第三章-3.3-第2課時

2023/12/27第三章3.3第2課時學習目標1.會解可化為一元二次不等式(組)的簡單分式不等式.2.能夠從實際生活和生產中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解決.3.掌握與一元二次不等式有關的恒成立問題的解法.問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學知識點一分式不等式的解法答案等價；好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經熟悉的一元二次不等式.梳理一般的分式不等式的同解變形法則：f(x)·g(x)>0f(x)·g(x)≤0g(x)≠0知識點二一元二次不等式恒成立問題思考x－1>0在區(qū)間[2，3]上恒成立的幾何意義是什么？區(qū)間[2，3]與不等式x－1>0的解集有什么關系？答案x－1>0在區(qū)間[2，3]上恒成立的幾何意義是函數(shù)y＝x－1在區(qū)間[2，3]上的圖象恒在x軸上方.區(qū)間[2，3]內的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故區(qū)間[2，3]是不等式x－1>0的解集的子集.梳理一般地，“不等式f(x)>0在區(qū)間[a，b]上恒成立”的幾何意義是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象全部在x軸

方.區(qū)間[a，b]是不等式f(x)>0的解集的

.含參不等式的恒成立問題通常轉化為分離參數(shù)求最值問題，即：若f(x)有最大值，則k≥f(x)恒成立?k≥

；若f(x)有最小值，則k≤f(x)恒成立?k≤

.上子集f(x)maxf(x)min[思考辨析判斷正誤]1.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(

)2.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(

)3.若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.(

)××√題型探究類型一分式不等式的解法例1

解下列不等式：解答解由ax－b>0的解集為(1，＋∞)，知a>0且a＝b.∴(ax＋b)(x－2)>0的解集為(－∞，－1)∪(2，＋∞).解答跟蹤訓練1

解下列不等式.解答解答∴(2x＋1)(x＋3)<0，解答命題角度1在R上的恒成立問題例2

當a為何值時，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集為R.類型二不等式恒成立問題解(1)當a2－1＝0即a＝1或－1時，①由a＝1，得原不等式為－1<0，恒成立.(2)當a2－1≠0即a≠±1時，反思與感悟對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.跟蹤訓練2

若一元二次不等式2kx2＋kx－

<0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為A.(－3，0]

B.[－3，0)

C.[－3，0]

D.(－3，0)∴k≠0，√答案解析命題角度2在給定閉區(qū)間上的恒成立問題例3

設函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對于一切實數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；解要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，顯然－1<0，滿足題意；若m≠0，∴綜上，m的取值范圍是(－4，0].解答(2)對于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍.解答解方法一要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立.當m>0時，g(x)在[1，3]上是增函數(shù)，∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，當m＝0時，－6<0恒成立；當m<0時，g(x)在[1，3]上是減函數(shù)，∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.方法二當x∈[1，3]時，f(x)<－m＋5恒成立，即當x∈[1，3]時，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.又m(x2－x＋1)－6<0，引申探究把例3(2)改為：對于任意m∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.解答解f(x)＜－m＋5，即mx2－mx－1＜－m＋5，m(x2－x＋1)－6＜0.設g(m)＝m(x2－x＋1)－6.∴g(m)在[1，3]上為增函數(shù)，要使g(m)＜0在[1，3]上恒成立，只需g(m)max＝g(3)＜0，即3(x2－x＋1)－6＜0，x2－x－1＜0，反思與感悟有關不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，通常處理方法有兩種：(1)考慮能否進行參變量分離，若能，則構造關于變量的函數(shù)，轉化為求函數(shù)的最大(小)值，從而建立參變量的不等式；(2)若參變量不能分離，則應構造關于變量的函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，并結合圖象建立參變量的不等式求解.跟蹤訓練3

當x∈(1，2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是

.解析構造函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1，2]，則f(x)在[1，2]上的最大值為f(1)或f(2).由于當x∈(1，2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立.(－∞，－5]答案解析類型三一元二次方程根的分布例4

已知關于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內，另一根在區(qū)間(1，2)內，求m的取值范圍；解答解由條件，得拋物線f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1與x軸的交點分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內，如圖(1)所示，(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內，求m的取值范圍.解拋物線與x軸的交點均落在區(qū)間(0，1)內，如圖(2)所示解答反思與感悟在解決一元二次方程根的分布問題時，可以從以下幾點考慮：(1)設方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，對應的二次函數(shù)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0).(2)結合二次函數(shù)開口方向研究對稱軸，判別式Δ＝b2－4ac.(3)確定區(qū)間端點值f(a)，f(b)的正負.跟蹤訓練4

已知x2＋2ax＋2a＋1＝0的兩個根均大于－1，求a的取值范圍.解設f(x)＝x2＋2ax＋2a＋1，則y＝f(x)的開口方向向上，且對稱軸為x＝－a，解答達標檢測1.若關于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大，則a的取值范圍是A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－2，1) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，依題意得f(1)<0，即1＋a2－1＋a－2<0，∴a2＋a－2<0，∴－2<a<1.√1234答案解析2.若產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數(shù)關系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產量是A.100臺

B.120臺

C.150臺

D.180臺√解析y－25x＝－0.1x2－5x＋3000≤0，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).故生產者不虧本的最低產量是150