機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 課件 第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性第一節(jié)概述第二節(jié)Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)第三節(jié)Nyquist(奈奎斯特)穩(wěn)定判據(jù)第四節(jié)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性①

衰減振蕩（穩(wěn)定）③等幅振蕩（臨界穩(wěn)定）②發(fā)散振蕩（不穩(wěn)定）第一節(jié)概述穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在運行過程中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負(fù)載和能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。

對于穩(wěn)定系統(tǒng)，在擾動作用下系統(tǒng)的響應(yīng)會偏離原來的平衡狀態(tài)，但是隨時間的推移會恢復(fù)至平衡狀態(tài)；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，在擾動作用下系統(tǒng)的響應(yīng)會偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。一、穩(wěn)定性的概念設(shè)系統(tǒng)處于某一初始的平衡狀態(tài)。在擾動作用下，輸出偏離平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動消失后，經(jīng)過足夠長的時間，如果輸出能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，或進(jìn)入新的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。說明：系統(tǒng)的穩(wěn)定性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與輸入無關(guān)；系統(tǒng)的不穩(wěn)定是由于反饋作用影響的；穩(wěn)定性的本質(zhì)：系統(tǒng)的響應(yīng)具有收斂性。二、系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根全為負(fù)實數(shù)或是具有負(fù)實部的共軛復(fù)根，則系統(tǒng)穩(wěn)定；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點全部位于s平面的左邊。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程的根二階系統(tǒng)：零初始狀態(tài)下，階躍響應(yīng)為（穩(wěn)態(tài)值為1）當(dāng)特征根具有負(fù)實部，響應(yīng)收斂，系統(tǒng)穩(wěn)定。理解：jωs2s1第二節(jié)勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要求解微分方程，得到全部的特征根，并判斷特征根的符號；當(dāng)遇到高階系統(tǒng)時，求解較為困難。因此，勞斯提出直接用特征方程的系數(shù)的正負(fù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若線性系統(tǒng)特征方程為：滿足全部特征根均具有負(fù)實部的條件是即特征方程的各項系數(shù)ai>0，滿足穩(wěn)定的必要條件1.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件特征根2.勞斯判據(jù)（系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件）針對特征方程列寫勞斯數(shù)列其中，第1行，第2行隔項填入方程系數(shù)；第3行往后的系數(shù)計算方法如下：勞斯判據(jù)：勞斯數(shù)列表中第一列各元素的符號均為正，且值不為零；第一列各元素符號改變的次數(shù)等于具有正實部特征根的個數(shù)。例1已知閉環(huán)特征方程，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0勞斯數(shù)列表：第一列一個元素符號為負(fù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定；符號改變2次，系統(tǒng)有兩個具有不穩(wěn)定的特征根。正負(fù)正用很小的正數(shù)代替零，繼續(xù)計算出勞斯數(shù)列中的其他項系數(shù)。令，判斷第一列系數(shù)符號，得出系統(tǒng)是否穩(wěn)定的結(jié)論。例1：令則故第一列系數(shù)不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有兩個極點。3.勞斯判據(jù)特殊情況討論（1）勞斯數(shù)列第一列某個系數(shù)為零，而其余系數(shù)不為零（2）勞斯數(shù)列某一行系數(shù)全為零例2：用上一行的系數(shù)構(gòu)造一個輔助方程求導(dǎo)得用求導(dǎo)后獲得的方程的系數(shù)1和3替換0，繼續(xù)計算剩下的系數(shù)；盡管第一列系數(shù)都大于零，但是要判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還要通過求解輔助方程的根來具體判斷；系統(tǒng)存在2對共軛虛根，為臨界穩(wěn)定（不穩(wěn)定）例4已知

=0.2，

n=86.6，試確定K取何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定。使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍為0<K<34.6

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程：勞斯數(shù)列：勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟：判斷系統(tǒng)是否滿足穩(wěn)定的必要條件；當(dāng)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定的必要條件后，根據(jù)閉環(huán)特征方程列寫勞斯數(shù)列，判斷勞斯數(shù)列第一列元素是否大于零，如果滿足，則系統(tǒng)穩(wěn)定，如果第一列出現(xiàn)一個元素小于零，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。第三節(jié)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是幾何判據(jù)，利用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。該判據(jù)不僅能判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且可以評價系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，指出改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方向。奈奎斯特，美國物理學(xué)家，曾在美國AT&T公司與貝爾實驗室任職。若s平面封閉曲線Ls包圍F(s)的一個零點Zi一周，則F(s)平面上一定有映射曲線LF順時針包圍原點一周；若s平面封閉曲線Ls包圍F(s)的一個極點Pi一周，則F(s)平面上一定有映射曲線LF逆時針包圍原點一周；一、幅角定理設(shè)有復(fù)變函數(shù)：如果s平面上不經(jīng)過F(s)的零點和極點的封閉曲線Ls順時針包圍F(s)的Z個零點和P個極點，那么在F(s)平面映射曲線LF將以順時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)N圈。N=Z-P。Z：Ls包圍零點的個數(shù)，P：Ls包圍極點的個數(shù)二、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：1、F(s)與Gk(s)的對應(yīng)關(guān)系開環(huán)傳遞函數(shù)單位反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)F(s)的零點z為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點；F(s)的極點p為開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)的極點；根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：要滿足閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則希望右極點數(shù)為0，即Z=0，那么N=P。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面2、F(jw)與Gk(jw)的坐標(biāo)關(guān)系奈氏曲線逆時針包圍（-1，j0）點的圈數(shù)N=P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定2、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)當(dāng)

由－至+

時，若[GH]平面上的開環(huán)頻率特性曲線G(j)H(j

)逆時針方向包圍（－1，j0）點P圈，即N=P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（P≠0，P為[s]平面的右半平面開環(huán)極點數(shù)）如果開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，P=0，此時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線G(j)H(j

)不包圍(-1，j0)點。N=0當(dāng)

由0至+

時，若[GH]平面上的開環(huán)頻率特性曲線G(j)H(j

)逆時針方向包圍（－1，j0）點P/2圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例1.圖示為系統(tǒng)的奈奎斯特曲線，其中圖（a）和圖（b）所示的系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)，P=0，利用奈奎斯特判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：左圖奈氏曲線不包圍（-1，j0）點，P=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；右圖奈氏曲線逆時針包圍（-1，j0）點，P=0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；解：a)穩(wěn)定b)不穩(wěn)定c)穩(wěn)定d)不穩(wěn)定例2.根據(jù)圖示，已知開環(huán)不穩(wěn)定根的數(shù)量，判斷閉環(huán)系

統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3：開環(huán)傳遞函數(shù)為：試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：1、分別求幅頻特性

相頻特性，求特

殊點的值，畫奈

氏曲線。取值：k=2,T1=1,T2=5因為T1，T2>0，所以Gk(s)在s右半平面的極點數(shù)為P=0；在[GH]平面上，當(dāng)

由-至+

時，奈氏曲線繞(-1,j0)點的圈數(shù)N=0；根據(jù)奈氏判據(jù)N=P，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例4：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：開環(huán)極點為-1，和-1±j2，都在s左半平面，所以P=0；當(dāng)

由-至+

時，奈氏曲線順時針繞(-1,j0)點2圈；N不等于P，所以閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例5：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制系統(tǒng)的奈奎斯特曲線，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判斷奈氏曲線不包圍（-1,j0）點，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。三、在Bode圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，是奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種形式，利用開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖)來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Nyquist圖中,|GK(j

)|=1的單位圓與Bode圖上的0分貝線對應(yīng)。Nyquist圖中的負(fù)實軸與Bode圖中的-180

相位線對應(yīng)。

1、Bode圖與Nyquist圖的對應(yīng)關(guān)系2、幅值穿越頻率ωc：奈氏曲線與單位圓交點對應(yīng)的頻率；相位穿越頻率ωg：奈氏曲線與負(fù)實軸交點對應(yīng)的頻率；穩(wěn)定ωc＜ωg不穩(wěn)定ωc＞ωg當(dāng)P＝0時，若ωc＜ωg，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

ωc＞ωg，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；

ωc

=ωg，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。3、對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定ωc＜ωg不穩(wěn)定ωc＞ωg第四節(jié)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性：在控制系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，系統(tǒng)穩(wěn)定的程度。通常用穩(wěn)定裕度來定量表示：相位裕度

，幅值裕度kg1．相位裕度

奈氏曲線在幅值穿越頻率處=c，相位(

c)距-180線的相位差值，稱為相位裕度。如果相位裕度＞0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，Bode圖上，位于-180線以上，極坐標(biāo)圖，位于負(fù)實軸以下；如果相位裕度＜0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，Bode圖上，位于-180線以下，極坐標(biāo)圖，位于負(fù)實軸以上；穩(wěn)定不穩(wěn)定2．幅值裕度kg

在相位穿越頻率處ω=ωg時，開環(huán)幅頻特性值│Gk(jωg)│的倒數(shù)

稱為幅值裕度。如果幅值裕度kg＞1，kg（dB）＞0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，Bode圖上，kg（dB）位于0分貝線以下；穩(wěn)定如果幅值裕度kg<1，kg（dB）<0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，Bode圖上，kg（dB）位于0分貝線以上；一般情況下，要求

=30

~60

，Bode圖上ω=

c處，幅頻曲線斜率>=-40dB/dec，kg(dB)>6dB，

與kg必須同時兼顧。不穩(wěn)定2．幅值裕度kg

在相位穿越頻率處ω=ωg時，開環(huán)幅頻特性值│Gk(jωg)│的倒數(shù)

稱為幅值裕度。1．相位裕度

奈氏曲線在幅值穿越頻率處=c，相位(

c)距-180線的相位差值，稱為相位裕度。Nyquist圖與bode圖對應(yīng)關(guān)系：Nyquist圖單位圓與Bode圖上的0分貝線對應(yīng)。Nyquist圖的負(fù)實軸與Bode圖中的-180

相位線對應(yīng)。

幅值穿越頻率ωc：奈氏曲線與單位圓交點對應(yīng)的頻率；相位穿越頻率ωg：奈氏曲線與負(fù)實軸交點對應(yīng)的頻率；幅值穿越頻率相位穿越頻率幅值穿越頻率相位穿越頻率對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)P＝0時，若ωc＜ωg，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

ωc＞ωg，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；

ωc

=ωg，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定：相位裕度

>0，幅值裕度kg＞1，幅值裕度對數(shù)值kg（dB）＞0，通常要求

=30

~60

，kg(dB)>6dB，-20-40-605例6：設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示，試求k=10和k=100時，系統(tǒng)的相位裕度和幅值裕度，判斷穩(wěn)定性。-直接讀圖，當(dāng)k=10時，20lg2=6相位裕度

=270幅值裕度kg(dB)=8dB閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

c=1.2，ωg=2.2當(dāng)開環(huán)增益從k=10增大到k=100時，對數(shù)幅值特性曲線向上移26dB，相位特性曲線不變。20lg20=26相位裕度

=-230,幅值裕度kg(dB)=-12dB,k=100時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

c=4，ωg=2.2例7：某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試確定當(dāng)k=10時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，及使相位穩(wěn)定裕度為30度時的開環(huán)放大系數(shù)k。-解：當(dāng)k=10時，開環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制波德圖：1、確定轉(zhuǎn)折頻率w1=10，w2=40，低頻線斜率為t0=-20，

高頻線斜率t1=t2=-20，經(jīng)過點(1,46)；k=10,wc=38，wg=20，wc>wg，r=-300，kg(dB)=-18（1,46）-20-40-60k’=0.5，w’c=10，wg=20，wc<wg，r=300，k