第三章-3.3-第2課時

2023/12/27第三章3.3第2課時學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會解可化為一元二次不等式(組)的簡單分式不等式.2.能夠從實(shí)際生活和生產(chǎn)中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解決.3.掌握與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題的解法.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一分式不等式的解法答案等價(jià)；好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經(jīng)熟悉的一元二次不等式.梳理一般的分式不等式的同解變形法則：f(x)·g(x)>0f(x)·g(x)≤0g(x)≠0知識點(diǎn)二一元二次不等式恒成立問題思考x－1>0在區(qū)間[2，3]上恒成立的幾何意義是什么？區(qū)間[2，3]與不等式x－1>0的解集有什么關(guān)系？答案x－1>0在區(qū)間[2，3]上恒成立的幾何意義是函數(shù)y＝x－1在區(qū)間[2，3]上的圖象恒在x軸上方.區(qū)間[2，3]內(nèi)的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故區(qū)間[2，3]是不等式x－1>0的解集的子集.梳理一般地，“不等式f(x)>0在區(qū)間[a，b]上恒成立”的幾何意義是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象全部在x軸

方.區(qū)間[a，b]是不等式f(x)>0的解集的

.含參不等式的恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為分離參數(shù)求最值問題，即：若f(x)有最大值，則k≥f(x)恒成立?k≥

；若f(x)有最小值，則k≤f(x)恒成立?k≤

.上子集f(x)maxf(x)min[思考辨析判斷正誤]1.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(

)2.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(

)3.若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.(

)××√題型探究類型一分式不等式的解法例1

解下列不等式：解答解由ax－b>0的解集為(1，＋∞)，知a>0且a＝b.∴(ax＋b)(x－2)>0的解集為(－∞，－1)∪(2，＋∞).解答跟蹤訓(xùn)練1

解下列不等式.解答解答∴(2x＋1)(x＋3)<0，解答命題角度1在R上的恒成立問題例2

當(dāng)a為何值時，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集為R.類型二不等式恒成立問題解(1)當(dāng)a2－1＝0即a＝1或－1時，①由a＝1，得原不等式為－1<0，恒成立.(2)當(dāng)a2－1≠0即a≠±1時，反思與感悟?qū)τ谝辉尾坏仁胶愠闪栴}，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.跟蹤訓(xùn)練2

若一元二次不等式2kx2＋kx－

<0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為A.(－3，0]

B.[－3，0)

C.[－3，0]

D.(－3，0)∴k≠0，√答案解析命題角度2在給定閉區(qū)間上的恒成立問題例3

設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對于一切實(shí)數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；解要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，顯然－1<0，滿足題意；若m≠0，∴綜上，m的取值范圍是(－4，0].解答(2)對于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍.解答解方法一要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立.當(dāng)m>0時，g(x)在[1，3]上是增函數(shù)，∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，當(dāng)m＝0時，－6<0恒成立；當(dāng)m<0時，g(x)在[1，3]上是減函數(shù)，∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.方法二當(dāng)x∈[1，3]時，f(x)<－m＋5恒成立，即當(dāng)x∈[1，3]時，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.又m(x2－x＋1)－6<0，引申探究把例3(2)改為：對于任意m∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解答解f(x)＜－m＋5，即mx2－mx－1＜－m＋5，m(x2－x＋1)－6＜0.設(shè)g(m)＝m(x2－x＋1)－6.∴g(m)在[1，3]上為增函數(shù)，要使g(m)＜0在[1，3]上恒成立，只需g(m)max＝g(3)＜0，即3(x2－x＋1)－6＜0，x2－x－1＜0，反思與感悟有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，通常處理方法有兩種：(1)考慮能否進(jìn)行參變量分離，若能，則構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值，從而建立參變量的不等式；(2)若參變量不能分離，則應(yīng)構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，并結(jié)合圖象建立參變量的不等式求解.跟蹤訓(xùn)練3

當(dāng)x∈(1，2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是

.解析構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1，2]，則f(x)在[1，2]上的最大值為f(1)或f(2).由于當(dāng)x∈(1，2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立.(－∞，－5]答案解析類型三一元二次方程根的分布例4

已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的取值范圍；解答解由條件，得拋物線f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)，如圖(1)所示，(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的取值范圍.解拋物線與x軸的交點(diǎn)均落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，如圖(2)所示解答反思與感悟在解決一元二次方程根的分布問題時，可以從以下幾點(diǎn)考慮：(1)設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，對應(yīng)的二次函數(shù)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0).(2)結(jié)合二次函數(shù)開口方向研究對稱軸，判別式Δ＝b2－4ac.(3)確定區(qū)間端點(diǎn)值f(a)，f(b)的正負(fù).跟蹤訓(xùn)練4

已知x2＋2ax＋2a＋1＝0的兩個根均大于－1，求a的取值范圍.解設(shè)f(x)＝x2＋2ax＋2a＋1，則y＝f(x)的開口方向向上，且對稱軸為x＝－a，解答達(dá)標(biāo)檢測1.若關(guān)于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大，則a的取值范圍是A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－2，1) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，依題意得f(1)<0，即1＋a2－1＋a－2<0，∴a2＋a－2<0，∴－2<a<1.√1234答案解析2.若產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每臺產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產(chǎn)量是A.100臺

B.120臺

C.150臺

D.180臺√解析y－25x＝－0.1x2－5x＋3000≤0，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).故生產(chǎn)者不虧本的最低產(chǎn)量是150