奧數(shù)-六年級競賽-計數(shù)問題.教師版word

第8講第8講計數(shù)㈠)教學目標教學目標“統(tǒng)計與概率〞主要研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機現(xiàn)象,兼有應用性和趣味性，其內容及延伸貫穿于初等數(shù)學到高等數(shù)學，因此成為小學數(shù)學中新增內容．⑴能準確判斷事件發(fā)生的等可能性以及游戲規(guī)那么的公平性問題．⑵運用排列組合知識和枚舉等計數(shù)方法求解概率問題．⑶理解和運用概率性質進行概率的運算．專題回憶專題回憶假設有、、、、五個人排隊，要求和兩個人必須站在相鄰位置，那么有多少排隊方法？題目要求和兩個人必須排在一起，首先將和兩個人“捆綁〞，視其為“一個人〞，也即對“，〞、、、“四個人〞進行排列，有種排法．又因為捆綁在一起的、兩人也要排序，有種排法．根據(jù)分步乘法原理，總的排法有種．一條馬路上有編號為、、……、的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可以把其中的三盞關掉，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，那么所有不同的關燈方法有多少種？假設直接解答須分類討論，情況較復雜．故可把六盞亮著的燈看作六個元素，然后用不亮的三盞燈去插7個空位，共有種方法〔請您想想為什么不是〕，因此所有不同的關燈方法有種.［拓展］假設有、、、、五個人排隊，要求和兩個人必須不站在一起，那么有多少排隊方法？題目要求和兩個人必須隔開．首先將、、三個人排列，有種排法；假設排成，那么、、“中間〞和“兩端〞共有四個空位置，也即是：，此時可將、兩人插到四個空位置中的任意兩個位置，有種插法．由乘法原理，共有排隊方法：．現(xiàn)有個完全相同的球全局部給個班級，每班至少個球，問共有多少種不同的分法?將個相同的球排成一行，個球之間出現(xiàn)了個空檔，現(xiàn)在我們用“檔板〞把個球隔成有序的7份，每個班級依次按班級序號分到對應位置的幾個球〔可能是個、個、個、個〕，借助于這樣的虛擬“檔板〞分配物品的方法稱之為插板法．由上述分析可知，分球的方法實際上為檔板的插法：即是在個空檔之中插入個“檔板〞〔個檔板可把球分為組〕，其方法種數(shù)為．⑴方程，求這個方程的正整數(shù)解的個數(shù)．⑵方程，求這個方程的非負整數(shù)解的個數(shù)．⑴將分成個，列出來：在這個數(shù)中間的個空中插入個板子，將分成局部，每一局部對應“〞的個數(shù)，按順序排成；；；即是正整數(shù)解．故正整數(shù)解的個數(shù)為．⑵將問題轉化為求方程的正整數(shù)個數(shù)，顯然原方程的解法與轉化后的方程的解可以一一對應，新方程的每一組解的值減去，即可得到原方程的一組解，反過來，原方程的任意一個解的值加一，也可對應新方程的解對應所以該方程的非負整數(shù)解有個．專題精講專題精講在拋擲一枚硬幣時，究竟會出現(xiàn)什么樣的結果事先是不能確定的，但是當我們在相同的條件下，大量重復地拋擲同一枚均勻硬幣時，就會發(fā)現(xiàn)“出現(xiàn)正面〞或“出現(xiàn)反面〞的次數(shù)大約各占總拋擲次數(shù)的一半左右．這里的“大量重復〞是指多少次呢?歷史上不少統(tǒng)計學家，例如皮爾遜等人作過成千上萬次拋擲硬幣的試驗，隨著試驗次數(shù)的增加，出現(xiàn)正面的頻率波動越來越小，頻率在這個定值附近擺動的性質是出現(xiàn)正面這一現(xiàn)象的內在必然性規(guī)律的表現(xiàn)，恰恰就是刻畫出現(xiàn)正面可能性大小的數(shù)值，就是拋擲硬幣時出現(xiàn)正面的概率．這就是概率統(tǒng)計定義的思想，這一思想也給出了在實際問題中估算概率的近似值的方法，當試驗次數(shù)足夠大時，可將頻率作為概率的近似值．概率的古典定義概率的古典定義：如果一個試驗滿足兩條：⑴試驗只有有限個根本結果；⑵試驗的每個根本結果出現(xiàn)的可能性是一樣的．這樣的試驗，稱為古典試驗．對于古典試驗中的事件，它的概率定義為：，表示該試驗中所有可能出現(xiàn)的根本結果的總數(shù)目，表示事件包含的試驗根本結果數(shù)．小學奧數(shù)中，所涉及的問題都屬于古典概率．其中的和需要我們用枚舉、加乘原理、排列組合等方法求出．概率概率的意義一個骰子六個面上的數(shù)字分別為，，，，，，現(xiàn)在來擲這個骰子，把每次擲出的點數(shù)依次求和，當總點數(shù)超過時就停止不再擲了，這種擲法最有可能出現(xiàn)的總點數(shù)是＿＿＿＿.擲的總點數(shù)在至之間時，再擲一次，總點數(shù)才有可能超過〔至多是〕．當總點數(shù)是時，再擲一次，總點數(shù)是的可能性比總點數(shù)超過的可能性大．當總點數(shù)在至之間時，再擲一次，總點數(shù)是的可能性不比總點數(shù)是，，，的可能性?。?，總點數(shù)是時，再擲一次，出現(xiàn)的可能性相同，所以總點數(shù)是的可能性相同，即總數(shù)是的可能性不比總數(shù)點數(shù)分別是，，的可能性小，綜上所述，總點數(shù)是的可能性最大．［前鋪］在某個池塘中隨機捕撈條魚，并給魚作上標記后放回池塘中，過一段時間后又再次隨機捕撈尾，發(fā)現(xiàn)其中有條魚是被作過標記的，如果兩次捕撈之間魚的數(shù)量沒有增加或減少，那么請你估計這個池塘中一共有魚多少尾？尾魚中有條魚被標記過，所以池塘中魚被標記的概率的實驗得出值為，所以池塘中的魚被標記的概率可一看作是，池塘中魚的數(shù)量約為尾．［前鋪］一個小方木塊的六個面上分別寫有數(shù)字、、、、、，小光、小亮兩人隨意往周面上扔放這個木塊．規(guī)定：當小光扔時，如果朝上的一面寫的是偶數(shù)，得分．當小亮扔時，如果朝上的一面寫的是奇數(shù)，得分．每人扔次，______得分高的可能性比擬大．因為、、、、、中奇數(shù)有個，偶數(shù)只有個，所以木塊向上一面寫著奇數(shù)的可能性較大，即小亮得分高的可能性較大．計數(shù)計數(shù)求概率互斥事件：互斥事件：互斥事件也叫互不相容事件．也可表述為不可能都發(fā)生的事件.公式的含義為：如果事件和為互斥事件〔互不相容事件〕,那么或〔之一〕發(fā)生的概率等于事件發(fā)生的概率與事件發(fā)生的概率之和．如果事件、為互斥事件，且事件、發(fā)生時機均等，那么.如果某事件所有可能發(fā)生的情況、、、互斥，且時機均等，那么.其中的種情況發(fā)生的概率為．舉例：⑴明天正午的天氣是陰天與明天正午的天氣是雨天是兩個互斥事件，所以明天正午天氣為陰雨的概率等于明天正午的天氣是陰天概率與明天正午的天氣是雨天概率之和．⑵拋一枚硬幣掉下來后是正面向上與拋一枚硬幣掉下來后是反面向上是兩個互斥事件，所以拋一枚硬幣掉下來后是正面或是反面向上的概率等與拋一枚硬幣掉下來后是正面向上的概率與拋一枚硬幣掉下來后反面向上的概率之和，即．⑶擲出的骰〔tóu〕子數(shù)字、、、、、向上情況互斥且時機均等，所以每種情況發(fā)生的概率為.〔2023年奧數(shù)網(wǎng)杯〕一塊電子手表，顯示時與分，使用小時計時制，例如中午點和半夜點都顯示為．如果在一天〔24小時〕中的隨機一個時刻看手表，至少看到一個數(shù)字“1〞的概率是______．一天當中，手表上顯示的時刻一共有種．其中冒號之前不出現(xiàn)的情況有2、3、4、5、6、7、8、9八種，冒號之后不出現(xiàn)的情況有種，所以不出現(xiàn)的情況有種．所以至少看到一個數(shù)字“1〞的情況有種，所以至少看到一個數(shù)字“1〞的情況有種．如圖個點分布成邊長為厘米的方陣〔相鄰點與點之間的距離為厘米〕，在這個點中任取個點，那么這三個點構成三角形的概率為多少？這三個點構成面積為平方厘米的三角形的概率為多少？構成面積為平方厘米的三角形的概率為多少？構成面積為平方厘米的概率為多少？構成面積為平方厘米的概率為多少？從個點中任取個點一共有種情況．三個點共線一共有種情況．所以三個點能夠成三角形的概率為．個點中能構成面積為的三角形一共有種情況．所以三個點能夠成面積為平方厘米的三角形的概率為．個點中能夠成面積為平方厘米的三角形的情況有種情況．所以三個點能夠成面積為平方厘米的三角形的概率為．個點中能夠成面積為平方厘米的三角形的情況有種情況．所以三個點能夠成面積為平方厘米的三角形的概率為．個點中能夠成面積為平方厘米的三角形的情況有種情況．所以三個點能夠成面積為平方厘米的三角形的概率為．奧蘇旺大陸上流行一種牌戲，類似于我們世界的“撲克牌〞，但他們的牌只有張，不同的牌有不同的點數(shù)或花色，一共有這個點數(shù)，以及◎、☆、

三種花色.玩家從一幅牌中抽出張牌，求：⑴抽到“順子〞〔三張牌點數(shù)連續(xù)〕的概率，⑵抽到“同花〞〔三張牌花色相同〕的概率，⑶抽到“同花順〞〔三張牌點數(shù)連續(xù)，花色相同〕的概率．張牌中抽取張有種方法．順子一共有種，即、、、對于每一種順子，又有種，所以抽取到順子的概率有．同花有三種花色，每一種同花有種，所以抽取到同花的概率有．同花順有種，所以抽取到同花順的概率為．甲、乙兩個學生各從這個數(shù)字中隨機挑選了兩個數(shù)字〔可能相同〕，求：⑴這兩個數(shù)字的差不超過的概率，⑵兩個數(shù)字的差不超過的概率．⑴兩個數(shù)相同〔差為0〕的情況有種，兩個數(shù)差為有種，兩個數(shù)的差為的情況有種，所以兩個數(shù)的差不超過的概率有．⑵兩個數(shù)的差為的情況有種．兩個數(shù)的差為的情況有種．兩個數(shù)的差為的情況有種．所以兩個數(shù)字的差超過的概率有.兩個數(shù)字的差不超過的概率有.甲、乙、丙、丁四人互相傳球，由甲開始第一次傳球，每個人接到球后，都隨機從其他人中選擇一個人將球傳出，那么第四次傳球恰好傳回甲手里的概率是多少？對每一個接到球的人來說，下一次傳球的方向有種可能，所以四次傳球的總路線有種可能，每一種之間都是互斥的等概率事件.而恰好傳回到甲的情況，以第一步為為例有如下種情況：所以第次傳回甲的概率為．如圖為、兩地之間的道路圖，其中⊙表示加油站，小王駕車每行駛到出現(xiàn)兩條通往目的地方向道路的路口時〔所有路口都是三叉的，即每到一個路口都只有一條或兩條路通往目的地〕，都用拋硬幣的方式隨機選擇路線，求：⑴小王駕車從到，經(jīng)過加油站的概率．⑵小王駕車從到，經(jīng)過加油站的概率．運用標數(shù)法，標數(shù)規(guī)那么〔性質〕：⑴從起點開始標“１〞．⑵以后都將數(shù)標在線上，對于每一個節(jié)點，起點方向的節(jié)點相連線路上所標數(shù)之和與和目標方向節(jié)點相連線路上標數(shù)之和相等．⑶對于每一個節(jié)點，目標方向的各個線路上標數(shù)相等．如圖：從到經(jīng)過加油站的概率為；如圖：從到經(jīng)過加油站的概率為；概率概率運算相互相互獨立事件：事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件．公式含義：如果事件和為獨立事件，那么和都發(fā)生的概率等于事件發(fā)生的概率與事件發(fā)生的概率之積．舉例：⑴明天是否晴天與明天晚餐是否有煎雞蛋相互沒有影響，因此兩個事件為相互獨立事件.所以明天天晴，并且晚餐有煎雞蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎雞蛋的概率.⑵第一次拋硬幣掉下來是正面向上與第二次拋硬幣是正面向上是兩個相互獨立事件．所以第一次、第二次拋硬幣掉下來后都是正面向上的概率等于兩次分別拋硬幣掉下來后是正面向上的概率之和，即.⑶擲骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某個數(shù)字向上是兩個相互獨立的事件，如果骰子掉在桌上的概率為，那么骰子掉在桌上且數(shù)字“〞向上的概率為．某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率為，如果該射手在百步之外連射三箭，三箭全部射中靶心的概率為多少？有一箭射中靶心的概率為多少？有兩箭射中靶心的概率為多少?⑴全部射中靶心的概率為．⑵第一箭射中，其他兩箭射空的概率為．第二箭射中，其他兩箭射空的概率為．第三箭射中，其他兩箭射空的概率為．有一箭射中的概率為.⑶第一箭射中，其他兩箭射中的概率為．第二箭射中，其他兩箭射中的概率為．第三箭射中，其他兩箭射中的概率為．有兩箭射中的概率為.小剛爬樓梯擲骰子來確定自己下一步所跨臺階步數(shù)，如果點數(shù)小于，那么跨個臺階，如果不小于，那么跨出個臺階，那么小明走完四步時恰好跨出個臺階的概率為多少？小明每跨出一步，有的概率跨個臺階，有的概率跨個臺階，對于步跨臺階的每一種情況，例如，發(fā)生的可能性有，所以步跨臺階發(fā)生的總概率為．［鋪墊］小明爬樓梯時以拋硬幣來確定下一步跨個臺階還是個臺階，如果是正，那么跨個臺階，如果是反，那么跨出個臺階，那么小明走完四步時恰好跨出個臺階的概率為多少？小明跨出步的所有情況有種情況，其中恰好跨出個臺階的情況有：、、、、、六種，所以概率為．、、、、、六人抽簽推選代表，公證人一共制作了六枚外表一模一樣的簽，其中只有一枚刻著“中〞，六人按照字母順序先后抽取簽，抽完不放回，誰抽到“中〞字，即被推選為代表，那么這六人被抽中的概率分別為多少？抽中的概率為，沒抽到的概率為，如果沒抽中，那么有的概率抽中，如果抽中，那么抽中的概率為，所以抽中的概率為.同理，抽中的概率為，抽中的概率為，抽中的概率為，抽中的概率為.由此可見六人抽中的概率相等，與抽簽的先后順序無關.［拓展］如果每個人抽完都放回，任意一個人如果抽中，那么后邊的人不再抽取，那么每個人抽中的概率為多少？抽中的概率依次為：、、、、、，在這種情況下先抽者，抽中的概率大．甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加一次節(jié)日活動，很幸運的是，他們都得到了一件精美的禮物，事情是這樣的：墻上掛著兩串禮物〔如圖〕，每次只能從其中一串的最下端取一件，直到禮物取完為止．甲第一個取得禮物，然后，乙、丙、丁、戊依次取得第件到第件禮物，當然取法各種各樣，那么共有＿＿＿＿種不同的取法．事后他們翻開這些禮物仔細比擬，發(fā)現(xiàn)禮物最精美，那么取得禮物可能性最大的是＿＿＿＿，可能性最小的是＿＿＿＿．此題需要注意的隱含條件：對于每個人，如果擺在面前的有兩串禮物，那么該人選擇其中一串的概率為，如果擺在面前的只有一串禮物，那么該人選擇那一串．第一件取的有種取法,第一件取的有種取法．所以有不同的取法種．觀察這種取法的樹狀圖可知，甲和戊不可能取得，所以取得可能性最小的是甲和戊，乙、丙、丁誰的可能性大不能看誰的取法較多，因為每種取法實現(xiàn)的可能性不同.法一：計算枚舉出的每一種取拿方法的所有概率〔各種取拿方法流程之間是互斥事件〕：第一件取有種方法：第一件取有種方法：乙取得的可能性是；丙取得的可能性是；丁取得的可能性占．所以取得可能性最大的是?。ǘ河嬎懔鞒谈鱾€階段，事件發(fā)生情況：〔每個人選擇哪一串在是否取完一串的條件的情況下與后一個人選擇哪一串相互獨立〕.乙取得的可能性是；丙取得的可能性是；丁取得的可能性占．所以取得可能性最大的是?。€(wěn)固精練穩(wěn)固精練從小紅家門口的車站到學校，有路、路兩種公共汽車可乘，它們都是每隔分中開來一輛．小紅到車站后，只要看見路或路，馬上就上車，據(jù)有人觀察發(fā)現(xiàn)：總有路車過去以后分鐘就來路車，而路車過去以后分鐘才來路車．小紅乘坐______路車的可能性較大．首先某一時刻開來路車，從此時起，分析乘坐汽車如下表所示：分鐘12345678910111213141516171819車號1999111111199911111顯然由上表可知每分鐘乘坐路車的幾率均為，乘坐路車的幾率均為，因此小紅乘坐路車的可能性較大．某人有5把鑰匙，一把房門鑰匙，但是忘記是哪把，于是逐把試，問恰好第三把翻開門的概率？從把鑰匙中排列出前三把，一共有種，從把鑰匙中將正確的鑰匙排在第三把，并排出前二把一共有種，所以第三把鑰匙翻開門的概率為．一張圓桌旁有四個座位，、、、四人隨機坐到四個座位上，求與不相鄰而坐的概率．四人入座的不同情況有種．、相鄰的不同情況，首先固定的座位，有種，安排的座位有種，安排、的座位有種，一共有種．所以、不相鄰而座的概率為．如圖為甲、乙兩地之間的道路圖，曉峰從甲地步行前往乙地，曉峰步行的方向始終為向北或向東，如果行走某個路口，出現(xiàn)有向北和向東的兩條道路，曉峰就用拋硬幣的方式隨機選擇路線，問曉峰最有可能通過、、中的哪一條道路從西城走到東城？運用標數(shù)法，將曉峰通過的每一條路的概率標在道路上，如圖：由標數(shù)可得曉峰通過的概率為，通過和的概率為.設每門高射炮擊中敵機的概率為,今欲以的把握擊中敵機,那么至少應配備幾門高射炮同時射擊？如果只配一門高射炮，那么未擊中的概率為，配備兩門高射炮那么未擊中的概率為，如果配備三門高射炮，那么未擊中的概率為，如果配備四門高射炮，那么未擊中的概率為，如果配備五門高射炮，那么未擊中的概率為，如果配備六門高射炮，那么未擊中的概率為．所以至少配備門高射炮，同時射擊．埋在樹下的金幣埋在樹下的金幣從前，在一個偏僻的村莊里，住著一個窮人，他只有很小的一塊田地．有一年，他的收成很不好．最后，只剩下一小袋種子了．當那塊地到了可以耕種的時候，天剛一亮，他就從床上爬起來，來到田里開始播種．他十分小心，生