即證,即證即證對(duì)恒成立,令,,則令,解得,即在上單調(diào)遞增;令,解得,即在上單調(diào)遞減;則在取得極小值,也就是最小值,從而結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.19、(1)(2)詳見(jiàn)解析【解析】
(1)要積分超過(guò)分,則需兩人共擊中次,或者擊中次,由此利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.(2)求得的所有可能取值,根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題意,當(dāng)家庭最終積分超過(guò)200分時(shí),這個(gè)家庭就可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī),所以要想領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī),則需要這個(gè)家庭夫妻倆在兩輪游戲中至少擊中三次鼓.設(shè)事件為“張明第次擊中”,事件為“王慧第次擊中”,,由事件的獨(dú)立性和互斥性可得(張明和王慧家庭至少擊中三次鼓),所以張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)的概率是.(2)的所有可能的取值為-200,-50,100,250,400.,,,,.∴的分布列為-200-50100250400∴(分)【點(diǎn)睛】本小題考查概率,分布列,數(shù)學(xué)期望等概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)據(jù)處理,應(yīng)用意識(shí).20、(1)(2)5【解析】
(1)首先消去參數(shù)得到曲線的普通方程,再根據(jù),,得到曲線的極坐標(biāo)方程;(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義得解;【詳解】解:(1)曲線:消去參數(shù)得到:,由,,得所以(2)代入,設(shè),,由直線的參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義得:【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化,以及直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用,屬于中檔題.21、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)通過(guò)勾股定理得出,又,進(jìn)而可得平面,則可得到,問(wèn)題得證;(2)如圖,以為原點(diǎn),,,所在直線分別為軸,軸,軸,求出平面的法向量和平面的法向量,利用空間向量的夾角公式可得答案.【詳解】(1)因?yàn)槠矫?,所以,又因?yàn)?,,,所以,因此,所以,因此平面,所以,從而,又四邊形為平行四邊形,則四邊形為矩形;(2)
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