2023江蘇數(shù)學(xué)試題及標(biāo)準(zhǔn)答案

2024江蘇數(shù)學(xué)試題及標(biāo)準(zhǔn)答案2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）

數(shù)學(xué)Ⅰ

圓柱的體積公式：Vsh=圓柱，其中s為圓柱的表面積，h為高．

圓柱的側(cè)面積公式：=Scl圓柱，其中c是圓柱底面的周長，l為母線長．

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．．．．．．．．．（1）已知集合{2134}A=--，，，，{123}B=-，，，則AB=_______．

{13}-，

由題意得{1,3}AB=-．

（2）已知復(fù)數(shù)2(52i)z=+(i為虛數(shù)單位)，則z的實部為_______．21

由題意22(52i)25252i(2i)2120iz=+=+??+=+，其實部為21．（3）右圖是一個算法流程圖，則輸出的n的值是_______．5

本題實質(zhì)上就是求不等式220n>的最小整數(shù)解．220n>整數(shù)解為5n≥，因此輸出的5n=．（4）從1236，，，這4個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù)，則所取2個數(shù)的乘積為6的

概率是_______．13

從1,2,3,6這4個數(shù)中任取2個數(shù)共有2

4

6C=種取法，其中乘積為6的有1,6和2,3兩種取法，因此所求概率為21

63P==．

（5）已知函數(shù)cosyx=與sin(2)(0)yx??=+>的左、

右焦點，頂點B的坐標(biāo)為(0)b，，

連結(jié)2BF并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結(jié)1

FC．（1）若點C的坐標(biāo)為

()

41

33

，

，且2BF=（2）若1

FCAB⊥，求橢圓離心率e的值．

解：（1）∵()

41

33C，，∴22161

999ab

+=，∵22222BFbca=+=

，∴222a==，∴21b=，

∴橢圓方程為2212xy+=．（2）設(shè)焦點12(0)(0)()FcFcCxy-，，，，，，∵AC，關(guān)于x軸對稱，∴()Axy-，，

∵2BFA，，三點共線，∴by

bcx+=--，即0bxcybc--=①

∵1

FCAB⊥，∴1y

bx

cc

?=-+-，即20xcbyc-+=②①②聯(lián)立方程組，解得2

22

2

2

22caxbcbcybc?=?-??=-?∴()

2222222acbcCbcbc--，C在橢圓上，∴()()

22

22222222

21acbcbcbcab

--+=，化簡得225ca=

，∴ca=

．（18）如圖，為愛護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設(shè)立一個圓形愛護區(qū)．規(guī)

劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；愛護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m．經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸)，4tan3

BCO∠=．

（1）求新橋BC的長；

（2）當(dāng)OM多長時，圓形愛護區(qū)的面積最大？．解：解法一：

（1）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．

由條件知A(0,60)，C(170,0)，直線BC的斜率4

3

BCktanBCO=∠=-－．

又由于AB⊥BC，所以直線AB的斜率3

4

ABk=．設(shè)點B的坐標(biāo)為(a,b)，

則kBC=041703ba-=--，kAB=603

04ba-=-，解得a=80，b=120．

所以BC

150=．因此新橋BC的長是150m．（2）設(shè)愛護區(qū)的邊界圓M的半徑為rm,OM=dm,(0≤d≤60)．

由條件知，直線BC的方程為4

(170)3

yx=--，即436800xy+-=，

由于圓M與直線BC相切，故點M(0，d)到直線BC的距離是r，即|3680|680355

dd

r--=

=

．由于O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80m，

所以80(60)80rdrd-??--?≥≥，即6803805

6803(60)80

5d

ddd-?-???-?--??

≥≥，解得1035d≤≤．

故當(dāng)d=10時,68035

d

r-=最大，即圓面積最大．所以當(dāng)OM=10m時，圓形愛護區(qū)的面積最大．

解法二：

（1）如圖，延長OA,CB交于點F．由于tan∠BCO=43．所以sin∠FCO=45，cos∠FCO=3

5．

由于OA=60,OC=170，所以O(shè)F=OCtan∠FCO=6803

．CF=850

cos3OCFCO=

∠，

從而5003AFOFOA=-=．由于OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO=4

5

，又由于AB⊥BC，所以BF=AFcos∠AFB==

400

3

，從而BC=CF－BF=150．因此新橋BC的長是150m．（2）設(shè)愛護區(qū)的邊界圓M與BC的切點為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MD=rm，

OM=dm(0≤d≤60)．由于OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，

故由（1）知，sin∠CFO=368053

MDMDrMFOFOMd===--所以68035

d

r-=

．由于O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80m，

所以80(60)80rdrd-??--?≥≥，即6803805

6803(60)80

5d

ddd-?-???-?--??

≥≥，解得1035d≤≤，

故當(dāng)d=10時，68035

d

r-=最大，即圓面積最大．所以當(dāng)OM=10m時，圓形愛護區(qū)的面積最大．

（19）已知函數(shù)()eexxfx-=+其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）證明：()fx是R上的偶函數(shù)；

（2）若關(guān)于x的不等式()e1xmfxm-+-≤在(0)+∞，上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）已知正數(shù)a滿意：存在0[1)x∈+∞，

，使得3000()(3)fxaxx，

即e1ee1xxx

m---+-≤對(0)x∈+∞，恒成立．令e(1)xtt=>，則211

tmtt--+≤對任意(1)t∈+∞，恒成立．∵22

11111(1)(1)11311

1

tttttttt--=-=---+-+-+-++-≥，當(dāng)且僅當(dāng)2t=時等號成立，∴13m-≤．（3）'()eexx

fx-=-，當(dāng)1x>時'()0fx>∴()fx在(1)+∞，上單調(diào)增，令3()(3)hxaxx=-+，'()3(1)hxaxx=--，

∵01ax>>，，∴'()0hx+．∵e-1e111lnlnlne(e1)ln1eaaaaaa---=-=--+，設(shè)()(e1)ln1maaa=--+，則e1e1'()1amaaa

---=-=，()11e2ea>+．當(dāng)()

11ee12e

a+，()ma單調(diào)增；當(dāng)e1a>-時，'()0ma時，()0ma；當(dāng)ea=時，()0ma=，e11eaa--=．（20）設(shè)數(shù)列{}na的前n項和為nS．若對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得nmSa=，

則稱{}na是“H數(shù)列”．

（1）若數(shù)列{}na的前n項和2()nnSn*=∈N，證明：{}na是“H數(shù)列”；

（2）設(shè){}na是等差數(shù)列，其首項11a=，公差0d，證明：()()22119xyxyxy++++≥．解：由于x>0,y>0,所以1+x+y2≥0>，1+x2+y≥0，所以(1+x+y2)(1+x2+y)≥=9xy．第22、23題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)．．．．．．．．．．．

．（22）盒中共有9個球，其中有4個紅球，3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完

全相同．

（1）從盒中一次隨機取出2個球，求取出的2個球顏色相同的概率P；

（2）從盒中一次隨機取出4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)分別記為123xxx，，，隨機變量X表示123xxx，

，中的最大數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望()EX．

解：（1）一次取2個球共有29C36=種可能狀況，2個球顏色相同共有222432CCC10++=種可能狀況，

∴取出的2個球顏色相同的概率1053618

P==．

（2）X的全部可能取值為432，，，則44

49C1(4)C126PX===；3131

45363

9CCCC13(3)C63

PX+===；11(2)1(3)(4)14

PXPXPX==-=-==．∴X的概率分布列為：

故X的數(shù)學(xué)期望1113120()23414631269

EX=?+?+?=．

（23）已知函數(shù)0sin()

(0)xfxxx

=>，設(shè)()nfx為1()nfx-的導(dǎo)數(shù)，n*∈N．

（1）求()()

122222

ffπππ+的值；

（2）證明：對任意的n*∈N，等式()()

1444nnnff-πππ+=成立．

解：（1）由已知，得102sincossin()()xxxfxfxxxx'?

?'===

-???

，于是21223cossinsin2cos2sin()()xxxxx

fxfxxxxxx''????'==-=--+

??????

，所以122

34216(),()22ffπππππ=-=-+，故122()()1222

ffπππ

+=-．

（2）由已知，得0()sin,xfxx=等式兩邊分別對x求導(dǎo)，得00()()cosfxxfxx'+=，

即01()()cossin()2

fxxfxxxπ+==+，類似可得122()()sinsin()fxxfxxxπ+=-=+，2333()()cossin()2

fxxfxxxπ+=-=+，344()()sinsin(2)fxxfxxxπ+==+．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1()()sin()2

nnnnfxxfxxπ-+=+對全部的n∈*N都成立．（i）當(dāng)n=1時，由上可知等式成立．

（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立,即1()()sin()

2

kkkkfxxfxxπ-+=+．

由于111()()()(1)()(),kkkkkkkkfxxfxkfxfxxfxkfxfx--+'''+=++=++

(1)cos()()sin2222