第10章時間序列分析

28十二月2023第10章時間序列分析《統(tǒng)計學(xué)教程》第10章時間序列分析10.1描述性分析10.1.1時間序列的種類10.1.2發(fā)展水平和平均發(fā)展水平10.1.3增長量與平均增長量10.1.4發(fā)展速度和增長速度10.1.5平均發(fā)展速度與平均增長速度10.2長期趨勢分析10.2.1長期趨勢的因素分析10.2.2移動平均法10.2.3指數(shù)平滑10.2.4模型擬合法10.3季節(jié)變動分析10.3.1

長期趨勢的剔除10.3.2

季節(jié)指數(shù)的計算10.4循環(huán)變動分析/8:38PM第10章時間序列分析

10.1描述性分析《統(tǒng)計學(xué)教程》盧小廣《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析10.1.1時間序列的種類時間序列（TimeSeries）是指按照時間先后依次排列的觀測值所構(gòu)成的數(shù)列，因而也稱為時間數(shù)列，或動態(tài)數(shù)列。按照時間序列中依次排列的觀測值的屬性不同，可以將時間序列分為絕對數(shù)時間序列、相對數(shù)時間序列和平均數(shù)時間序列三種。其中絕對數(shù)時間序列又具體分為時期序列和時點序列兩種。

時期序列是由時期絕對數(shù)數(shù)據(jù)所構(gòu)成的時間序列，其中的每個數(shù)值反映現(xiàn)象在一段時間內(nèi)發(fā)展過程的總量。時點序列是由時點絕對數(shù)數(shù)據(jù)所構(gòu)成的時間序列，其中的每個數(shù)值反映現(xiàn)象在某一時點上所達(dá)到的水平。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析時期序列與時點序列的區(qū)別。

其一，時期序列中的各個數(shù)數(shù)值可以相加，各個數(shù)數(shù)值的和表示了在所對應(yīng)的時期之內(nèi)事物及其現(xiàn)象的發(fā)展總量。而時點序列中各個數(shù)數(shù)值相加通常沒有明確的意義；其二，時期序列中各項數(shù)值的大小與所包括的時期長短有直接關(guān)系，時點序列中各數(shù)數(shù)值與其時點間隔長短沒有直接關(guān)系。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析10.1.2發(fā)展水平和平均發(fā)展水平1．發(fā)展水平發(fā)展水平（DevelopmentLevel）是指時間序列中數(shù)據(jù)的具體數(shù)值，用來反映事物及其現(xiàn)象的數(shù)量特征在各個時期或時點上所達(dá)到的規(guī)模和水平。在時間序列分析中，用t表示時間，可以是年、季、月、周、日，也可以是任何一個時間間隔。用表示Y發(fā)展水平，通常把時間序列中的第一個數(shù)數(shù)值叫最初水平，用Y0表示。最后一個數(shù)數(shù)值叫最末水平，用YN表示，其余各項發(fā)展水平均稱為中間水平。在進(jìn)行兩項發(fā)展水平的比較時，一般把所研究的那個時間的發(fā)展水平叫報告期水平或計算期水平，用Y1表示，把用來作為比較基礎(chǔ)的發(fā)展水平叫基期水平，用Y0表示。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析2．平均發(fā)展水平平均發(fā)展水平（AverageDevelopmentLevel）使指時間序列中的發(fā)展水平的平均數(shù)，一般又稱為序時平均數(shù)。按照時間序列是時期序列，還是時點序列，序列中各項數(shù)據(jù)的時期長度是否一致，有以下4種平均發(fā)展水平的計算公式。

（1）時期序列，各項時期數(shù)據(jù)的時期長度一致，其計算公式為

（10.1）在時點序列情況下，采用逐日登記方式采集數(shù)據(jù)時，稱之為連續(xù)性的時點序列，一般也采用式（10.1）。（2）時期序列，各項時期數(shù)據(jù)的時期長度（用表示）不一致，其計算公式為

（10.2）/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析（3）時點序列，各項時點數(shù)據(jù)的間隔時間長度一致，其計算公式為

（10.3）（4）時點序列，各項時點數(shù)據(jù)的間隔時間長度不一致，其計算公式為

（10.4）采用式（10.3）和式（10.4），由時點序列計算平均發(fā)展水平的基本思想是假定數(shù)據(jù)在相鄰兩個時點之間的變動是均勻的，呈直線發(fā)展的，時間間隔越大，這一假定性就越大，準(zhǔn)確程度也就越差。為此，時點序列數(shù)據(jù)之間的時間間隔不宜過長。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析3．由相對數(shù)或平均數(shù)時間序列計算平均發(fā)展水平相對數(shù)和平均數(shù)時間序列，需先分別計算出分子、分母兩個絕對數(shù)時間序列的序時平均數(shù)，然后再進(jìn)行分子和分母的對比，進(jìn)而求出相對數(shù)和平均數(shù)時間序列的平均發(fā)展水平。由相對數(shù)或平均數(shù)時間序列計算平均發(fā)展水平基本公式為

（10.5）/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析

例10.1

某工廠第三季度各月計劃完成情況如表10.1所示。表10.1某工廠第三季度各月計劃完成情況要求試計算該工廠第三季度計劃完成程度。（1）在各月的計劃數(shù)和實際數(shù)數(shù)據(jù)都具備時，直接采用式（10.5）計算。（2）在擁有各月的計劃數(shù)和計劃完成情況數(shù)據(jù)，缺少母項數(shù)據(jù)時，則可根據(jù)式（10.5）間接地獲得各月的實際數(shù)數(shù)據(jù)，再計算出該工廠第三季度計劃完成程度。（3）在擁有各月的實際數(shù)和計劃完成情況數(shù)據(jù)，缺少子項計劃數(shù)數(shù)據(jù)時，仍然可以根據(jù)式（10.5）間接地獲得各月的計劃數(shù)數(shù)據(jù)，再計算出該工廠第三季度計劃完成程度。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析例10.2

某商店第二季度商品流轉(zhuǎn)次數(shù)及有關(guān)資料如表10.2所示。表10.2某商店第二季度商品流轉(zhuǎn)情況要求試計算該商店第二季度月平均商品流轉(zhuǎn)次數(shù)。

（1）計算子項——該商店第二季度月平均零售總額。采用式（10.1），有（2）計算母項——該商店第二季度月平均庫存額。采用式（10.3）計算。有（3）比較子項和母項，該商店第二季度月平均商品流轉(zhuǎn)次數(shù)為1.78次。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析10.1.3增長量與平均增長量1．增長量增長量（GrowthAmount）是時間序列中報告期水平與基期水平之差，用來說明事物及其現(xiàn)象的某一數(shù)量特征在一定時期內(nèi)增減變動的水平。在計算增長量數(shù)時，由于采用的基期不同，增長量分為逐期增長量和累計增長量兩種。累計增長量是報告期水平同某一固定時期水平（通常為最初水平）之差，說明報告期比某一固定時期增加或減少的總量數(shù)量。

（10.6）逐期增長量是時刻的報告期水平同前一時期時刻水平之差，說明報告期比前一期增加或減少的總量。

（10.7）

逐期增長量與累計增長量之間的關(guān)系為逐期增長量之和等于對應(yīng)的累計增長量。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析2．平均增長量平均增長量（AverageGrowthAmount）是逐期增長量的算術(shù)平均數(shù)，用來事物及其現(xiàn)象的某一數(shù)量特征在一定時期內(nèi)平均每期增加或減少的絕對數(shù)量。其計算公式為

（10.9）

由于逐期增長量之和等于累計增長量，所以上式又可寫成：

（10.10）

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析10.1.4發(fā)展速度和增長速度1．發(fā)展速度。發(fā)展速度（DevelopmentRate）是時間序列中報告期水平與基期水平之比，說明某一數(shù)量特征在一定時期內(nèi)的相對程度的高低變化。發(fā)展速度可分為定基發(fā)展速度和環(huán)比發(fā)展速度。定基發(fā)展速度是報告期水平與某一固定時期水平（通常為最初水平）之比，表明事物及其現(xiàn)象的數(shù)量特征在一個較長時期內(nèi)總的變動情況。

（10.11）環(huán)比發(fā)展速度是時刻的報告期水平同前一期水平之比，反映事物及其現(xiàn)象的數(shù)量特征的逐期發(fā)展變動情況。

（10.12）環(huán)比發(fā)展速度的連乘積等于對應(yīng)的定基發(fā)展速度。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析2．增長速度增長速度（GrowthRate）是增長量與基期水平之比，說明事物及其現(xiàn)象的某一數(shù)量特征在一定時期內(nèi)增長的相對程度，也稱為增長率。

由于增長量是報告期水平與基期水平之差，所以增長速度等于發(fā)展速度減去1，當(dāng)發(fā)展速度大于1時，增長速度為正值，表明事物及其現(xiàn)象某一數(shù)量特征的增長程度；當(dāng)發(fā)展速度小于1時，增長速度為負(fù)值，表明某一數(shù)量特征降低的程度。由于所采用的基期不同，增長速度也分為定基增長速度和環(huán)比增長速度。定基增長速度是累計增長量與固定基期水平之比，反映某一數(shù)量特征在一段較長時期內(nèi)總的增長程度。環(huán)比增長速度是逐期增長量與前期水平之比，反映某一數(shù)量特征的逐期增長程度。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析為了剔除季節(jié)變動影響，滿足經(jīng)濟(jì)管理需要，在政府統(tǒng)計工作中經(jīng)常使用年距增長量、年距發(fā)展速度和年距增長速度等，具有年距特征的統(tǒng)計指標(biāo)。有

年距增長量＝本期發(fā)展水平

—

上年同期發(fā)展水平

年距發(fā)展速度（%）＝（本期發(fā)展水平/上年同期發(fā)展水平）×100％

年距增長速度（%）＝年距發(fā)展速度（%）—100%

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析

10.1.5平均發(fā)展速度與平均增長速度平均發(fā)展速度是時間序列中的環(huán)比發(fā)展速度的動態(tài)平均數(shù)。平均增長速度是時間序列中的環(huán)比增長速度的動態(tài)平均數(shù)。平均增長速度不能通過環(huán)比增長速度直接計算，而必須在平均發(fā)展速度的基礎(chǔ)上間接計算。平均發(fā)展速度與平均增長速度之間的關(guān)系是平均增長速度＝平均發(fā)展速度－1，即

（10.16）根據(jù)環(huán)比發(fā)展速度計算的平均發(fā)展速度，也是一種序時平均數(shù)，可以采用幾何平均法或方程式法這兩種方法來計算。

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析1．水平法水平法又叫幾何平均法。由于現(xiàn)象在一段時期內(nèi)環(huán)比發(fā)展的總速度不等于各期環(huán)比發(fā)展速度之和，而是等于各期環(huán)比發(fā)展速度的連乘積，所以計算平均發(fā)展速度不能應(yīng)用算術(shù)平均法，可以使用幾何平均法。即（10.17）水平法的思想是從最初水平出發(fā)，每一期都按照平均發(fā)展速度勻速遞增，到最末一期正好達(dá)到實際的最末水平。因此，水平法的著眼點是最初水平和最末水平，符合經(jīng)濟(jì)管理中許多情況下人們對平均發(fā)展速度的理解和要求。例如在研究社會生產(chǎn)能力和發(fā)展水平時，如計算一定時間內(nèi)國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到的水平時，就要使用水平法來計算這一段時間內(nèi)國內(nèi)生產(chǎn)總值的平均發(fā)展速度。但是水平法忽略了對于中間水平的考察，一般需要計算分段的水平法平均發(fā)展速度加以補(bǔ)充。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析2．累計法累計法又稱為方程式法。這種方法的基本思想是從最初水平出發(fā)，每期按照平均發(fā)展速度固定發(fā)展，將各期推算的遞增的水平加總，恰好等于各期實際水平的總和。即（10.18）

累計法不僅考慮了最初水平和最末水平，而且還考慮了中間水平的的數(shù)值水平。當(dāng)我們分析以各期累計數(shù)值為目標(biāo)的實際問題時，應(yīng)采用累計法。運(yùn)用累計法得到的平均發(fā)展速度，計算的最末水平一般不等于實際的最末水平數(shù)值。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析

例10.3

某鋼鐵企業(yè)近五年產(chǎn)品產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表10.3所示。表10.3某鋼鐵企業(yè)近五年產(chǎn)品產(chǎn)量情況萬噸

要求試計算該鋼鐵企業(yè)近五年產(chǎn)品產(chǎn)量的逐期增長量、累計增長量、環(huán)比發(fā)展速度、定基發(fā)展速度、平均增長量、以及運(yùn)用水平法計算平均發(fā)展速度，和平均增長速度。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析

表10.4某鋼鐵企業(yè)近五年產(chǎn)品產(chǎn)量情況分析

平均增長量=1390萬噸 平均發(fā)展速度=139.44% 平均增長速度=39.44%/8:38PM第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析《統(tǒng)計學(xué)教程》盧小廣《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2.1長期趨勢的因素分析1．時間序列變動的影響因素時間序列所反映的某一數(shù)量特征的發(fā)展變化是由多種復(fù)雜因素共同作用的結(jié)果，可將時間序列中的影響因素大致歸納為四類，即長期趨勢（T）、季節(jié)變動（S）、循環(huán)變動（C）和不規(guī)則變動（I）。長期趨勢（Trend）是指時間序列在一個相當(dāng)長時期內(nèi)，持續(xù)向上或向下發(fā)展變化的趨勢，反映了長期發(fā)揮作用的基本因素引起的變動。季節(jié)變動（SeasonalFluctuation）是指時間序列以一年為周期的有規(guī)律的波動。循環(huán)變動（CyclicalFluctuation）是指時間序列中圍繞長期趨勢的一種高低往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)則性變動。不規(guī)則變動（IrregularVariations）即為剩余變動，是指時間序列中除了長期趨勢（T）、季節(jié)變動（S）和循環(huán)變動（C）的變動之外的，受隨機(jī)的、偶然的因素引起的一種非趨勢性、非周期性的變動。10.2長期趨勢分析

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析2．時間序列變動因素的測定模型當(dāng)時間序列中的四類變動因素按照總和的方式組合起來，即將時間序列的總變動（Y）表現(xiàn)為各種因素變動的總和，這時有（10.19）稱之為加法模型。在加法模型中，Y，T，S，C和I均為絕對數(shù)。當(dāng)時間序列中的四類變動因素按照連乘的方式組合起來，即將時間序列的總變動（Y）表現(xiàn)為各種因素變動的積，這時有（10.20）稱之為乘法模型。在乘法模型中，Y，T為絕對數(shù)，S，C和I為相對數(shù)，一般用百分?jǐn)?shù)表示。由于相對數(shù)具有直接的可比性，乘法模型得到了廣泛的使用。此外，還有將加法模型和乘法模型綜合運(yùn)用的混合模型等用于測定時間序列變動因素的其它模型形式。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

10.2.2移動平均法移動平均法（MovingAverageMethod）是指逐期移動計算時間序列的序時平均數(shù)的方法和過程，也稱為移動平滑法。在趨勢分析中，將移動平均數(shù)作為趨勢值或預(yù)測值，移動平均數(shù)一般記為。

1．簡單移動平均簡單移動平均（SimpleMovingAverage）是指以t時刻之前K期發(fā)展水平的簡單序時平均數(shù)作為第t+1時刻發(fā)展水平的預(yù)測值的方法和過程。在移動平均中稱K為移動間隔，移動間隔為K的移動平均稱為K項移動平均。事物發(fā)展運(yùn)動的數(shù)量特征總是圍繞著基本趨勢上下波動，采用移動平均數(shù)值作為預(yù)測數(shù)值，就是試圖通過移動平均消除原時間序列數(shù)據(jù)中的波動干擾，將事物及其現(xiàn)象某一數(shù)量特征的長期趨勢呈現(xiàn)出來。移動平均數(shù)值所具有的滯后性、穩(wěn)健性的平滑數(shù)值特征，恰好滿足了一些時間序列長期趨勢分析的要求。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析有第t+1時刻的移動平均預(yù)測值為（10.21）由式（10.21）可見，簡單移動平均就是以逐期移動的方式，采用式（10.1）計算出各期的序時平均數(shù)作為預(yù)測值。由此，可得出簡單移動平均預(yù)測值的遞推公式，為（10.22）利用式（10.22）的簡單移動平均遞推公式，可以更加便利地計算出第時刻的移動平均預(yù)測值。

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

例10.4

某城市近15年以來人口自然增長率數(shù)據(jù)如表10.5所示。表10.5某城市近16年人口自然增長率情況‰

要求試在移動間隔為3、5、7時，對該市近16年以來人口自然增長率進(jìn)行簡單移動平均分析。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析2．加權(quán)移動平均加權(quán)移動平均（WeightedMovingAverage）是指以t時刻之前K期發(fā)展水平的加權(quán)算術(shù)平均值作為第t+1時刻發(fā)展水平的預(yù)測值的方法和過程。有（10.23）式（10.21）中的權(quán)數(shù)一般是以t時刻的權(quán)數(shù)數(shù)值最大，然后逐項減小，以反映離預(yù)測時刻越近的數(shù)值對預(yù)測值影響力越大的客觀要求，所以，加權(quán)移動平均是以逐期移動的方式，采用類似式（10.2）的加權(quán)方式計算出各期的序時平均數(shù)作為預(yù)測值。由于式（10.21）中的各項權(quán)數(shù)的數(shù)值各不相同，使得加權(quán)移動平均的遞推公式不能導(dǎo)出一般形式的遞推公式。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

10.2.3指數(shù)平滑指數(shù)平滑（ExponentialSmoothing）是指以作為時間序列中第t-j項數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)，計算出來作為第t+1時刻發(fā)展水平的預(yù)測值的方法和過程。有一次指數(shù)平滑的第t+1時刻的預(yù)測值的計算公式為（10.24）

由式（10.24）可以看出一次指數(shù)平滑的預(yù)測值為t+1時刻之前所有發(fā)展水平的加權(quán)算術(shù)平均值。權(quán)數(shù)的數(shù)值依其平滑因子的取值呈指數(shù)衰減，靠近時刻的權(quán)數(shù)數(shù)值最大，其它則逐項減小。并且權(quán)數(shù)的數(shù)值呈指數(shù)衰減的速度，決定于平滑因子的取值。平滑因子α的取值越大，越趨于1，（1-α）數(shù)值越小，權(quán)數(shù)的數(shù)值呈指數(shù)衰減的速度越快，靠近時刻的數(shù)據(jù)對一次指數(shù)平滑的預(yù)測值的影響越大，預(yù)測值表現(xiàn)得越為敏感。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析由式（10.24）可導(dǎo)出一次指數(shù)平滑的遞推公式，由有一次指數(shù)平滑的遞推公式為（10.25）利用遞推公式，只要根據(jù)時刻的預(yù)測值，和時刻的實際發(fā)展水平數(shù)據(jù)，以及平滑因子就可以簡單而快捷地計算出時刻的一次指數(shù)平滑預(yù)測值。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

例10.5

仍然采用例10.5的某城市近15年以來人口自然增長率實例，試在平滑因子分別為0.5、0.25、0.1時，進(jìn)行一次指數(shù)平滑分析。

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

10.2.4模型擬合法使用移動平均數(shù)值作為預(yù)測值是將一個平均數(shù)值，人為地前移之后，作為t+1時刻的預(yù)測數(shù)值，存在著一個固有的，不可克服的滯后問題。所以，在許多場合需要采用模型擬合法對長期趨勢進(jìn)行預(yù)測和分析。對于長期趨勢的模型擬合是采用數(shù)學(xué)方程的形式，來模擬客觀存在的事物及其現(xiàn)象的某一數(shù)量特征的基本的、穩(wěn)定的、長期的增長規(guī)律性，因此又統(tǒng)稱為趨勢模型，或增長模型。趨勢模型與在第9章中介紹的回歸模型的共同特點是均可采用回歸的方法來估計模型的參數(shù)，但是趨勢模型并不揭示事物及其現(xiàn)象之間的因果聯(lián)系，只是反映事物及其現(xiàn)象的某一數(shù)量特征依時間推移所呈現(xiàn)出來的某種變動的規(guī)律性。因而趨勢模型也被稱為非因果關(guān)系的定量模型。

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析1．線性模型擬合當(dāng)事物及其現(xiàn)象的某一數(shù)量特征依時間推移呈現(xiàn)出穩(wěn)定的增長或上升的直線變動趨勢時，可以采用線性模型來描述其變動規(guī)律性，進(jìn)行相關(guān)的預(yù)測和分析。有線性方程為（10.26）式（10.26）就是線性趨勢方程，或稱直線趨勢方程。由最小二乘法，可以得到求解線性方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（10.28）/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

例10.6某企業(yè)自1991年至2005年以來年產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表10.8所示。

表10.8某企業(yè)近15年產(chǎn)品產(chǎn)量情況萬噸要求試采用線性模型擬合方法，估計該企業(yè)自1991年至2005年的15年以來年產(chǎn)量的線性趨勢方程，并預(yù)計該企業(yè)在2006年度的產(chǎn)量。解首先分析該企業(yè)近15年以來年產(chǎn)量的發(fā)展水平是否存在顯著的線性趨勢，然后采用式（10.28）來估計該企業(yè)近15年以來年產(chǎn)量的線性趨勢方程，并對企業(yè)在2006年度的產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析（1）繪制散點圖或折線圖，對該企業(yè)近15年以來年產(chǎn)量的發(fā)展水平是否存在顯著的線性趨勢進(jìn)行初步判斷。根據(jù)表10.8數(shù)據(jù)繪制的折線圖如圖10.3所示，該折線圖概略地描繪出該企業(yè)近15年以來年產(chǎn)量的發(fā)展水平存在著線性趨勢。

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析（2）計算該企業(yè)近15年以來年產(chǎn)量的發(fā)展水平與時間的相關(guān)系數(shù)，對兩者之間的線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行定量分析。計算出年產(chǎn)量與時間的相關(guān)系數(shù)為0.9905，并對其進(jìn)行顯著性檢驗，有檢驗統(tǒng)計值為該檢驗統(tǒng)計量的自由度為n-2=13，在顯著性水平為0.05下，檢驗統(tǒng)計值大于t分布臨界值，拒絕的原假設(shè)，認(rèn)為該企業(yè)近15年以來年產(chǎn)量的發(fā)展水平與時間之間存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析（3）運(yùn)用式（10.28）估計出該企業(yè)近15年以來年產(chǎn)量的線性趨勢方程（4）預(yù)測該企業(yè)在2006年度的產(chǎn)量。由擬合的線性趨勢方程，令t=16，預(yù)計該企業(yè)在2006年度的產(chǎn)量為1176.33萬噸。（5）統(tǒng)計顯著性檢驗

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析2．二次曲線模型擬合當(dāng)事物及其現(xiàn)象的某一數(shù)量特征依時間推移呈現(xiàn)出拋物線的形態(tài)時，可以考慮擬合二次曲線方程來描述其變動規(guī)律性，進(jìn)行相關(guān)的預(yù)測和分析。有二次曲線方程為（10.29）由最小二乘法，可以得到求解待估參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（10.30）/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

例10.7若例10.7中某企業(yè)自1991年至2005年以來15年中產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，依時間推移呈現(xiàn)出二次曲線的特征。要求試采用二次曲線模型擬合方法，估計該企業(yè)自1991年至2005年的15年以來年產(chǎn)量的二次曲線趨勢方程，并預(yù)計該企業(yè)在2006年度的產(chǎn)品產(chǎn)量。表10.12方差分析表表10.13參數(shù)估計表

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

3．指數(shù)曲線模型擬合指數(shù)曲線模型（ExponentialCurveModel）是指呈幾何級數(shù)變動特征的數(shù)學(xué)模型。有指數(shù)曲線方程為（10.31）在指數(shù)曲線模型里，待估參數(shù)

的經(jīng)濟(jì)意義類似于最初水平；而待估參數(shù)相當(dāng)于平均發(fā)展速度，表示某一數(shù)量特征依時間推移按照的數(shù)值水平呈幾何級數(shù)變動。對式（10.31）等號的左右端同時取自然對數(shù)，即將指數(shù)曲線方程“線性化”，得到對數(shù)線性方程，并由最小二乘法，可以得到求解和的標(biāo)準(zhǔn)方程為（10.33）/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析例10.8某企業(yè)自1990年至2005年產(chǎn)品年銷售總額數(shù)據(jù)如表10.8所示。表10.14某企業(yè)1990年至2005年銷售總額情況萬元

表10.16方差分析表表10.17參數(shù)估計表/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

4．修正指數(shù)曲線模型擬合修正指數(shù)曲線模型（ModifiedExponentialCurveModel）是在指數(shù)曲線模型基礎(chǔ)上增加了一個常數(shù)項，將指數(shù)曲線沿y軸平移了K個單位的趨勢模型。當(dāng)事物及其現(xiàn)象的某一數(shù)量特征在初期快速增長，隨后增長逐漸減緩，增長速度依時間推移呈現(xiàn)出幾何級數(shù)下降的變動趨勢時，可以采用修正指數(shù)曲線模型來描述其變動規(guī)律性，進(jìn)行相關(guān)的預(yù)測和分析。有修正指數(shù)曲線方程為（10.34）

一般來說，修正指數(shù)曲線模型適宜在和的條件下使用。由于修正指數(shù)曲線模型中增加了一個常數(shù)項的待估參數(shù)，不能夠通過簡單的變化來實現(xiàn)對模型的線性化處理，一般采用三和法求解修正指數(shù)曲線方程中的待估參數(shù)。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析三和法將時間序列中的發(fā)展水平等分為3個部分，每個部分的項數(shù)為m項，構(gòu)成了3項等式在此基礎(chǔ)上來解出3個待估參數(shù)。由幾何級數(shù)的前n項和公式，有可以解得修正指數(shù)曲線方程中3個待估參數(shù)的公式為

（10.38）/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

例10.9某公司自1988年至2005年主產(chǎn)品A年銷售總額數(shù)據(jù)如表10.18所示。表10.18某公司1988年至2005年A產(chǎn)品年銷售總額情況萬元要求試采用修正指數(shù)曲線模型擬合方法，估計該公司自1988年至2005年A產(chǎn)品年銷售總額的修正指數(shù)曲線趨勢方程，并預(yù)計該企業(yè)在2006年度的銷售總額。

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析5．邏輯曲線模型擬合邏輯曲線模型（LogisticCurveModel）是由比利時數(shù)學(xué)家Verhulst提出的一類趨勢模型，最初主要用于模擬人口數(shù)量的增長，通常根據(jù)其圖形的基本特征稱之為“S”曲線。邏輯曲線方程的一般形式為

（10.39）經(jīng)常采用的是邏輯曲線方程的簡化形式，即

（10.40）式（10.40）也稱為狹義的邏輯曲線方程。

可以采用采用三和法求解邏輯曲線方程。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析首先將式（10.40）寫為（10.41）然后，將樣本分為3個部分并分別求和，令

有

（10.43）/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

例10.10某醫(yī)藥企業(yè)1988年試制生產(chǎn)的B藥品，自1988年至2005年的年銷售總量數(shù)據(jù)如表10.20所示。表10.20某醫(yī)藥企業(yè)B藥品年銷售總量情況kg

要求試采用邏輯曲線模型擬合方法，估計該醫(yī)藥企業(yè)B藥品銷售總量自1988年至2005年的邏輯曲線趨勢方程，并預(yù)計該企業(yè)在2006年度的銷售總量。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析6．龔鉑茨曲線模型擬合龔鉑茨曲線模型（GompertzCurveModel）由英國統(tǒng)計學(xué)家B.Gompertz于1825年提出，并因此而得名。龔鉑茨曲線方程的一般形式為

（10.44）與邏輯曲線方程相似，龔鉑茨曲線方程也有兩條漸近線，和一個拐點。同樣，可以采用三和法求解龔鉑茨曲線的待估參數(shù)。首先，對式（10.44）等式兩端取對數(shù)，有

（10.45）

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析設(shè)時間序列3個部分的發(fā)展水平之和分別為則求解龔鉑茨曲線方程中3個待估參數(shù)的公式為

（10.46）/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

在進(jìn)行長期趨勢分析時，對于同一時間系列數(shù)據(jù)的不同長期趨勢模型的優(yōu)劣比較，可以采用長期趨勢方程的擬合值與原時間序列觀測值的離差平方和，即誤差平方和作為評價測度。一般有，誤差平方和較小的趨勢模型擬合的效果較好。/8:38PM第10章時間序列分析

10.3季節(jié)變動分析《統(tǒng)計學(xué)教程》盧小廣《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.3季節(jié)變動分析10.3.1

長期趨勢的剔除季節(jié)變動分析一般采用乘法模型。由式（10.20）可知，在時間序列的乘法模型中剔除長期趨勢，可以用長期趨勢數(shù)值去除時間序列樣本的原有數(shù)據(jù)，有（10.46）當(dāng)時間序列中含有顯著的長期趨勢，而又沒有剔除長期趨勢變動影響時，長期趨勢就會參雜在季節(jié)變動之中，使計算出來的反映季節(jié)因素變動的季節(jié)指數(shù)中含有顯著的系統(tǒng)性偏誤。所以在實施季節(jié)分析之前，必須對時間序列進(jìn)行分析，當(dāng)時間序列存在顯著的長期趨勢時，就必須首先對該時間序列進(jìn)行長期趨勢的剔除，為正確地計算季節(jié)指數(shù)奠定基礎(chǔ)。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.3季節(jié)變動分析

例10.11某市近3年各個季節(jié)的冬季服裝銷售總量數(shù)據(jù)如表10.21所示。由表10.21中該市各年的冬季服裝銷售量合計數(shù)據(jù)，每年銷售量上升的勢頭明顯，可以看出該市冬季服裝銷售量時間序列存在著逐年遞增的長期趨勢。表10.21某市近3年各季冬季服裝銷售量千件

要求

采用線性趨勢模型來反映該市近3年冬季服裝銷售量的長期趨勢，并利用線性趨勢方程估計數(shù)值來剔除原時間序列中的長期趨勢。/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.3季節(jié)變動分析解首先，根據(jù)擬合線性趨勢方程的式（10.28），計算出該市近3年冬季服裝銷售量的線性趨勢方程。然后，用估計的線性趨勢方程計算出來的擬合數(shù)值，去除原時間序列中對應(yīng)的數(shù)值。

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.3季節(jié)變動分析10.3.2

季節(jié)指數(shù)的計算在剔除了長期趨勢之后的時間序列中，除了季節(jié)變動（S），還包括循環(huán)變動（C）、和不規(guī)則變動（I）。一般采用平均的方法，通過計算每年各月（季）的平均數(shù)，使每年各季（月）中的循環(huán)變動（C）、和不規(guī)則變動（I）的變動相互抵消，讓季節(jié)變動（S）呈現(xiàn)出來。然后，將每年各月（季）的平均數(shù)與總的月（季）平均數(shù)的比值，作為度量季節(jié)變動的測度，稱為季節(jié)指數(shù)。季節(jié)指數(shù)（SeasonalIndex,S.I.）是指剔除了長期趨勢之后的時間序列的月（季）的平均數(shù)與總的月（季）平均數(shù)的比值，一般用百分?jǐn)?shù)表示。

/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.3季節(jié)變動分析計算季節(jié)指數(shù)的具體步驟如下：（1）分別將每年各月（季）的數(shù)值加總，計算各年月（季）的總數(shù)。（2）根據(jù)各年同月(季)的總數(shù)，計算各年月（季）的平均數(shù)。（3）將各個月（季）的平均數(shù)加總，計算各年總的月（季）平均數(shù)。（4）將若干年內(nèi)同月（季）的平均數(shù)與總的月（季）平均數(shù)相比，即求得用百分?jǐn)?shù)表示的各月（季）的季節(jié)比率，又稱季節(jié)指數(shù)（S.I.）。（10.47）當(dāng)按月計算的季節(jié)指數(shù)之和不為1200%；按季計算的季節(jié)指數(shù)之和不為400%時，需要計算出校正系數(shù)，有（10.48）/8:38PM《統(tǒng)計學(xué)教程》

第10章時間序列分析

10.3季節(jié)變動分析