安全工程專業(yè)課件1.4實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分析

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實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分析4、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分析

由于實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)設(shè)備的不完善，周圍環(huán)境的影響，以及人的觀察力，測量程序等限制，實(shí)驗(yàn)觀測值和真值之間，總是存在一定的差異。人們常用絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差或有效數(shù)字來說明一個(gè)近似值的準(zhǔn)確程度。為了評(píng)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確性或誤差，認(rèn)清誤差的來源及其影響，需要對(duì)實(shí)驗(yàn)的誤差進(jìn)行分析和討論。由此可以判定哪些因素是影響實(shí)驗(yàn)精確度的主要方面，從而在以后實(shí)驗(yàn)中，進(jìn)一步改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方案，縮小實(shí)驗(yàn)觀測值和真值之間的差值，提高實(shí)驗(yàn)的精確性。4.1誤差的基本概念測量是人類認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)所不可缺少的手段。通過測量和實(shí)驗(yàn)?zāi)苁谷藗儗?duì)事物獲得定量的概念和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律性?？茖W(xué)上很多新的發(fā)現(xiàn)和突破都是以實(shí)驗(yàn)測量為基礎(chǔ)的。測量就是用實(shí)驗(yàn)的方法，將被測物理量與所選用作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較，從而確定其大小。1、真值與平均值真值是待測物理量客觀存在的確定值，也稱理論值或定義值。通常真值是無法測得的。若在實(shí)驗(yàn)中，測量的次數(shù)無限多時(shí)，根據(jù)誤差的分布定律，正負(fù)誤差的出現(xiàn)幾率相等。再經(jīng)過細(xì)致地消除系統(tǒng)誤差，將測量值加以平均，可以獲得非常接近于真值的數(shù)值。但是實(shí)際上實(shí)驗(yàn)測量的次數(shù)總是有限的。用有限測量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列幾種:

（1）算術(shù)平均值：算術(shù)平均值是最常見的一種平均值。設(shè)、、……、為各次測量值，代表測量次數(shù)，則算術(shù)平均值為：（1-1）

（2）幾何平均值：幾何平均值是將一組n個(gè)測量值連乘并開n次方求得的平均值。即：

（1-2）（3）均方根平均值：

（1-3）2、誤差的分類根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，一般分為3類：（1）系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差又稱可測誤差，它是由分析操作過程中的某些經(jīng)常原因造成的，在重復(fù)測定時(shí)，它會(huì)重復(fù)表現(xiàn)出來，對(duì)分析結(jié)果的影響比較固定。這種誤差可以設(shè)法減小到可忽略的程度。實(shí)驗(yàn)分析中將系統(tǒng)誤差歸納為以下幾個(gè)方面：①儀器誤差：這種誤差是由于使用儀器本身不夠精密所造成的。如未經(jīng)校正的容量瓶、秒表、砝碼、直尺及壓力表等。②方法誤差：這種誤差是由于分析方法本身不夠完善造成的。③試劑誤差：這如蒸餾水含雜質(zhì)或試劑不純等引起。④操作誤差：這種誤差是由于分析工作者掌握分析操作的條件不熟練，個(gè)人觀察器官不敏銳和固有的習(xí)慣所致。如滴定終點(diǎn)顏色的判斷偏深或偏淺，對(duì)儀器刻度表現(xiàn)讀數(shù)不準(zhǔn)確等。

（2）偶然誤差：又稱隨即誤差。它是由于在測量過程中不固定的因素所造成的。如：測量時(shí)的環(huán)境溫度、濕度和氣壓的微小波動(dòng)，都會(huì)使測量結(jié)果在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，其波動(dòng)大小和方向不固定，因此無法測量，也不可能校正，為不可測量誤差。偶然誤差產(chǎn)生的原因不明，因而無法控制和補(bǔ)償。但是，倘若對(duì)某一量值作足夠多次的等精度測量后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)偶然誤差完全服從正態(tài)分布規(guī)律，誤差的大小或正負(fù)的出現(xiàn)完全由概率決定。因此，隨著測量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨近于零，所以多次測量結(jié)果的算數(shù)平均值將更接近于真值。（3）過失誤差：過失誤差是一種顯然與事實(shí)不符的誤差，它往往是由于操作不正確、粗心大意造成的。3、精密度、準(zhǔn)確度和精確度反映測量結(jié)果與真實(shí)值接近程度的量，稱為精度（亦稱精確度），是指在相同條件下n次重復(fù)測定結(jié)果彼此相符合的程度。它與誤差大小相對(duì)應(yīng)，測量的精度越高，其測量誤差就越小?！熬取睉?yīng)包括精密度和準(zhǔn)確度兩層含義。（1）精密度：測量中所測得數(shù)值重現(xiàn)性的程度，稱為精密度。它反映偶然誤差的影響程度，精密度高就表示偶然誤差小。（2）準(zhǔn)確度：測量值與真值的偏移程度，稱為準(zhǔn)確度。它反映系統(tǒng)誤差的影響精度，準(zhǔn)確度高就表示系統(tǒng)誤差小。即誤差越小，準(zhǔn)確度越高；誤差越大，準(zhǔn)確度越低。（3）精確度（精度）：它反映測量中所有系統(tǒng)誤差和偶然誤差綜合的影響程度。

在一組測量中，精密度高的準(zhǔn)確度不一定高，準(zhǔn)確度高的精密度也不一定高，但精確度高，則精密度和準(zhǔn)確度都高。為了說明精密度與準(zhǔn)確度的區(qū)別，可用下述打靶子例子來說明。如圖1-2所示。

(a)(b)(c)圖1-2

精密度和準(zhǔn)確度的關(guān)系

圖1-2（a）中表示精密度和準(zhǔn)確度都很好，則精確度高；圖1-2（b）表示精密度很好，但準(zhǔn)確度卻不高；圖1-2（c）表示精密度與準(zhǔn)確度都不好。在實(shí)際測量中沒有像靶心那樣明確的真值，而是設(shè)法去測定這個(gè)未知的真值。實(shí)驗(yàn)人員在實(shí)驗(yàn)過程中，往往滿足于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的重現(xiàn)性，而忽略了數(shù)據(jù)測量值的準(zhǔn)確程度。絕對(duì)真值是不可知的，人們只能訂出一些國際標(biāo)準(zhǔn)作為測量儀表準(zhǔn)確性的參考標(biāo)準(zhǔn)。隨著人類認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)的推移和發(fā)展，可以逐步逼近絕對(duì)真值。4、誤差的表示方法利用任何量具或儀器進(jìn)行測量時(shí)，總存在誤差，測量結(jié)果總不可能準(zhǔn)確地等于被測量的真值，而只是它的近似值。測量的質(zhì)量高低以測量精確度作指標(biāo)，根據(jù)測量誤差的大小來估計(jì)測量的精確度。測量結(jié)果的誤差愈小，則認(rèn)為測量就愈精確。（1）絕對(duì)誤差：測量值和真值A(chǔ)0之差為絕對(duì)誤差，通常稱為誤差。記為：（1-5）由于真值A(chǔ)0一般無法求得，因而上式只有理論意義。常用高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器的示值作為實(shí)際值A(chǔ)以代替真值A(chǔ)0。由于高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器存在較小的誤差，因而A不等于A0，但總比更接近于A0。X與A之差稱為儀器的示值絕對(duì)誤差。記為：（1-6）與d相反的數(shù)稱為修正值，記為：

（1-7）通過檢定，可以由高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器給出被檢儀器的修正值A(chǔ)。利用修正值便可以求出該儀器的實(shí)際值A(chǔ)。即：

（1-8）（2）相對(duì)誤差：衡量某一測量值的準(zhǔn)確程度，一般用相對(duì)誤差來表示。示值絕對(duì)誤差d與被測量的實(shí)際值A(chǔ)的百分比值稱為實(shí)際相對(duì)誤差。記為：

（1-9）以儀器的示值X代替實(shí)際值A(chǔ)的相對(duì)誤差稱為示值相對(duì)誤差。記為：

（1-10）一般來說，除了某些理論分析外，用示值相對(duì)誤差較為適宜。

（3）引用誤差：為了計(jì)算和劃分儀表精確度等級(jí)，提出引用誤差概念。其定義為儀表示值的絕對(duì)誤差與量程范圍之比。

（1-11）式中：d——示值絕對(duì)誤差；——標(biāo)尺上限值-標(biāo)尺下限值。（4）算術(shù)平均誤差：算術(shù)平均誤差是各個(gè)測量點(diǎn)的誤差的平均值。

（1-12）式中：n——測量次數(shù)；di——為第次測量的誤差。（5）標(biāo)準(zhǔn)誤差：標(biāo)準(zhǔn)誤差亦稱為均方根誤差。其定義為:

（1-13）

上式使用于無限測量的場合。實(shí)際測量工作中，測量次數(shù)是有限的，則改用下式：

（1-14）標(biāo)準(zhǔn)誤差不是一個(gè)具體的誤差，σ的大小只說明在一定條件下等精度測量集合所屬的每一個(gè)觀測值對(duì)其算術(shù)平均值的分散程度，如果σ的值愈小則說明每一次測量值對(duì)其算術(shù)平均值分散度就小，測量的精度就高，反之精度就低。在實(shí)驗(yàn)中最常用的U形壓差計(jì)、轉(zhuǎn)子流量計(jì)、秒表、量筒、電壓等儀表原則上均取其最小刻度值為最大誤差，而取其最小刻度值的一半作為絕對(duì)誤差計(jì)算值。

5、精確度測量儀表的精確等級(jí)是用最大引用誤差（又稱允許誤差）來標(biāo)明的。它等于儀表示值中的最大絕對(duì)誤差與儀表的量程范圍之比的百分?jǐn)?shù)。（1-15）式中：δmax——儀表的最大測量引用誤差；dmax——儀表示值的最大絕對(duì)誤差；Xn——標(biāo)尺上限值—標(biāo)尺下限值。通常情況下是用標(biāo)準(zhǔn)儀表校驗(yàn)較低級(jí)的儀表。所以，最大示值絕對(duì)誤差就是被校表與標(biāo)準(zhǔn)表之間的最大絕對(duì)誤差。

測量儀表的精度等級(jí)是國家統(tǒng)一規(guī)定的，把允許誤差中的百分號(hào)去掉，剩下的數(shù)字就稱為儀表的精度等級(jí)。儀表的精度等級(jí)常以圓圈內(nèi)的數(shù)字標(biāo)明在儀表的面板上。例如某臺(tái)壓力計(jì)的允許誤差為1.5%，這臺(tái)壓力計(jì)電工儀表的精度等級(jí)就是1.5，通常簡稱1.5級(jí)儀表。儀表的精度等級(jí)為a，它表明儀表在正常工作條件下，其最大引用誤差的絕對(duì)值δmax不能超過的界限，即：（1-16）由式（1-16）可知，在應(yīng)用儀表進(jìn)行測量時(shí)所能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差（簡稱誤差限）為：（1-17）而用儀表測量的最大值相對(duì)誤差為：（1-18）

由上式可以看出，用只是儀表測量某一被測量所能產(chǎn)生的最大示值相對(duì)誤差，不會(huì)超過儀表允許誤差a%乘以儀表測量上限Xn與測量值X的比。在實(shí)際測量中為可靠起見，可用下式對(duì)儀表的測量誤差進(jìn)行估計(jì)，即：（1-19）【例1-1】用量限為5A，精度為0.5級(jí)的電流表，分別測量兩個(gè)電流，I1=5A，I2=2.5A，試求測量I1和I2的相對(duì)誤差為多少？由此可見，當(dāng)儀表的精度等級(jí)選定時(shí)，所選儀表的測量上限越接近被測量的值，則測量的誤差的絕對(duì)值越小。

【例1-2】欲測量約90V的電壓，實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有0.5級(jí)0-300V和1.0級(jí)0-100V的電壓表。問選用哪一種電壓表進(jìn)行測量為好？用0.5級(jí)0-300V的電壓表測量90V的相對(duì)誤差為：用1.0級(jí)0-100V的電壓表測量90V的相對(duì)誤差為：上例說明，如果選擇得當(dāng)，用量程范圍適當(dāng)?shù)?.0級(jí)儀表進(jìn)行測量，能得到比用量程范圍大的0.5級(jí)儀表更準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，在選用儀表時(shí)，應(yīng)根據(jù)被測量值的大小，在滿足被測量數(shù)值范圍的前提下，盡可能選擇量程小的儀表，并使測量值大于所選儀表滿刻度的三分之二，即X＞2Xn/3。這樣就可以達(dá)到滿足測量誤差要求，又可以選擇精度等級(jí)較低的測量儀表，從而降低儀表的成本。4.2有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則

在科學(xué)與工程中，該用幾位有效數(shù)字來表示測量或計(jì)算結(jié)果，總是以一定位數(shù)的數(shù)字來表示。不是說一個(gè)數(shù)值中小數(shù)點(diǎn)后面位數(shù)越多越準(zhǔn)確。實(shí)驗(yàn)中從測量儀表上所讀數(shù)值的位數(shù)是有限的，而取決于測量儀表的精度，其最后一位數(shù)字往往是儀表精度所決定的估計(jì)數(shù)字。即一般應(yīng)讀到測量儀表最小刻度的十分之一位。數(shù)值準(zhǔn)確度大小由有效數(shù)字位數(shù)來決定。1、有效數(shù)字1個(gè)數(shù)據(jù)，其中除了起定位作用的“0”外，其他數(shù)都是有效數(shù)字。如0.0037只有兩位有效數(shù)字，而370.0則有四位有效數(shù)字。一般要求測試數(shù)據(jù)有效數(shù)字為4位。要注意有效數(shù)字不一定都是可靠數(shù)字。

如測流體阻力所用的U形管壓差計(jì)，最小刻度是1mm，但我們可以讀到0.1mm，如342.4mmHg。又如二等標(biāo)準(zhǔn)溫度計(jì)最小刻度為0.1℃，我們可以讀到0.01℃，如15.16℃。此時(shí)有效數(shù)字為4位，而可靠數(shù)字只有三位，最后一位是不可靠的，稱為可疑數(shù)字。記錄測量數(shù)值時(shí)只保留一位可疑數(shù)字。為了清楚地表示數(shù)值的精度，明確讀出有效數(shù)字位數(shù)，常用指數(shù)的形式表示，即寫成一個(gè)小數(shù)與相應(yīng)10的整數(shù)冪的乘積。這種以10的整數(shù)冪來記數(shù)的方法稱為科學(xué)記數(shù)法。如75200有效數(shù)字為4位時(shí)，記為7.520*105；有效數(shù)字為3位時(shí)，記為7.52*105；有效數(shù)字為2位時(shí)，記為7.5*105；