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第十三節(jié)罰函數(shù)法與障礙函數(shù)法主要內(nèi)容:

罰函數(shù)法(外點(diǎn)法)

障礙函數(shù)法(內(nèi)點(diǎn)法)

混合罰函數(shù)法123在原目標(biāo)函數(shù)中加上一個(gè)罰(障礙)函數(shù),而得到一個(gè)增廣目標(biāo)函數(shù),罰(障礙)函數(shù)。罰(障礙)函數(shù)的功能是對(duì)非可行點(diǎn)或企圖穿越邊界而逃離可行域的點(diǎn)賦予一個(gè)極大的函數(shù)值。罰函數(shù)的功能一.罰函數(shù)法(外點(diǎn)法)1.罰函數(shù)法的基本原理例3.23求解:基本原理

利用無(wú)約束極小化的算法來(lái)求解這個(gè)不等式,假設(shè)存在這樣一個(gè)函數(shù)F(x),當(dāng)x是原約束的可行域中點(diǎn)時(shí),F(xiàn)(x)與f(x)的值相同;當(dāng)x不屬于可行域時(shí),則F(x)→∞,所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:minF(x)(3-98)基本原理F(x)的等價(jià)表達(dá)式:

F(x,μ)=x+μ[max(0,-0+2)]2(3-98)其中,μ是一個(gè)充分大的正數(shù)。記

α(x)=[max(0,-x+2)]2

(3-99)

通常將μα(x)稱之為罰函數(shù),記為

P(x,μ)=μα(x)而把新目標(biāo)函數(shù)F(x,μ)=f(x)+P(x,μ)稱之為增廣目標(biāo)函數(shù)基本原理

增廣目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)與參數(shù)μ有密切的聯(lián)系:μ越大,F(xiàn)(x,μ)的無(wú)約束極小點(diǎn)就越接近于f(x)的約束極小點(diǎn)xμ,可得而利用圖解法不難看出,原問(wèn)題的約束極小點(diǎn)正是X=2基本原理

一般情況下:設(shè)原問(wèn)題為minf(x)

(3-100)s.t.

gi(x)≤0,i=1,2,…,m(3-101)hj(x)=0,j=1,2,…,l(3-102)則可以構(gòu)造無(wú)約束極小化問(wèn)題:minF(x,μ)=f(x)+μα(x)(3-103)其中解題步驟

定理3.37設(shè)對(duì)給定的參數(shù)μ,F(x,μ)的無(wú)約束極小值為xμ。那么,xμ成為f(x)的約束極小點(diǎn)的充要條件是:xμ是原問(wèn)題的可行點(diǎn)。定理3.37取初始點(diǎn)X0為非可行點(diǎn),μ0>0(通常取μ0=1),ε>0,c>1(通常取c=10),k=0以Xk為出發(fā)點(diǎn),求解無(wú)約束極小化問(wèn)題:

minF(X,μk

)=f(X)+μkα(X)設(shè)無(wú)約束極小點(diǎn)為Xμk(3)μkα(Xμk)≤ε,輸出Xμk,計(jì)算停止;否則,轉(zhuǎn)(4)(4)μk+1=cμk,k=k+1,轉(zhuǎn)(2)

2.罰函數(shù)算法罰函數(shù)法算法例3.24用罰函數(shù)法(外點(diǎn)法)求解:

要求以X(0)=(1,1)為初始點(diǎn),C=10,迭代3次例題

任選一種無(wú)約束極小化算法,可解得F(X,μ0)的無(wú)約束極小點(diǎn)為例題以X(1)為出發(fā)點(diǎn),可求得F(X,μ1)的極小點(diǎn)為例題以X(2)為出發(fā)點(diǎn),可求得F(X,μ2)的極小點(diǎn)為例題以X(3)為出發(fā)點(diǎn),可求得F(X,μ3)的極小點(diǎn)為例題而原問(wèn)題的精確極小點(diǎn)與極小值為X(4)

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