2022-2023學(xué)年廣東省廣州市六區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)含答案

2022-2023學(xué)年廣東省廣州市六區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）直線3x+y+1＝0的傾斜角為（）A．π3 B．2π3 C．π62．（5分）準(zhǔn)線方程為x＝2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．y2＝﹣4x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝﹣8x3．（5分）雙曲線x2A．62 B．32 C．34．（5分）經(jīng)過兩條直線2x+y﹣8＝0和x﹣2y+1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線3x﹣2y+4＝0的直線的方程是（）A．2x+3y﹣13＝0 B．2x+3y﹣12＝0 C．2x﹣3y＝0 D．2x﹣3y﹣5＝05．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C中，M，N分別為A1C1，B1B的中點(diǎn)，若MN→=xAB→+yAC→A．（1，-12，-12） B．（1，1C．（﹣1，12，12） D．（﹣1，126．（5分）動圓P過定點(diǎn)M（0，2），且與圓N：x2+（y+2）2＝4相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是（）A．y2-x2C．y23-7．（5分）橢圓x225+y216=1的一個焦點(diǎn)是F，過原點(diǎn)OA．14 B．15 C．18 D．208．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+（﹣1）nan+1＝1-n2022，記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則SA．506 B．759 C．1011 D．1012二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）已知a→=(1，1，-2)，A．|a→|=6C．a(chǎn)→⊥b→ （多選）10．（5分）數(shù)列{an}滿足a1＝10，an＝an﹣1﹣2（n≥2），則（）A．?dāng)?shù)列{an}是遞減數(shù)列 B．a(chǎn)n＝2n+8 C．點(diǎn)（n，an）都在直線y＝﹣2x+12 D．?dāng)?shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為32（多選）11．（5分）過雙曲線C：x2-y24=1的左焦點(diǎn)F1作直線A．雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x B．點(diǎn)F1到雙曲線C的漸近線的距離為4 C．直線l的斜率k取值范圍是{k|﹣2＜k＜2} D．若AF1的中點(diǎn)在y軸上，則直線l的斜率k=±（多選）12．（5分）過直線l：x+y+4＝0上的動點(diǎn)P分別作圓C1：x2+y2＝2與圓C2：（x﹣6）2+y2＝8的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則（）A．圓C1上恰好有兩個點(diǎn)到直線l的距離為32B．|PA|的最小值為6 C．|PC1|+|PC2|的最小值為229 D．直線l上存在兩個點(diǎn)P，使得|PB|＝2|PA|三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），且與直線2x+y﹣5＝0平行的直線的方程為．14．（5分）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a2+a8＝20，則數(shù)列{an}的前9項和S9＝．15．（5分）圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，水面寬4m，水面下降2m后，水面寬8m，則拱橋頂點(diǎn)O離水面l的距離為．16．（5分）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是AD，B1B的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在底面正方形ABCD內(nèi)（包括邊界），若B1P∥平面A1MN，則CP長度的最大值為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）在等差數(shù)列{an}中，a4＝﹣9，a7＝﹣6．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，求使不等式Sn＞0成立的n的最小值．18．（12分）已知圓C經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，3）兩點(diǎn)，且圓心C在直線2x﹣y﹣4＝0上．（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)（3，2）的直線l與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，如果|PQ|=42，求直線19．（12分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝4，AB＝BB1＝2，點(diǎn)E是BB1的中點(diǎn)．（1）求BD1與AE所成角的余弦值；（2）求BD1與平面ACE所成角的正弦值．20．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝9，Sn+1＝3Sn+9（n∈N*）．（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）若bn＝log3an，cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．21．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，△PBC為正三角形，平面PBC⊥平面ABC．（1）求點(diǎn)B到平面PAC的距離；（2）在線段PC上是否存在異于端點(diǎn)的點(diǎn)M，使得平面CPAC和平面MDE夾角的余弦值為77？若存在，確定點(diǎn)M22．（12分）已知橢圓：x2a（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)A，B為橢圓C上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，kOA?k

2022-2023學(xué)年廣東省廣州市六區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）直線3x+y+1＝0的傾斜角為（）A．π3 B．2π3 C．π6【解答】解：直線3x+y+1=0的斜率等于-3，設(shè)它的傾斜角等于θ，則0≤θ＜π，且tanθ∴θ=2π故選：B．2．（5分）準(zhǔn)線方程為x＝2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．y2＝﹣4x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝﹣8x【解答】解：根據(jù)題意，易得該拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，則設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝2mx，由拋物線的性質(zhì)，可得其準(zhǔn)線方程為x=-m則-m2=故其標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝﹣8x；故選：D．3．（5分）雙曲線x2A．62 B．32 C．3【解答】解：雙曲線x22-y2=1．可得a=所以e=c故選：A．4．（5分）經(jīng)過兩條直線2x+y﹣8＝0和x﹣2y+1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線3x﹣2y+4＝0的直線的方程是（）A．2x+3y﹣13＝0 B．2x+3y﹣12＝0 C．2x﹣3y＝0 D．2x﹣3y﹣5＝0【解答】解：聯(lián)立2x+y-8=0x-2y+1=0，解得x=3y=2，所以直線2x+y﹣8＝0和x﹣2故垂直于直線3x﹣2y+4＝0且過（3，2）的直線方程為y﹣2=-23（x﹣3），即2x+3故選：B．5．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C中，M，N分別為A1C1，B1B的中點(diǎn)，若MN→=xAB→+yAC→A．（1，-12，-12） B．（1，1C．（﹣1，12，12） D．（﹣1，12【解答】解：由題意可得MN=AB→-12AC→所以x＝1，y=-12，z所以（x，y，z）＝（1，-12，故選：A．6．（5分）動圓P過定點(diǎn)M（0，2），且與圓N：x2+（y+2）2＝4相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是（）A．y2-x2C．y23-【解答】解：由圓N的方程可得N（0，﹣2），半徑為2，設(shè)動圓P的半徑為r，由題意可得|PM|＝r，|PN|＝r﹣2，即|PM|﹣|PN|＝2＜|MN|，即點(diǎn)P在以M，N為焦點(diǎn)，焦距長為2c＝4，實軸長為2a＝2，由雙曲線的定義h虛軸長為2b＝24-1=23的雙曲線上，且點(diǎn)P在靠近點(diǎn)N所以P點(diǎn)的軌跡方程為：y2-x23故選：A．7．（5分）橢圓x225+y216=1的一個焦點(diǎn)是F，過原點(diǎn)OA．14 B．15 C．18 D．20【解答】解：設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF1，BF1，則四邊形F1AFB為平面四邊形，則|AF|+|BF|＝|AF|+|AF1|＝2×5＝10，則△ABF的周長為|AF|+|BF|+|AB|＝10+2|OA|，設(shè)A（x，y），則x2則x2即|OA|2≥16，即|OA|≥4，即當(dāng)A在短軸端點(diǎn)時，|OA|取最小值4，即當(dāng)A在短軸端點(diǎn)時，△ABF的周長取最小值10+2×4＝18，故選：C．8．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+（﹣1）nan+1＝1-n2022，記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則SA．506 B．759 C．1011 D．1012【解答】解：由題意，可得S2023＝a1+a2+???+a2023＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+???+（a2022+a2023）＝1+（1-22022）+（1-4＝1+1×20222-（2＝1012-＝1012-＝506．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）已知a→=(1，1，-2)，A．|a→|=6C．a(chǎn)→⊥b→ 【解答】解：∵a→=(1，1，-2)，∴b→=-2a→，可得D|a→|=12a→-2b→故選：AD．（多選）10．（5分）數(shù)列{an}滿足a1＝10，an＝an﹣1﹣2（n≥2），則（）A．?dāng)?shù)列{an}是遞減數(shù)列 B．a(chǎn)n＝2n+8 C．點(diǎn)（n，an）都在直線y＝﹣2x+12 D．?dāng)?shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為32【解答】解：已知數(shù)列{an}滿足a1＝10，an＝an﹣1﹣2（n≥2），則數(shù)列{an}是以10為首項，﹣2為公差的等差數(shù)列，對于選項A，因為d＝﹣2＜0，即數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，即選項A正確；對于選項B，an＝10+（n﹣1）×（﹣2）＝12﹣2n，即選項B錯誤；對于選項C，將點(diǎn)（n，an）代入直線方程y＝﹣2x+12，滿足an＝﹣2n+12，即選項C正確；對于選項D，Sn=(10+12-2n)n2=-n又n∈N+，則當(dāng)n＝5或n＝6時，Sn取最大值30，即選項D錯誤，故選：AC．（多選）11．（5分）過雙曲線C：x2-y24=1的左焦點(diǎn)F1作直線A．雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x B．點(diǎn)F1到雙曲線C的漸近線的距離為4 C．直線l的斜率k取值范圍是{k|﹣2＜k＜2} D．若AF1的中點(diǎn)在y軸上，則直線l的斜率k=±【解答】解：對選項A：雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，正確；對選項B：F1(-5，0)，取漸近線方程為2x+對選項C：漸近線方程為y＝±2x，故斜率k取值范圍是{k|﹣2＜k＜2}，正確；對選項D：AFl的中點(diǎn)在y軸上，則A的橫坐標(biāo)為5，5-y24=1，得到y(tǒng)＝±4，故A(故選：ACD．（多選）12．（5分）過直線l：x+y+4＝0上的動點(diǎn)P分別作圓C1：x2+y2＝2與圓C2：（x﹣6）2+y2＝8的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則（）A．圓C1上恰好有兩個點(diǎn)到直線l的距離為32B．|PA|的最小值為6 C．|PC1|+|PC2|的最小值為229 D．直線l上存在兩個點(diǎn)P，使得|PB|＝2|PA|【解答】解：圓C1：x2+y2＝2，圓心C1（0，0），半徑為r1=2圓C2：（x﹣6）2+y2＝8，圓心C2（6，0），半徑r2＝22，在A中，圓心C1到直線l的距離d=42=22在B中，圓心C1到直線l的距離d=42=22，所以|PA|≥d2-r在C中，設(shè)C1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為C1'（a，b），則ba=1a2+所以|PC1|+|PC2|＝|PC1'|+|PC2|≥|C1'C|=(6+4)2+(-4)2=229，當(dāng)且僅當(dāng)C2，P，C1'三點(diǎn)共線時取等號，所以|PC1|+|在D中，因為|PB|＝2|PA|，所以|PB|2＝4|PA|2，即|PC2|2-r22=4（|PC1|2﹣r1|2），設(shè)P（x，y），則（x﹣6）2+y2﹣8＝4（x2+y2﹣2），整理可得（x+2）2即P的軌跡為以（﹣2，0）為圓心，以4為半徑的圓，所以圓心（﹣2，0）到直線l的距離d'=22=故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），且與直線2x+y﹣5＝0平行的直線的方程為2x+y﹣7＝0．【解答】解：設(shè)與直線2x+y﹣5＝0平行的直線方程為2x+y+c＝0，將點(diǎn)A（3，1）代入，可得2×3+1+c＝0，解得c＝﹣7，所以經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），且與直線2x+y﹣5＝0平行的直線的方程為2x+y﹣7＝0．故答案為：2x+y﹣7＝0．14．（5分）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a2+a8＝20，則數(shù)列{an}的前9項和S9＝90．【解答】解：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a2+a8＝20，則S9故答案為：90．15．（5分）圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，水面寬4m，水面下降2m后，水面寬8m，則拱橋頂點(diǎn)O離水面l的距離為23【解答】解：建系如圖，設(shè)拱橋所在拋物線方程為x2＝﹣2py，（p＞0），根據(jù)題意可設(shè)水面所在直線l與拋物線的一個交點(diǎn)A為（2，t），則根據(jù)題意可得：水面下降2m后的水面直線l′與拋物線的一個交點(diǎn)B為（4，t﹣2），又A，B都在拋物線：x2＝﹣2py上，∴4=-2pt16=-2p(t-2)解得p=3t=-23，∴|yA∴拱橋頂點(diǎn)O離水面l的距離為23故答案為：2316．（5分）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是AD，B1B的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在底面正方形ABCD內(nèi)（包括邊界），若B1P∥平面A1MN，則CP長度的最大值為174【解答】解：如圖，以正方體的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），M（0，12，0），N（1，0，1動點(diǎn)P在底面正方形ABCD內(nèi)（包括邊界），則設(shè)P（x，y，z），且x，y∈[0，1]，則B1P→=（x﹣1，y，﹣1），設(shè)平面A1MN的法向量為n→=（A1N→=（1，0，12則A1N→?n→=0A1M→因為B1P∥平面A1MN，所以B1P→?n→=x﹣1+4y則x＝﹣4y+3∈[0，1]，所以y∈[12，3則|CP|=(x-1由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)y=12時，|CP|=12，y=3所以CP長度的最大值為174故答案為：174四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）在等差數(shù)列{an}中，a4＝﹣9，a7＝﹣6．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，求使不等式Sn＞0成立的n的最小值．【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，∵a4＝﹣9，a7＝﹣6，∴a1+3d=-9a故an＝a1+（n﹣1）d＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13；（2）Sn令Sn＞0，即12n2故n的最小值為26．18．（12分）已知圓C經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，3）兩點(diǎn)，且圓心C在直線2x﹣y﹣4＝0上．（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)（3，2）的直線l與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，如果|PQ|=42，求直線【解答】解：（1）由題意設(shè)圓心C（a，2a﹣4），設(shè)圓的半徑為r，則r2＝|CA|2＝|CB|2，即（a+1）2+（2a﹣4）2＝（a﹣2）2+（2a﹣7）2，解得a＝2，所以圓心C（2，0），半徑r＝|CA|=3所以圓C的方程為：（x﹣2）2+y2＝9；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)直線l的方程為x＝3，代入圓的方程可得12+y2＝9，可得y＝±22，所以|PQ|＝2×22=42當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx+t，因為點(diǎn)（3，2）在直線上，所以3k+t＝2，圓心C到直線l的距離d=|2k+t|弦長|PQ|＝2r2-d2=29-即|2k+t|1+k2=1，即|3k+2﹣2k|=1+k2，解得k所以直線PQ的方程為y=34x綜上所述：直線l的方程為：x＝3或y=34x19．（12分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝4，AB＝BB1＝2，點(diǎn)E是BB1的中點(diǎn)．（1）求BD1與AE所成角的余弦值；（2）求BD1與平面ACE所成角的正弦值．【解答】解：（1）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝4，AB＝BB1＝2，如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，4，2），D1（0，4，2），E（2，0，1），所以BD1→=(-2，4，2)，則BD1與AE所成角的余弦值為3030（2）設(shè)平面ACE的法向量為n→=(x，y，z)，又所以AC→?n→=2x+4y=0所以cos＜B故BD1與平面ACE所成角的正弦值為41420．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝9，Sn+1＝3Sn+9（n∈N*）．（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）若bn＝log3an，cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【解答】（1）證明：由題意，可設(shè)Sn+1﹣t＝3（Sn+1﹣t），則Sn+1﹣t＝3（Sn+1﹣t）＝3Sn+1﹣3t，即Sn+1＝3Sn+1﹣2t，由Sn+1＝3Sn+9，可得﹣2t＝9，即t=-9∴Sn+1+92=3（S∵S1+92=a1+∴數(shù)列{Sn+92}是以∴Sn+92=272∴Sn=3n+22-9當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1=3n+22-∵當(dāng)n＝1時，a1＝9也滿足上式，∴an＝3n+1＝9?3n﹣1，n∈N*，∴數(shù)列{an}是以9為首項，3為公比的等比數(shù)列．（2）解：由（1）可得，bn＝log3an＝log33n+1＝n+1，cn＝anbn＝（n+1）?3n+1，則Tn＝c1+c2+???+cn＝2?32+3?33+4?34+???+（n+1）?3n+1，3Tn＝2?33+3?34+???+n?3n+1+（n+1）?3n+2，兩式相減，可得﹣2Tn＝2?32+33+34+???+3n+1﹣（n+1）?3n+2＝2?32+33-3n+2=-2n+12?3n+2+2?32﹣（1=-2n+12?=-2n+1∴Tn=2n+14?3n+221．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，△PBC為正三角形，平面PBC⊥平面ABC．（1）求點(diǎn)B到平面PAC的距離；（2）在線段PC上是否存在異于端點(diǎn)的點(diǎn)M，使得平面CPAC和平面MDE夾角的余弦值為77？若存在，確定點(diǎn)M【解答】解：（1）連接PD，∵△PBC是正三角形，又D為BC中點(diǎn)，∴PD⊥BC，∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，PD?平面PBC，∴PD⊥平面ABC，又DB，DE?平面ABC，∴PD⊥DB，PD⊥DE，∵∠ABC＝90°，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，∴DE∥AB，AB⊥BC，∴BC⊥DE，如圖，以D為坐