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《信息論與編碼》課后習(xí)題答案《信息論與編碼》課后習(xí)題答案
其次章
2.1一個(gè)馬爾可夫信源有3個(gè)符號(hào){}1,23,uuu,轉(zhuǎn)移概率為:()11|1/2puu=,
()21|1/2puu=,()31|0puu=,()12|1/3puu=,()22|0puu=,()32|2/3puu=,
()13|1/3puu=,()23|2/3puu=,()33|0puu=,畫出狀態(tài)圖并求出各符號(hào)穩(wěn)態(tài)概率。解:狀態(tài)圖如下
狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:
1/21/2
01/302/31/32/30p???=????
設(shè)狀態(tài)u1,u2,u3穩(wěn)定后的概率分別為W1,W2、W3
由1231WPWWWW=??++=?得1231132231231
112331223231
WWWWWWWWWWWW?++=???+=???=???++=?計(jì)算可得1231025925625WWW?=???
=??
?=??
2.2由符號(hào)集{0,1}組成的二階馬爾可夫鏈,其轉(zhuǎn)移概率為:(0|00)p=0.8,(0|11)p=0.2,
(1|00)p=0.2,(1|11)p=0.8,(0|01)p=0.5,(0|10)p=0.5,(1|01)p=0.5,(1|10)p=0.5。
畫出狀態(tài)圖,并計(jì)算各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率。
解:(0|00)(00|00)0.8pp==(0|01)(10|01)0.5pp==
(0|11)(10|11)0.2pp==(0|10)(00|10)0.5pp==(1|00)(01|00)0.2pp==(1|01)(11|01)0.5pp==(1|11)(11|11)0.8pp==(1|10)(01|10)0.5pp==
于是可以列出轉(zhuǎn)移概率矩陣:0.80.20
0000.50.50.50.5000
00.20.8p???
?=??
??狀態(tài)圖為:
設(shè)各狀態(tài)00,01,10,11的穩(wěn)態(tài)分布概率為W1,W2,W3,W4有
41
1iiWPWW==???=??∑得131
132
24324412340.80.50.20.50.50.20.50.81WWWWWWWWWWWWWWWW+=??+=??+=??+=?+++=??計(jì)算得到123451417175
14WWWW?=??
?=???=???=
?
2.3同時(shí)擲出兩個(gè)正常的骰子,也就是各面呈現(xiàn)的概率都為1/6,求:
(1)“3和5同時(shí)消失”這大事的自信息;(2)“兩個(gè)1同時(shí)消失”這大事的自信息;
(3)兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的各種組合(無(wú)序)對(duì)的熵和平均信息量;(4)兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和(即2,3,…,12構(gòu)成的子集)的熵;(5)兩個(gè)點(diǎn)數(shù)中至少有一個(gè)是1的自信息量。解:
(1)
bitxpxIxpiii170.418
1
log
)(log)(181
61616161)(=-=-==
?+?=
(2)
bit
xpxIxpiii170.536
1
log)(log)(36
1
6161)(=-=-==
?=
(3)
兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的排列如下:111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566
共有21種組合:
其中11,22,33,44,55,66的概率是36
16161=?其他15個(gè)組合的概率是18
161612=??
symbolbitxp
xpXHi
ii/337.4181log18115361log3616)(log)()(=?????
?+?-=-=∑
(4)
參考上面的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的排列,可以得出兩個(gè)點(diǎn)數(shù)求和的概率分布如下:
symbol
bitxpxpXHXPXi
ii/274.361log61365log365291log912121log1212181log1812361log36
12)
(log)()(36112181111211091936586173656915121418133612)(=?
????
+?+?+?+?+?-=-=?????????
?=??????∑(5)
bit
xpxIxpiii710.136
11
log)(log)(36
11116161)(=-=-==
??=
2-4
2.5居住某地區(qū)的女孩子有25%是高校生,在女高校生中有75%是身高160厘米以上的,而女孩子中身高160厘米以上的占總數(shù)的一半。假如我們得知“身高160厘米以上的某女孩是高校生”的消息,問(wèn)獲得多少信息量?
解:
設(shè)隨機(jī)變量X代表女孩子學(xué)歷
Xx1(是高校生)x2(不是高校生)P(X)0.250.75
設(shè)隨機(jī)變量Y代表女孩子身高
Yy1(身高>160cm)y2(身高=
2.24連續(xù)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為:???
??≤+=其他
01
),(2222
ryxryxpπ,
求H(X),H(Y),H(XYZ)和I(X;Y)。
(提示:?-
=20
222log2
sinlogπ
π
xdx)
解:
???
??
?????
??????
?
-+-=+
==-==--=--=--=-+-=--=---=--=-=≤≤--===----------
---202420
220
2
20
20
22220
2
20
2222
22
2222222222222
22222
222
22sinlog2
2cos1422cos1log4
sinlogsin4
logsin4sinlogsin4
sinlogsin4)
cos(sinlogsin4coslog4log2log)(/log2
1
loglog2
1
1log2loglog)(2loglog)(2
log)(2log)()(log)()()(21)()(2
2222
22
2π
π
π
π
π
ππθ
θθ
πθθπθ
θθπθθπθθθπ
θθθπθθθπθπππππππππddrdrddrdrrrrdrrrrxdxxrxrrdxxrrxrdx
xrxpsymbol
bitere
rrdx
xrxprdx
xrxpdxr
xpdxr
xrxpdx
xpxpXHrxrr
xrdyrdyxypxprr
rr
r
rrrrrrr
rr
rcxrxrxrxr令其中:
e
eededededede
ddde
rdrddrrdddrdr220
2220
220
22
0220
2220
220
20
20
20
220
20
220
20
20
20
20
log2
1
2sinlog21log212coslog1log122cos1log2
coslog2
sinlogcoscossin21
sinlog2sinsinlog2sin12sinsinlog1
sinlog2cos2
log2
1
1logsinlog2cos2
1logsinlog2cos2
)2log2
(2
2sinlog1
logsinlog2cos2
sinlog2
2coslog2
log2
-=--=--=+-
=-=-=???
?
??-==
+-=-
-=-
-
+
-
=-
+
-
=
?????
??
??
?
??
?
??π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
θπθ
θπ
θπθ
θ
πθ
θπθ
θ
θθ
θπθθθθπθ
θπθ
θθπθ
θθπθ
θθπππ
θπ
θ
θθπθθπθθπ
θπ
其中:
bit/symbolererXYHYHXHYXIbit/symbolrdxdyxyprdxdyrxypdxdy
xypxypXYHbit/symbol
erXHYHxpypryrryrdxrdxxypypccccR
R
R
cCCyryryryrloglog
logloglog2
)()()();(log
)(log
1
log)(
)(log)()(log2
1
log)()()
()()(21
)()(222222222
222
2222
2222
22
2-=--=-+===-=-=-===≤≤--=
==???????
?
---
---πππππππππ
2.25某一無(wú)記憶信源的符號(hào)集為{0,1},已知P(0)=1/4,P(1)=3/4。(1)求符號(hào)的平均熵;
(2)有100個(gè)符號(hào)構(gòu)成的序列,求某一特定序列(例如有m個(gè)“0”和(100-m)個(gè)“1”)的自信息量的表達(dá)式;(3)計(jì)算(2)中序列的熵。
解:(1)
symbolbitxpxpXHi
ii/811.043log4341log41
)(log)()(=?????+-=-=∑
(2)
bitmxpxIxpm
iimm
m
i585.15.414
3
log
)(log)(4
34341)(100
100100
100100+=-=-==?
?
?
????????=---
(3)
symbolbitXHXH/1.81811.0100)(100)(100=?==
2-26
P(i)=P(ij)=
H(IJ)=
2.29有一個(gè)一階平穩(wěn)馬爾可夫鏈1,2,,,rXXXLL,各Xr取值于集合{}1,2,3Aaaa=,已知起始概率P(Xr)為1231/2,1/4ppp===,轉(zhuǎn)移概率如下圖所示
ji
123123
1/22/32/3
1/401/3
1/41/30
(1)求123(,,)XXX的聯(lián)合熵和平均符號(hào)熵(2)求這個(gè)鏈的極限平均符號(hào)熵
(3)求012,,HHH和它們說(shuō)對(duì)應(yīng)的冗余度解:(1)
12312132,112132(,,)()(|)(|)
()(|)(|)
HXXXHXHXXHXXXHXHXXHXX=++=++
1111111
()logloglog1.5/224444
HXbit=---=符號(hào)
212()()jiji
pxpxx=∑
X2的概率分布為
那么
21111131131
(|)log4log4log4loglog3loglog348862126212
HXX=++++++
=1.209bit/符號(hào)
12()ijpxx
12311/41/81/8
21/601/12
31/6
1/12
12314/24
5/24
5/24
X2X3
那么
32771535535
(|)log2log4log4loglog3loglog3244883627236272
HXX=
++++++=1.26bit/符號(hào)
123(,,)1.51.2091.263.969HXXXbit=++=/符號(hào)
所以平均符號(hào)熵31233.969
(,,)1.3233
HXXXbit=
=/符號(hào)(2)設(shè)a1,a2,a3穩(wěn)定后的概率分布分別為W1,W2,W3,轉(zhuǎn)移概率距陣為11
12442
103321033
P????
?=??????
由1iWPWW=???=??∑得到123132123122123311431WWWWWWWWW?++=???+=??++=???計(jì)算得到12347314314WWW?=??
?=??
?=??
又滿意不行約性和非周期性
31
4111321
()(|)(,,)2(,,0)1.2572441433iiiHXWHXWHHbit∞===+?=∑uuv/符號(hào)
(3)0log31.58Hbit==/符號(hào)11.5Hbit=/符號(hào)21.51.209
1.3552
Hbit+=
=/符號(hào)001.25110.211.58γη=-=-=111.25110.6171.5γη=-=-=221.25
110.0781.355
γη=-=-=
a1
a
3a
2
1/2
2/3
1/4
1/3
2/3
1/4
2-30
(1)求平穩(wěn)概率P(j/i)=
解方程組
得到
(2)
信源熵為:
2-31
P(j/i)=解方程組得到W1=,W2=,W3=
2.32一階馬爾可夫信源的狀態(tài)圖如圖2-13所示,信源X的符號(hào)集為(0,1,2)。(1)求信源平穩(wěn)后的概率分布P(0),P(1),P(2)(2)求此信源的熵
(3)近似認(rèn)為此信源為無(wú)記憶時(shí),符號(hào)的概率分布為平穩(wěn)分布。求近似信源的熵H(X)并與H∞進(jìn)行比較
1
2
1-p
p/2
1-p
p/2p/2
p/2
p/2
p/2
1-p
圖2-13
解:依據(jù)香農(nóng)線圖,列出轉(zhuǎn)移概率距陣1/2/2/21/2/2/21pppPpppppp-????=-????-??
令狀態(tài)0,1,2平穩(wěn)后的概率分布分別為W1,W2,W3
31
1iiWPWW==???
=??∑得到1231
1232123(1)2
2
(1)221pppWWWWp
pWpWWWWWW?
-++=???+-+=??++=???
計(jì)算得到131313WWW?=??
?
=??
?=??
由齊次遍歷可得
112
()(|)3(1,,)(1)loglog3221iiippHXWHXWHppppp∞==?-=-+-∑uuvuuv
,
()log31.58/HXbit==符號(hào)由最大熵定理可知()HX∞uuv
存在極大值
或者也可以通過(guò)下面的方法得出存在極大值:
()121log(1)(1)loglog
1222(1
)HX
ppp
pppppp∞???-=---
+-++??=-?
??--?
?uuv
112(1)22(1)ppp=-+--又01p≤≤所以
0,2(1)pp∈+∞-當(dāng)p=2/3時(shí)12(1)p
p=-0()log02(1)HXp
pp∞?=->?-uuv
2/3()log02(1)
HXp
pp∞?=-1(;)IXY
所以其次個(gè)試驗(yàn)比第一個(gè)試驗(yàn)好
(2)由于Y1和Y2相互獨(dú)立,所以1212(|)(|)(|)pyyxpyxpyx=
121212111
(;)(,)(|)log4log1log12log2444
IXYYHYYHYYX∴=-=---?bit/符號(hào)
=1.5bit/符號(hào)
由此可見,做兩個(gè)試驗(yàn)比單獨(dú)做Y1可多得1bit的關(guān)于X的信息量,比單獨(dú)做Y2多得0.5bit的關(guān)于X的信息量。(3)
12112212212122(;|)(|)(|,)(,)()
(;,)(;)
IXYYHXYHXYYHXYHXHXIXYYHXIXYHXIXYYIXYYIXY=-=---=---=-
=1.5-1=0.5bit/符號(hào)
表示在已做Y2的狀況下,再做Y1而多得到的關(guān)于X的信息量同理可得
21121(;|)(;,)(;)IXYYIXYYIXY=-=1.5-0.5=1bit/符號(hào)
表示在已做Y1的狀況下,再做Y2而多得到的關(guān)于X的信息量
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第三章
3.1設(shè)二元對(duì)稱信道的傳遞矩陣為
??????????32313132(1)若P(0)=3/4,P(1)=1/4,求H(X),H(X/Y),H(Y/X)和I(X;Y);(2)求該信道的信道容量及其達(dá)到信道容量時(shí)的輸入概率分布;
解:1)
symbol
bitYXHXHYXIsymbolbitXYHYHXHYXHXYHYHYXHXHYXIsymbolbitypYHxypxpxypxpyxpyxpypxypxpxypxpyxpyxpypsymbol
bitxypxypxpXYHsymbol
bitxpXHj
ji
j
ijijiii/062.0749.0811.0)/()();(/749.0918.0980.0811.0)/()()()/()
/()()/()();(/980.0)4167.0log4167.05833.0log5833.0()()(4167
.03
2
413143)/()()/()()()()(5833.031
413243)/()()/()()()()(/918.010
log)3
2
lg324131lg314131lg314332lg3243()
/(log)/()()/(/811.0)41
log4143log43()()(222221212221221211112111222=-==-==+-=+-=-=-==?+?-=-==?+?=+=+==?+?=
+=+==??+?+?+?-=-==?+?-=-=∑∑∑∑
2)
2221122
max(;)loglog2(lglg)log100.082/3333
miCIXYmHbitsymbol
==-=++?=其最佳輸入分布為1
()2
ipx=
3-2某信源發(fā)送端有2個(gè)符號(hào),ix,i=1,2;()ipxa=,每秒發(fā)出一個(gè)符號(hào)。接受端有3
種符號(hào)iy,j=1,2,3,轉(zhuǎn)移概率矩陣為1/21/201/21/41/4P??
=????
。
(1)計(jì)算接受端的平均不確定度;
(2)計(jì)算由于噪聲產(chǎn)生的不確定度(|)HYX;(3)計(jì)算信道容量。
解:1/21/201/21/41/4P??
=??
??
聯(lián)合概率(,)ijpxy
(1)()log2loglog
24141HYaa
=+++-211161log2loglog24141aaaa
-=++-+
211111log2log16loglog
244141aa
aa-=+++-+2
3111log2loglog24141aa
aa
-=++-+取2為底
222
3111()(loglog)24141aaHYbitaa
-=++-+(2)11111111(|)logloglogloglog2
222224444a
aaaaHYX---??=-++
++????3(1)
log2log22
aa-=-+
3log22
a-=
取2為底
3(|)2
a
HYXbit-=
2()()()111max(;)max()(|)maxlog2loglog2
4141iiipxpxpxa
aacIXYHYHYXaa-??∴==-=++?-+??取e為底2
111(ln2lnln)2
4141aaaaaa
-?++-+?21121111ln2ln()24141411aaaaaaa-=+++---+-+221112ln2ln22(1)4141aaaaaa-=++--+-111ln2ln
241a
a
-=++=0
1114
aa-=+35a∴=
9
251311131log2loglog2541454c∴=?++?-312531log2loglog10416204=++3153
log2loglog2102410=+-15log24
=
3.3在有擾離散信道上傳輸符號(hào)0和1,在傳輸過(guò)程中每100個(gè)符號(hào)發(fā)生一個(gè)錯(cuò)誤,已知P(0)=P(1)=1/2,信源每秒內(nèi)發(fā)出1000個(gè)符號(hào),求此信道的信道容量。
解:
由題意可知該二元信道的轉(zhuǎn)移概率矩陣為:
0.990.010.010.99P??
=??
??
為一個(gè)BSC信道
所以由BSC信道的信道容量計(jì)算公式得到:
2
1
1
log()log2log
0.92/1
1000920/sec
iii
tCsHPpbitsignpCCCbitt
==-=-====∑
3.4求圖中信道的信道容量及其最佳的輸入概率分布.并求當(dāng)e=0和1/2時(shí)的信道
容量C的大小。
解:信道矩陣P=??
??
??????-e1e0ee10001-,此信道為非奇異矩陣,又r=s,可利用方程組求解
3
1
(|)jijjPbab=?
=3
1
(|)log(|)jijijPbaPba=?(i=1,2,3)
123230(1)(1)log(1)log(1)log(1)log(1)
bebebeeeeebebeeeeì=???
-+=--+í??+-=+--???解得10b=
23(1)log(1)logbbeeee==--+
所以C=log
2jj
b
?
=log
=log=log
X0
Y0
111
2
2
1-e
1-e
ee
2311(1)1()2(1)3211()2212(1)12(1)()212(1)()2()CCHCCPbPbPbPbeeeeebeebbeeeeee-------ì??====??+-+???-??==í?+-???==??????而3
1
()()(|)jijiiPbPaPba==?(j=1,2,3)
得11223323()()()()(1)()()()()(1)
PbPaPbPaPaPbPaPaeeeeì=???=-+í??=+-???所以P(a1)=P(b1)=(1)1
12(1)ee
ee-+-
2323(1)(1)()()()()12(1)PaPaPbPbee
ee
eeee--====+-
當(dāng)e=0時(shí),此信道為一一對(duì)應(yīng)信道,得
C=log3,1231
()()()3PaPaPa===
當(dāng)e=1/2時(shí),得C=log2,11()2Pa=,231
()()4
PaPa==
3.5求下列二個(gè)信道的信道容量,并加以比較
(1)
???
???----εεεεεε22pppp(2)??????----εεεεεε2024pppp
其中p+p=1
解:
(1)此信道是準(zhǔn)對(duì)稱信道,信道矩陣中Y可劃分成三個(gè)互不相交的子集由于集列所組
成的矩陣??????----εε
εε
pppp,???
?
??εε22而這兩個(gè)子矩陣滿意對(duì)稱性,因此可直接利用準(zhǔn)對(duì)稱信道的信道容量公式進(jìn)行計(jì)算。C1=logr-H(p1’p2’p3’)-
MkkNklog2
1
∑=
其中r=2,N1=M1=1-2εN2=ε2M2=4ε所以C1=log2-H(ε-p,p-ε,2ε)-(1-2ε)log(1-2ε)-2εlog4ε
=log2+(ε-p)log(ε-p)+(p-ε)log(p-ε)+2εlog2ε-(1-2ε)log(1-2ε)-2εlog4ε=log2-2εlog2-(1-2ε)log(1-2ε)+(ε-p)log(ε-p)+(p-ε)log(p-ε)=(1-2ε)log2/(1-2ε)+(ε-p)log(ε-p)+(p-ε)log(p-ε)
輸入等概率分布時(shí)達(dá)到信道容量。
(2)此信道也是準(zhǔn)對(duì)稱信道,也可采納上述兩種方法之一來(lái)進(jìn)行計(jì)算。先采納準(zhǔn)對(duì)稱信
道的信道容量公式進(jìn)行計(jì)算,此信道矩陣中Y可劃分成兩個(gè)互不相交的子集,由子
集列所組成的矩陣為?????
?----εε
εε
pppp,???
?
??εε2024這兩矩陣為對(duì)稱矩陣其中r=2,N1=M1=1-2εN2=M2=2ε,所以
C=logr-H(p-ε,p-ε,2ε,0)-∑=2
1
logkMkNk
=log2+(p-ε)log(p-ε)+(p-ε)log(p-ε)+2εlog2ε-(1-2ε)log(1-2ε)-2εlog2ε=log2-(1-2ε)log(1-2ε)+(p-ε)log(p-ε)+(p-ε)log(p-ε)=(1-2ε)log2/(1-2ε)+2εlog2+(p-ε)log(p-ε)+(p-ε)log(p-ε)=C1+2εlog2
輸入等概率分布(P(a1)=P(a2)=1/2)時(shí)達(dá)到此信道容量。比較此兩信道容量,可得C2=C1+2εlog2
3-6設(shè)有擾離散信道的傳輸狀況分別如圖3-17所示。求出該信道的信道容量。
X
Y
1/2
圖3-17
解:112
2
11221122112200000000?
???
????????
對(duì)稱信道
log(|)iCmHYa=-
1
log42log22
=-?
取2為底1C=bit/符號(hào)
3-7
(1)
條件概率,聯(lián)合概率,后驗(yàn)概率
py0()
1
3
:=,py1
()
1
2
:=,py2
()
1
6
:=
(2)
H(Y/X)=
(3)
當(dāng)接收為y2,發(fā)為x1時(shí)正確,假如發(fā)的是x1和x3為錯(cuò)誤,各自的概率為:
P(x1/y2)=1
5
,P(x2/y2)=
1
5
,P(x3/y2)=
3
5
其中錯(cuò)誤概率為:
Pe=P(x1/y2)+P(x3/y2)=1
5
3
5
+0.8
=
(4)平均錯(cuò)誤概率為
(5)仍為0.733
(6)此信道不好
緣由是信源等概率分布,從轉(zhuǎn)移信道來(lái)看
正確發(fā)送的概率x1-y1的概率0.5有一半失真
x2-y2的概率0.3有失真嚴(yán)峻
x3-y3的概率0完全失真(7)
H(X/Y)=
16Log2()
1
10
Log5()
+
1
15
Log
5
2
?
?
?
?
?
+
2
15
Log
5
2
?
?
?
?
?
+
1
10
Log5()
+
1
10
Log
5
3
?
?
?
?
?
+
1
30
Log10
()
+
3
10
Log
5
3
?
?
?
?
?
+1.301
=
3.8設(shè)加性高斯白噪聲信道中,信道帶寬3kHz,又設(shè){(信號(hào)功率+噪聲功率)/噪聲功率}=10dB。試計(jì)算該信道的最大信息傳輸速率C
t
。
解:
3.9在圖片傳輸中,每幀約有2.25106個(gè)像素,為了能很好地重現(xiàn)圖像,能分16個(gè)亮度電平,并假設(shè)亮度電公平概分布。試計(jì)算每分鐘傳送一幀圖片所需信道的帶寬(信噪功率比為30dB)。
解:
s
bittICbitNHIsymbolbitnHt/101.560
10910
10941025.2/416loglog56
6622?=?===?=??=====
z
15049)10001(log105.11log1log25
HPPCWPPWCNXt
NXt=+?=?
?????+=?
???
?
?+=
3-10一個(gè)平均功率受限制的連續(xù)信道,其通頻帶為1MHZ,信道上存在白色高斯噪聲。(1)已知信道上的信號(hào)與噪聲的平均功率比值為10,求該信道的信道容量;
(2)信道上的信號(hào)與噪聲的平均功率比值降至5,要達(dá)到相同的信道容量,信道通頻帶應(yīng)為多大?
(3)若信道通頻帶減小為0.5MHZ時(shí),要保持相同的信道容量,信道上的信號(hào)與噪聲的平均功率比值應(yīng)等于多大?解:(1)2log(1)CWSNR=+
6
2110log(110)=?+
3.159Mbps=
(2)222log(15)3.459CWMbps=+=
223.1591.338log6
M
WMHZ∴=
=
(3)'
332log(1)3.459CWSNRMbps=+=
'23.459
log(1)0.5
SNR+=
120SNR∴=
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第四章
4.2某二元信源??????=??????2/12/110)(XPX其失真矩陣為
???
???=aaD00求這信源的Dmax和Dmin和R(D)函數(shù)。
解:
021
021),(min)(202421),()(minminminmax=?+?===
?+?===∑∑ijijii
jiijjyxdxpDa
ayxdxpDD
由于二元等概信源率失真函數(shù):
?
??
??-=aDHnDRln)(
其中n=2,所以率失真函數(shù)為:
?
??
????????-?????-+-=aDaDaDaDDR1ln1ln2ln)(
4.3一個(gè)四元對(duì)稱信源??????=?????
?4/14/1324/14/110
)(XPX,接收符號(hào)Y={0,1,2,3},其失真矩陣為???????????
?0111101111011110,求Dmax和Dmin及信源的R(D)函數(shù),并畫出其曲線(取4至5個(gè)點(diǎn))。
解:
041
041041041),(min)(43041141141141),()(minminminmax=?+?+?+?===
?+?+?+?===∑∑ijijii
jiijjyxdxpDyxdxpDD
由于n元等概信源率失真函數(shù):
?
??
??-?????-+-+=aDaDnaDaDnDR1ln11lnln)(
其中a=1,n=4,所以率失真函數(shù)為:
()()DDD
DDR--++=1ln13ln
4ln)(
函數(shù)曲線:
D
其中:
symbol
natDRDsymbol
natDRDsymbol
natDRDsymbol
natRD/0)(,43
/12ln21
4ln)(,21/316ln214ln)(,41/4ln)0(,0==-==-====
4-3
d01
11101111011110?
?
??
??
?
?
信源熵為Hx()Log4()=2=
Dmax=min{34,34,34,3
4
}R(Dmax)=0
Dmin=0R(Dmin)=R(0)=H(X)=log(4)=2
py1()py2(),py3(),py4(),只要滿意p(y1)+p(y2)+p(y3)+p(y4)=1在區(qū)間可以任意取值。
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第五章
(2)哪些碼是非延長(zhǎng)碼?
(3)對(duì)全部唯一可譯碼求出其平均碼長(zhǎng)和編譯效率。解:首先,依據(jù)克勞夫特不等式,找出非唯一可譯碼
31123456231244135236:621
63
:222222164
63:
164
:22421:2521:2521
CCCCCC--------------?+?<
5C∴不是唯一可譯碼,而4C:
又依據(jù)碼樹構(gòu)造碼字的方法
1C,3C,6C的碼字均處于終端節(jié)點(diǎn)∴他們是即時(shí)碼
5-2
(1)由于A,B,C,D四個(gè)字母,每個(gè)字母用兩個(gè)碼,每個(gè)碼為0.5ms,所以每個(gè)字母用10ms當(dāng)信源等概率分布時(shí),信源熵為H(X)=log(4)=2平均信息傳遞速率為bit/ms=200bit/s
(2)信源熵為H(X)=
=0.198bit/ms=198bit/s
5-5
(1)1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
1
128
1
128
H(U)=
1
2
Log2()
1
4
Log4()
+
1
8
Log8()
+
1
16
Log16
()
+
1
32
Log32
()
+
1
64
Log64
()
+
1
128
Log128
()
+
1
128
Log128
()
+1.984
=
(2)每個(gè)信源使用3個(gè)二進(jìn)制符號(hào),消失0的次數(shù)為
消失1的次數(shù)為
P(0)=
P(1)=
(3)
信源符號(hào)
xi
符號(hào)概率
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