第1章 章末小結(jié) 高中數(shù)學(xué)新湘教版必修第一冊（2023~2024學(xué)年）

第1章章末小結(jié)【課后精練】一、單項選擇題1.(2022年全國乙卷)設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合M滿足UM={1,3},則().A.2∈M B.3∈MC.4?M D.5?M【答案】A【解析】由題意知M={2,4,5},對比選項知,A正確,BCD錯誤,故選A.2.命題“?x>1,x≥2”的否定是().A.?x>1,x<2 B.?x≤1,x<2C.?x≤1,x<2 D.?x>1,x<2【答案】A【解析】因為命題“?x>1,x≥2”為全稱量詞命題,所以其否定為存在量詞命題,即“?x>1,x<2”.3.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},則A∩B=().A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4}【答案】D【解析】由題意得,B={1,4,7,10},所以A∩B={1,4}.4.已知集合A={1,x,y},B={1,x2,2y},若A=B,則x-y=().A.2 B.1 C.14 D.【答案】C【解析】若A=B,則x=x2,y=2y或x=2y,y=x由集合中元素的互異性,得x=12,y=14,則x-y=125.以下四個命題中,既是存在量詞命題又是真命題的是().A.三角形的內(nèi)角和均為180°B.至少有一個實數(shù)x,使x2≤0C.兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)D.存在一個負數(shù)x,使1x>【答案】B【解析】選項A,是全稱量詞命題;選項B,是存在量詞命題且是真命題,當(dāng)x=0時,x2=0;選項C,是全稱量詞命題且是假命題,比如2,-2都是無理數(shù),但2+(-2)=0為有理數(shù);選項D,是存在量詞命題且是假命題,若x<0,必有1x<0.故選B6.(2020年全國Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x,y∈N+,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},則A∩B中元素的個數(shù)為().A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】由題意知A∩B中的元素滿足y≥x,x+y=8,且x,y∈N+由x+y=8≥2x,得x≤4,所以滿足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),故A∩B中元素的個數(shù)為4.故選C.7.設(shè)S=αα=kπ+π2,k∈Z,S1=αα=2kπ+π2,k∈Z,S2=αα=2kπ-π2,k∈Z,則下列結(jié)論錯誤的是().A.S1?S B.S2?SC.S1∪S2=S D.S1∩S2=S【答案】D【解析】因為S=αα=kπ+π2,k∈Z表示終邊落在y軸上的角的集合,S1=αα=2kπ+π2,k∈Z表示終邊落在y軸正半軸上的角的集合,S2=αα=2kπ-π2,k∈Z表示終邊落在y軸負半軸上的角的集合,所以S1?S,S2?S,S1∪S2=S,S1∩S2=?≠S.故選D.8.對任意的實數(shù)x,若[x]表示不超過x的最大整數(shù),則“-1<x-y<1”是“[x]=[y]”的().A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)x=0.9,y=1時,滿足-1<x-y<1,但[x]=0,[y]=1,此時[x]≠[y],所以-1<x-y<1推不出[x]=[y].反之,若[x]=[y]=n,則n≤x<n+1,n≤y<n+1?-1<x-y<1,所以[x]=[y]?-1<x-y<1.綜上可知,“-1<x-y<1”是“[x]=[y]”的必要而不充分條件.二、多項選擇題9.下列關(guān)系中,正確的有().A.??{0} B.13C.Q?Z D.?∈{0}【答案】AB【解析】??{0},A正確;13∈Q,B正確;Z?Q,C錯誤;??{0},D錯誤10.已知全集U的兩個非空真子集A,B滿足(UA)∪B=B,則下列關(guān)系一定正確的有().A.A∩B=? B.A∩B=BC.A∪B=U D.(UB)∪A=A【答案】CD【解析】令U={1,2,3,4},A={2,3,4},B={1,2},滿足(UA)∪B=B,但A∩B≠?,A∩B≠B,故A,B均不正確;由(UA)∪B=B,知UA?B,∴U=A∪(UA)?(A∪B),∴A∪B=U,由UA?B,知UB?A,∴(UB)∪A=A,故C,D均正確.11.下列結(jié)論正確的有().A.在△ABC中,“A是鈍角”是“△ABC是鈍角三角形”的充分而不必要條件B.“?a>0,關(guān)于x的方程x2+x+a=0有兩個不相等的實數(shù)根”是真命題C.“菱形的對角線相等且互相垂直”是真命題D.若p是真命題,則p可能是真命題【答案】AB【解析】由“A是鈍角”可以得到“△ABC是鈍角三角形”,但是由“△ABC是鈍角三角形”不一定得到“A是鈍角”,A正確;當(dāng)Δ=1-4a>0,即a<14時,關(guān)于x的方程x2+x+a=0有兩個不相等的實數(shù)根,B正確菱形的對角線不一定相等,C錯誤;命題與命題的否定一定是一真一假,D錯誤.12.給定數(shù)集M,若對于任意a,b∈M,有a+b∈M,且a-b∈M,則稱集合M為閉集合.則下列說法中不正確的是().A.集合M={-4,-2,0,2,4}為閉集合B.正整數(shù)集是閉集合C.集合M={n|n=3k,k∈Z}為閉集合D.若集合A1,A2為閉集合,則A1∪A2為閉集合【答案】ABD【解析】對于A,當(dāng)集合M={-4,-2,0,2,4}時,2,4∈M,而2+4?M,所以集合M不為閉集合.對于B,設(shè)a,b是任意的兩個正整數(shù),當(dāng)a<b時,a-b<0不是正整數(shù),所以正整數(shù)集不為閉集合.對于C,當(dāng)M={n|n=3k,k∈Z}時,設(shè)a=3k1,b=3k2,k1,k2∈Z,則a+b=3(k1+k2)∈M,a-b=3(k1-k2)∈M,所以集合M是閉集合.對于D,設(shè)A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=2k,k∈Z},由C可知,集合A1,A2為閉集合,2,3∈A1∪A2,而2+3?A1∪A2,此時A1∪A2不為閉集合.故選ABD.三、填空題13.命題“至少有一個正實數(shù)x滿足方程x2+2(a-1)x+2a+6=0”的否定是.

【答案】所有正實數(shù)x都不滿足方程x2+2(a-1)x+2a+6=0【解析】把量詞“至少有一個”改為“所有”,“滿足”改為“都不滿足”得到命題的否定.14.設(shè)集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若M∪N=M,則實數(shù)t的取值范圍為.

【答案】(-∞,2]【解析】由M∪N=M,得N?M,當(dāng)N=?時,2t+1≤2-t,即t≤13,此時M∪N=M成立當(dāng)N≠?時,由下圖可得2-t<2t+1,2t+1≤5,2-t≥-2,解得13綜上,實數(shù)t的取值范圍是(-∞,2].15.立德中學(xué)有35人參加“學(xué)黨史知識競賽”,若答對第一題的有20人,答對第二題的有16人,兩題都答對的有6人,則第一、二題都沒答對的有人.

【答案】5【解析】設(shè)第一、二題都沒答對的有x人,則(20-6)+(16-6)+6+x=35,所以x=5.16.已知A={x|-1<x<3},B={x|m<x<m+1},若x∈B成立的一個必要而不充分條件是x∈A,則實數(shù)m的取值范圍是.

【答案】{m|-1≤m≤2}【解析】因為x∈B成立的一個必要而不充分條件是x∈A,所以集合B是集合A的真子集.所以m≥-1,m+1<3或m>-1,m+1≤3,解得-1≤故實數(shù)m的取值范圍是{m|-1≤m≤2}.四、解答題17.已知集合A={x|-2<x<4},B={x|-1<x≤5}.(1)求A∩B,A∪B;(2)求(RA)∩B.【解析】(1)因為集合A={x|-2<x<4},B={x|-1<x≤5},所以A∩B={x|-1<x<4},A∪B={x|-2<x≤5}.(2)由題意可得,RA={x|x≤-2或x≥4},所以(RA)∩B={x|4≤x≤5}.18.判斷下列命題的真假,并寫出其否定.(1)對任意的x∈R,x2-x-1≤0;(2)所有能被5整除的整數(shù)都是奇數(shù);(3)對任意的x∈Q,13x2+12x+1(4)有些實數(shù)的絕對值是正數(shù);(5)?x0,y0∈Z,2x0+y0=3.【解析】(1)命題“對任意的x∈R,x2-x-1≤0”是全稱量詞命題,因為當(dāng)x=2時,22-2-1=1>0,所以原命題是假命題.原命題的否定:存在x∈R,x2-x-1>0.(2)命題“所有能被5整除的整數(shù)都是奇數(shù)”是全稱量詞命題,因為10能被5整除,10是偶數(shù),所以原命題是假命題.原命題的否定:存在一個能被5整除的整數(shù)不是奇數(shù).(3)命題“對任意的x∈Q,13x2+12x+1是有理數(shù)”是全稱量詞命題,因為有理數(shù)經(jīng)過加、減、乘運算后仍是有理數(shù),原命題的否定:存在x∈Q,13x2+12x+1(4)命題“有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)”是存在量詞命題,因為實數(shù)-2的絕對值2是正數(shù),所以原命題是真命題.原命題的否定:所有實數(shù)的絕對值不是正數(shù).(5)命題“?x0,y0∈Z,2x0+y0=3”是存在量詞命題,因為當(dāng)x0=0,y0=3時,2x0+y0=3,所以原命題是真命題.原命題的否定:?x,y∈Z,2x+y≠3.19.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.(1)若命題p:?x∈B,x∈A是真命題,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若命題q:?x∈B,x∈A是真命題,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)因為命題p:?x∈B,x∈A是真命題,所以B?A,當(dāng)B=?時,m+1>2m-1,解得m<2;當(dāng)B≠?時,m+1≤2m-1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m綜上,實數(shù)m的取值范圍為(-∞,3].(2)因為q:?x∈B,x∈A是真命題,所以A∩B≠?,所以B≠?,即m≥2,所以m+1≥3,所以使A∩B≠?只需滿足m+1≤5即可,即m≤4.故實數(shù)m的取值范圍為[2,4].20.已知全集U=R,集合A={x|1<x≤3},集合B={x|2m<x<1-m}.(1)若A∩B≠B,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若?x1∈A,?x2∈B,使得x1=x2,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)若A∩B=B,則B?A,當(dāng)B=?時,則2m≥1-m,解得m≥13當(dāng)B≠?時,則2m<1-m,2m≥1,1-m≤3,m綜上,若A∩B≠B,則實數(shù)m的取值范圍為-∞,13.(2)∵?x1∈A,?x2∈B,使得x1=x2,∴A?B,且A≠?,則2m≤1,1-m>3,∴m<-∴實數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2).21.設(shè)A={x|x≤1或x≥4},B={x|a-2<x<2a,a>0}.(1)若A∪B=R,求實數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)p:x∈A,q:x∈B,且p是q的必要而不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)∵A∪B=R,∴a-2≤1,2a≥4,解得2≤a≤3,故實數(shù)a的取值范圍是[2,3](2)依題意知,B?A,又B≠?.∴a>0,2a≤1或a>0,a-2≥4,解得0<a≤12或故實數(shù)a的取值范圍是a0<a≤12或a≥6.22.在①A∩B=A;②A∩(RB)=A;③A∩B=?這三個條件中任選一個,補充到下面的問題中,求解下列問題:已知集合A={x|a-1<x<2a+3},B={x|-2≤x≤4}.(1)當(dāng)a=2時,求A∪B;(2)若,求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)a=2時,集合A={x|1<x<7},B={x|-2≤x≤4},則A∪B={x|-2≤x<7}.(2)若選擇①A∩B=A,則A?B,當(dāng)a-1≥2a+3,即a