2023小升初數(shù)學(xué)易考30個(gè)題型匯總及知識(shí)點(diǎn)大全

2023小升初數(shù)學(xué)易考30個(gè)題型匯總與學(xué)問(wèn)點(diǎn)大全

一、工程問(wèn)題

1.甲乙兩個(gè)水管單獨(dú)開(kāi)，注滿一池水，分別須要20小時(shí)，16小時(shí).丙水管單獨(dú)開(kāi)，排一

池水要10小時(shí)，若水池沒(méi)水，同時(shí)打開(kāi)甲乙兩水管，5小時(shí)后，再打開(kāi)排水管丙，問(wèn)水池

注滿還是要多少小時(shí)？

解：1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率9/80x5=45/80表示5小時(shí)后進(jìn)水

量1-45/80=35/80表示還要的進(jìn)水量35/804-(9/80-1/10)=35表示還要35小時(shí)

注滿

答：5小時(shí)后還要35小時(shí)就能將水池注滿。

2,修一條水渠，單獨(dú)修，甲隊(duì)須要20天完成，乙隊(duì)須要30天完成。假如兩隊(duì)合作，由

于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊(duì)的工作效率是原來(lái)的五分之四，乙隊(duì)

工作效率只有原來(lái)的非常之九。現(xiàn)在安排16天修完這條水渠，且要求兩隊(duì)合作的天數(shù)盡

可能少，那么兩隊(duì)要合作幾天？

解：由題意知，甲的工效為1/20,乙的工效為1/30,甲乙的合作工效為

1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效〉甲的工效〉乙的工效。

又因?yàn)?，要求“兩?duì)合作的天數(shù)盡可能少“，所以應(yīng)當(dāng)讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實(shí)在來(lái)

不與的才應(yīng)當(dāng)讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊(duì)合作的天數(shù)盡可能少”。

設(shè)合作時(shí)間為x天，則甲獨(dú)做時(shí)間為(16-x)天1/20*(16-x)+7/100*x=lx=10

答：甲乙最短合作10天

3.一件工作，甲、乙合做需4小時(shí)完成，乙、丙合做需5小時(shí)完成?，F(xiàn)在先請(qǐng)甲、丙合

做2小時(shí)后，余下的乙還需做6小時(shí)完成。乙單獨(dú)做完這件工作要多少小時(shí)？

解：由題意知，1/4表示甲乙合作1小時(shí)的工作量，1/5表示乙丙合作1小時(shí)的工作

量(1/4+1/5)X2=9/1O表示甲做了2小時(shí)、乙做了4小時(shí)、丙做了2小時(shí)的工作量。

依據(jù)“甲、丙合做2小時(shí)后，余下的乙還需做6小時(shí)完成“可知甲做2小時(shí)、乙做6小時(shí)、

丙做2小時(shí)一共的工作量為lo

所以1—9/10=1/10表示乙做6-4=2小時(shí)的工作量。1/10+2=1/20表示乙的工作效

率。1+1/20=20小時(shí)表示乙單獨(dú)完成須要20小時(shí)。

答：乙單獨(dú)完成須要2。小時(shí)。

4.一項(xiàng)工程，第一天甲做，其次天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪番做，那

么恰好用整數(shù)天完工；假如第一天乙做，其次天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交

替輪番做，那么完工時(shí)間要比前一種多半天。已知乙單獨(dú)做這項(xiàng)工程需17天完成，甲單

獨(dú)做這項(xiàng)工程要多少天完成？

解：由題意可知，1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲=11/乙+1/甲+1/乙+1/甲

+…+1/乙+1/甲XO.5=1

(1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最終結(jié)束必需如上所示，否則其次種

做法就不比第一種多0.5天)1/甲=1/乙+1/甲X0.5(因?yàn)榍懊娴墓ぷ髁慷枷嗟?得到

1/甲=1/乙X2又因?yàn)?/乙=1/17

所以1/甲=2/17,甲等于17+2=8.5天

答：甲單獨(dú)做這項(xiàng)工程要8.5天完成。

5.師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成了1/2時(shí)，徒弟完成了120個(gè)。當(dāng)師傅完成

了任務(wù)時(shí)，徒弟完成了4/5,這批零件共有多少個(gè)？

答案為300個(gè)120+(4/5+2)=30。個(gè)可以這樣想：師傅第一次完成了1/2,其次次

也是1/2,兩次一共全部完工，那么徒弟其次次后共完成了4/5,可以推算出第一次完成

了4/5的一半是2/5,剛好是12。個(gè)。

6.一批樹(shù)苗，假如分給男女生栽，平均每人栽6棵；假如單份給女生栽，平均每人栽10

棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？

答案是15棵算式：1+(1/6-1/10)=15棵

7.一個(gè)池上裝有3根水管。甲管為進(jìn)水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙

管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完。現(xiàn)在先打開(kāi)甲管，當(dāng)水池水剛溢出時(shí)，打開(kāi)乙,

丙兩管用了18分鐘放完，當(dāng)打開(kāi)甲管注滿水是，再打開(kāi)乙管，而不開(kāi)丙管，多少分鐘將

水放完？

答案為45分鐘。1+(1/20+1/30)=12表示乙丙合作將滿池水放完須要的分鐘數(shù)。

1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，

也就是甲18分鐘進(jìn)的水。1/2+18=1/36表示甲每分鐘進(jìn)水最終就是1?

(1/20-1/36)=45分鐘。

8.某工程隊(duì)須要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊(duì)去做，恰好如期完成，若乙隊(duì)去做，要超

過(guò)規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊(duì)單獨(dú)做，恰好如期完成，問(wèn)規(guī)定日

期為幾天？

答案為6天

解：由“若乙隊(duì)去做，要超過(guò)規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊(duì)單獨(dú)做,

恰好如期完成，”可知：

乙做3天的工作量=甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2

甲、乙分別做全部的的工作時(shí)間比是2:3時(shí)間比的差是1份實(shí)際時(shí)間的差是3天所以3:

(3-2)X2=6天，就是甲的時(shí)間，也就是規(guī)定日期方程方法：[l/x+l/(x+2)]X2+1/

(x+2)X(x-2)=1解得x=6

二、數(shù)字?jǐn)?shù)位問(wèn)題

9.把1至2023這2023個(gè)自然數(shù)依次寫下來(lái)得到一個(gè)多位數(shù)123456789..…2023,這

個(gè)多位數(shù)除以9余數(shù)是多少？

10.A和B是小于100的兩個(gè)非零的不同自然數(shù)。求A+B分之A-B的最小值…

解：(A-B)/(A+B)=(A+B-2B)/(A+B)=l-2*B/(A+B)

前面的1不會(huì)變了，只需求后面的最小值，此時(shí)(A-B)/(A+B)最大。對(duì)于B/(A+B)取

最小時(shí)，(A+B)/B取最大，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求(A+B)/B的最大值。

(A+B)/B=1+A/B,最大的可能性是A/B=99/1(A+B)/B=100

(A-B)/(A+B)的最大值是：98/100

11.已知A.B.C都是非0自然數(shù),人/2+8/4+0/16的近似值市6.4,那么它的精確值是

多少？

答案為6.375或6.4375

因?yàn)锳/2+B/4+C/16=8A+4B+C/16?6.4,

所以8A+4B+C=102.4,由于A、B、C為非。自然數(shù)，因此8A+4B+C為一個(gè)整數(shù)，可

能是102,也有可能是103o

當(dāng)是102時(shí)，102/16=6.375當(dāng)是103時(shí)，103/16=6.4375

12.一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17.其中十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大L假如把這個(gè)三位數(shù)的

百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，得到一個(gè)新的三位數(shù),則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù).

答案為476

解：設(shè)原數(shù)個(gè)位為a,則十位為a+1,百位為16-2a

依據(jù)題意歹方程100a+10a+16-2a-10。(16-2a)-10a-a=198解得a=6,則a+l=

716-2a=4答：原數(shù)為476o

13.一個(gè)兩位數(shù)，在它的前面寫上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來(lái)的兩位

數(shù).答案為24

解：設(shè)該兩位數(shù)為a,則該三位數(shù)為300+a7a+24=300+aa=24

答：該兩位數(shù)為24。

14.把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù),它與原數(shù)相加，和恰好是某

自然數(shù)的平方，這個(gè)和是多少？

答案為121

解：設(shè)原兩位數(shù)為10a+b,則新兩位數(shù)為10b+a它們的和就是10a+b+10b+a=11（a+b）

因?yàn)檫@個(gè)和是一個(gè)平方數(shù)，可以確定a+b=ll因此這個(gè)和就是11X11=121

答：它們的和為121o

15.一個(gè)六位數(shù)的末位數(shù)字是2,假如把2移到首位，原數(shù)就是新數(shù)的3倍，求原數(shù).

答案為85714

解：設(shè)原六位數(shù)為abcde2,則新六位數(shù)為2abede（字母上無(wú)法加橫線，請(qǐng)將整個(gè)看成一

個(gè)六位數(shù)）再設(shè)abede（五位數(shù)）為x,則原六位數(shù)就是10x+2,新六位數(shù)就是200000+x依

據(jù)題意得，（200000+x）x3=10x+2解得x=85714所以原數(shù)就是857142

16.有一個(gè)四位數(shù)，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,假如個(gè)位

數(shù)字與百位數(shù)字互換，千位數(shù)字與十位數(shù)字互換，新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求原數(shù).

答案為3963

解：設(shè)原四位數(shù)為abed,則新數(shù)為edab,且d+b=12,a+c=9

依據(jù)“新數(shù)就比原數(shù)增加2376”可知abcd+2376=cdab,歹I」豎式便于視

察abed2376edab

依據(jù)d+b=12,可知d、b可能是3、9;4、8;5、7;6、6。

再視察豎式中的個(gè)位，便可以知道只有當(dāng)d=3,b=9;或d=8,b=4時(shí)成立。先取d

=3,b=9代入豎式的百位，可以確定十位上有進(jìn)位。依據(jù)a+c=9,可知a、c可能是1、

8;2、7;3、6;4、5o再視察豎式中的十位，便可知只有當(dāng)c=6,a=3時(shí)成立。再

代入豎式的千位，成立。得到：abed=3963

再取d=8,b=4代入豎式的十位，無(wú)法找到豎式的十位合適的數(shù)，所以不成立。

17.假如現(xiàn)在是上午的10點(diǎn)21分，那么在經(jīng)過(guò)28799...99（一共有20個(gè)9）分鐘之后的

時(shí)間將是幾點(diǎn)幾分？

答案是10:20

解：（28799……9（2。個(gè)9）+1）/60/24整除，表示正好過(guò)了整數(shù)天，時(shí)間仍舊還是

10:21,因?yàn)槭孪扔?jì)算時(shí)加了1分鐘，所以現(xiàn)在時(shí)間是10：20

三、排列組合問(wèn)題

18.有五對(duì)夫婦圍成一圈，使每一對(duì)夫婦的夫妻二人動(dòng)相鄰的排法有（）

A768種B32種C24種D2的10次方種

解：依據(jù)乘法原理，分兩步：

第一步是把5對(duì)夫妻看作5個(gè)整體，進(jìn)行排列有5X4X3X2X1=120種不同的排法，但

是因?yàn)槭菄梢粋€(gè)首尾相接的圈，就會(huì)產(chǎn)生5個(gè)5個(gè)重復(fù)，因此實(shí)際排法只有12。+5=

24種。

其次步每一對(duì)夫妻之間又可以相互換位置，也就是說(shuō)每一對(duì)夫妻均有2種排法，總共又

2X2X2X2X2=32種綜合兩步，就有24x32=768種。

19.若把英語(yǔ)單詞hello的字母寫錯(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有（）

A119種B36種C59種D48種

解：全排列5*4*3*2*1=120有兩個(gè)1所以120/2=60

原來(lái)有一種正確的所以60-1=59

四、追與問(wèn)題

20.慢車車長(zhǎng)125米，車速每秒行17米，快車車長(zhǎng)140米，車速每秒行22米，慢車在

前面行駛，快車從后面追上來(lái)，那么，快車從追上慢車的車尾到完全超過(guò)慢車須要多少時(shí)

間？

答案為53秒

算式是（140+125）;（22-17）=53秒

可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過(guò)慢車”就是快車車尾上的點(diǎn)追與慢車

車頭的點(diǎn)，因此追與的路程應(yīng)當(dāng)為兩個(gè)車長(zhǎng)的和。

21.在300米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上，甲乙兩個(gè)人同時(shí)同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米,

乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？

答案為1。。米300+(5-4.4)=5。。秒，表示追與時(shí)間5X500=250。米，表示甲追

到乙時(shí)所行的路程2500^300=8圈……100米，表示甲追與總路程為8圈還多100米,

就是在原來(lái)起跑線的前方100米處相遇。

22.一個(gè)人在鐵道邊，聽(tīng)見(jiàn)遠(yuǎn)處傳來(lái)的火車汽笛聲后，在經(jīng)過(guò)57秒火車經(jīng)過(guò)她前面，已

知火車?guó)Q笛時(shí)離他1360米，(軌道是直的)，聲音每秒傳340米，求火車的速度(得出保留

整數(shù))

答案為22米/秒算式：13604-(1360^340+57)g22米/秒

關(guān)鍵理解：人在聽(tīng)到聲音后57秒才車到，說(shuō)明人聽(tīng)到聲音時(shí)車已經(jīng)從發(fā)聲音的地方行出

1360:340=4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57=61秒。

23.獵犬發(fā)覺(jué)在離它10米遠(yuǎn)的前方有一只奔跑著的野兔，立刻緊追上去，獵犬的步伐大,

它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動(dòng)作快，獵犬跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3

步，問(wèn)獵犬至少跑多少米才能追上兔子。

答案是獵犬至少跑60米才能追上。

解：由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知當(dāng)獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。

由“獵犬跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步”可知同一時(shí)間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3

=5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a:5/3a=6：5,也就是說(shuō)當(dāng)獵犬跑6。米

時(shí)候，兔子跑5。米，原來(lái)相差的1。米剛好追完。

24.AB兩地，甲乙兩人騎自行車行完全程所用時(shí)間的比是4:5,假如甲乙二人分別同時(shí)從

AB兩地相對(duì)行使,40分鐘后兩人相遇，相遇后各自接著前行,這樣，乙到達(dá)A地比甲到達(dá)B

地要晚多少分鐘？

答案：18分鐘

解：設(shè)全程為1,甲的速度為x乙的速度為y列式40x+40y=lx:y=5:4

得x=l/72y=l/90

走完全程甲需72分鐘，乙需90分鐘故得解

25.一船以同樣速度來(lái)回于兩地之間，它順流須要6小時(shí)；逆流8小時(shí)。假如水流速度是

每小時(shí)2千米，求兩地間的距離？

答案是96千米

解：(1/6-1/8)+2=1/48表示水速的分率2+1/48=96千米，表示總路程

26.快車和慢車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開(kāi)出，快車每小時(shí)行33千米，相遇是已行了全程的

七分之四，已知慢車行完全程須要8小時(shí)，求甲乙兩地的路程。

答案是198千米

解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3時(shí)間比為3:4

所以快車行全程的時(shí)間為8/4*3=6小時(shí)6*33=198千米

27.小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之

2乘車，結(jié)果慢了半小時(shí).已知，騎車每小時(shí)12千米，乘車每小時(shí)30千米,問(wèn):甲乙兩地相距多

少千米？

答案是37.5千米

解：把路程看成1,得到時(shí)間系數(shù)去時(shí)時(shí)間系數(shù)：1/3+12+2/3+3。返回時(shí)間系數(shù)：

3/5+12+2/5+30兩者之差：(3/54-12+2/54-30)-(1/3+12+2/3+30)=1/75

相當(dāng)于1/2小時(shí)去時(shí)時(shí)間：1/2X(1/34-12):1/75和1/2X(2/3:30)1/75路

程：12X[1/2X(1/34-12)+1/75〕+30X[1/2X(2/34-30)1/75〕=37.5(千

米)

五、比例問(wèn)題

28.甲乙兩人在河邊釣魚，甲釣了三條，乙釣了兩條，正打算吃，有一個(gè)人懇求跟他們一起吃，

于是三人將五條魚平分了,為了表示感謝，過(guò)路人留下10元，甲、乙怎么分？

答案：甲收8元，乙收2元。

解：“三人將五條魚平分，客人拿出10元”，可以理解為五條魚總價(jià)值為3。元，那么

每條魚價(jià)值6元。又因?yàn)椤凹揍灹巳龡l“，相當(dāng)于甲吃之前已經(jīng)出資3*6=18元，“乙

釣了兩條”，相當(dāng)于乙吃之前已經(jīng)出資2*6=12元。

而甲乙兩人吃了的價(jià)值都是1。元，所以，甲還可以收回18-10=8元乙還可以收回12-10

=2元?jiǎng)偤镁褪强腿顺龅腻X。

29.一種商品，今年的成本比去年增加了10分之1,但仍保持原售價(jià)，因此，每份利潤(rùn)

下降了5分之2,那么，今年這種商品的成本占售價(jià)的幾分之幾？

答案是22/25

最好畫線段圖思索：

把去年原來(lái)成本看成2。份，利潤(rùn)看成5份，則今年的成本提高1/10,就是22份，利潤(rùn)

下降了2/5,今年的利潤(rùn)只有3份。增加的成本2份剛好是下降利潤(rùn)的2份。售價(jià)都是

25份。所以，今年的成本占售價(jià)的22/25。

30.一個(gè)圓柱的底面周長(zhǎng)削減25%,要使體積增加1/3,現(xiàn)在的高和原來(lái)的高度比是多

少？

答案為64：27

解：依據(jù)“周長(zhǎng)削減25%”，可知周長(zhǎng)是原來(lái)的3/4,那么半徑也是原來(lái)的3/4,則面積

是原來(lái)的9/16。依據(jù)“體積增加1/3”，可知體積是原來(lái)的4/3。體積?底面積=高現(xiàn)

在的高是4/3+9/16=64/27,也就是說(shuō)現(xiàn)在的高是原來(lái)的高的64/27或者現(xiàn)在的高：

原來(lái)的高=64/27:1=64：27

小學(xué)奧數(shù)29個(gè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)大全

一、和差倍問(wèn)題

和差問(wèn)題和倍問(wèn)題差倍問(wèn)題

已知條件：幾個(gè)數(shù)的和與差、幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)、幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)

公式適用范圍：已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

公式①：（和一差）+2=較小數(shù)

較小數(shù)+差=較大數(shù)

和一較小數(shù)=較大數(shù)

②：（和+差）+2=較大數(shù)

較大數(shù)-差=較小數(shù)

和一較大數(shù)=較小數(shù)

和+（倍數(shù)+1）=小數(shù)

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)

和一小數(shù)=大數(shù)

差小（倍數(shù)"）=小數(shù)

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)

小數(shù)+差=大數(shù)

2.年齡問(wèn)題的三個(gè)基本特征：

①兩個(gè)人的年齡差是不變的；

②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)削減的；

③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生改變的；

3.歸一問(wèn)題的基本特點(diǎn)：

問(wèn)題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”等詞

語(yǔ)來(lái)表示。

關(guān)鍵問(wèn)題：依據(jù)題目中的條件確定并求出單一量;

4.植樹(shù)問(wèn)題

基本類型：在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都植樹(shù)在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù),

兩端都不植樹(shù)，在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，只有一端植樹(shù)，封閉曲線上植樹(shù)

基本公式：棵數(shù)=段數(shù)+1

棵距X段數(shù)=總長(zhǎng)棵數(shù)=段數(shù)-1

棵距X段數(shù)=總長(zhǎng)棵數(shù)=段數(shù)

棵距X段數(shù)=總長(zhǎng)

關(guān)鍵問(wèn)題：確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系

5.雞兔同籠問(wèn)題

基本概念：雞兔同籠問(wèn)題又稱為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái)；

基本思路：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；

③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的緣由；

④再依據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

基本公式：

①把全部雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)一總腳數(shù)）:（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

②把全部兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）?。ㄍ媚_數(shù)一雞腳數(shù)）

關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。

6.盈虧問(wèn)題

基本概念：確定量的對(duì)象，依據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：依據(jù)另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又

產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)

或?qū)ο蟮目偭?

基本思路：先將兩種安排方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的改變，依據(jù)這個(gè)

關(guān)系求出參與安排的總份數(shù)，然后依據(jù)題意求出對(duì)象的總量.

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足；

基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）:兩次每份數(shù)的差

②當(dāng)兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）+兩次每份數(shù)的差

③當(dāng)兩次都不足；

基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）小兩次每份數(shù)的差

基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。

關(guān)鍵問(wèn)題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。

7.牛吃草問(wèn)題

基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，依據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的

差；再找出造成這種差異的緣由，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量。

基本特點(diǎn)：原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的；

關(guān)鍵問(wèn)題：確定兩個(gè)不變的量。

基本公式：

生長(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間X短時(shí)間牛頭數(shù)）4-（長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）；

總草量=較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間X生長(zhǎng)量；

8.周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)改變的過(guò)程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。

關(guān)鍵問(wèn)題：確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；②假如年份能被10。整除，則年份必需能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②假如年份能被100整除，但不能被40。整除；

9.平均數(shù)

基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量?總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)x總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量?平均數(shù)

②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和?總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以與總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算.

②基準(zhǔn)數(shù)法：依據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與全部數(shù)比較接近的數(shù)

或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求全部給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出全部差的和;

再求出這些差的平均數(shù)；最終求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，詳細(xì)

關(guān)系見(jiàn)基本公式。

10.抽屜原理

抽屜原則一：假如把(n+1)個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)

物體。

例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種狀

況：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

視察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)覺(jué)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多

于2個(gè)物體，也就是說(shuō)必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

抽屜原則二：假如把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m,那么必有一個(gè)抽屜至少有:

①卜引"：!!]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。

②k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。

理解學(xué)問(wèn)點(diǎn)：[X]表示不超過(guò)X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4；[0.321]=0;[2.9999]=2;

關(guān)鍵問(wèn)題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)

算。

11.定義新運(yùn)算

基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本(混合)運(yùn)算。

基本思路：嚴(yán)格依據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后

依據(jù)基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。

關(guān)鍵問(wèn)題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。

留意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不確定符合運(yùn)算規(guī)律，特殊留意運(yùn)算依次。

②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中運(yùn)用。

12.數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，隨意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是確定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用al表示；

項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的全部數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；

公差：數(shù)列中隨意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；

通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差數(shù)列中涉與五個(gè)量：al,an,d,n,sn,,通項(xiàng)公式中涉與四個(gè)量，假如己知

其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉與四個(gè)量，假如己知其中三個(gè)，就可以求這第

四個(gè)。

基本公式：通項(xiàng)公式：an=al+(n-1)d;

通項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)一1)公差；

數(shù)列和公式：sn,=(al+an)n2;

數(shù)列和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2;

項(xiàng)數(shù)公式：n=（an+al）d+1;

項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）公差+1；

公差公式：d=（an-al））（n—1）;

公差=（末項(xiàng)一首項(xiàng)）（項(xiàng)數(shù)一1）；

關(guān)鍵問(wèn)題：確定已知量和未知量，確定運(yùn)用的公式；

13.二進(jìn)制與其應(yīng)用

十進(jìn)制：用。?9十個(gè)數(shù)字表示，逢1。進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上

的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。

=An10n-l+An-11On-2+An-210n-3+An-31On-4+An-410n-5+An-610n-7++A3

102+A2101+A1100

留意：N0=l;N1=N（其中N是隨意自然數(shù)）

二進(jìn)制：用。?1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

（2）=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7

+…+A322+A221+A120

留意：An不是。就是1。

十進(jìn)制化成二進(jìn)制：

①依據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0,然后把每次所得的余

數(shù)按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依

此方法始終找到差為0,依據(jù)二進(jìn)制綻開(kāi)式特點(diǎn)即可寫出。

14.加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)

加法原理：假如完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有ml種不同方法，在其次類

方法中有m2種不同方法……,在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共

有：ml+m2+mn種不同的方法。

關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。

乘法原理：假如完成一件任務(wù)須要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有ml種方法，不管第1

步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有

mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：mlxm2……Xmn種不同的方法。

關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。

直線：一點(diǎn)在直線或空間沿確定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。

直線特點(diǎn)：沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度。

線段：直線上隨意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。

線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。

射線：把直線的一端無(wú)限延長(zhǎng)。

射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒(méi)有長(zhǎng)度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+-+（點(diǎn)數(shù)一1）;

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）;

③數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線段數(shù)X寬的線段數(shù)：

④數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1X1+2X2+3X3+…+行數(shù)X列數(shù)

15.質(zhì)數(shù)與合數(shù)

質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒(méi)有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。

合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：假如某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解

質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=,其中al、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且

al<a2<a3<...<ano

求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X...X(rn+1)

互質(zhì)數(shù)：假如兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

16.約數(shù)與倍數(shù)

約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的

最大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì)：

1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。

2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。

3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以

m0

例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;

18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;

那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12,18)=6;

求最大公約數(shù)基本方法：

1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約

數(shù)。

公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的

最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48……;

18的倍數(shù)有：18、36、54、72……;

那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……;

那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作[12,18]=36;

最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個(gè)數(shù)的隨意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

17.數(shù)的整除

一、基本概念和符號(hào)：

1、整除：假如一個(gè)整數(shù)a,除以一個(gè)自然數(shù)b,得到一個(gè)整數(shù)商c,而且沒(méi)有余數(shù)，那么

叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。

2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“I"，不能整除符號(hào)"“；因?yàn)榉?hào)“.??”，所以的符號(hào)

二、整除推斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除:

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質(zhì)：

1.假如a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

2.假如a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.假如a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.假如a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

18.余數(shù)與其應(yīng)用

基本概念：對(duì)隨意自然數(shù)a、b、q、r,假如使得a+b=q.....r,且0<r<b,那么r叫做a

除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

19.余數(shù)、同余與周期

一、同余的定義：

①若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對(duì)于模m同余。

②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m,假如m|a-b,就稱a、b對(duì)于模m同余，記作a三b（modm）,

讀作a同余于b模m。

二、同余的性質(zhì)：

①自身性：a三a(modm);

②對(duì)稱性：若a=b(modm),則b三a(modm);

③傳遞性：若a三b(modm),b=c(modm),則a三c(modm)

④和差，性：若a=b(modm),c三d(modm),貝!!a+c三b+d(modm),a-c三b-d(modm);

⑤相乘性：若a三b(modm),c=d(modm),則aXc=bxd(modm);

⑥乘方性：若a三b(modm),則an三bn(modm);

⑦同倍性:若a三b(modm),整數(shù)c,貝ijaXc三bXc(modmXc);

三、關(guān)于乘方的預(yù)備學(xué)問(wèn)：

①若A=aXb,則MA=MaXb=(Ma)b

②若B=c+d貝MB=Mc+d=McXMd

四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：

①一個(gè)自然數(shù)M,n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M三n(mod9)或(mod3);

②一個(gè)自然數(shù)M,X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字

的和，則M三Y-X或M三11-(X-Y)(mod11);

五、費(fèi)爾馬小定理:假如p是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1三1(modp)

20.分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

基本概念與性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(。除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目供應(yīng)條件的反方向(或結(jié)果)進(jìn)行思索。

②對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中詳細(xì)的量與它所占的率的干脆對(duì)應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)換成比例和

轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件

下的分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。

④假設(shè)思維方法：為了解題的便利，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種狀

況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最終結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在改變的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何改變，

而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種狀況：A、重量發(fā)生改變，總量不變。B、總量發(fā)

生改變，但其中有的重量不變。C、總量和重量都發(fā)生改變，但重量之間的差量不改變。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。

⑦同倍率法：總量和重量之間依據(jù)同分率改變的規(guī)律進(jìn)行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和重量都發(fā)生改變的狀況。

21.分?jǐn)?shù)大小的比較

基本方法：

①通分分子法：使全部分?jǐn)?shù)的分子相同，依據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。

②通分分母法：使全部分?jǐn)?shù)的分母相同，依據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。

③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使全部的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。

④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差確定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。

⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)改變時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可

以用同倍率的改變關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（詳細(xì)運(yùn)用見(jiàn)同倍率改變規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把全部分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。

⑧大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和。比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。

22.完全平方數(shù)

完全平方數(shù)特征：

1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余?；蛴?;反之不成立。

3.除以4余。或余1;反之不成立。

4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不行能再有平方數(shù)。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

23.比和比例

比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。

比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積（交叉相乘），ad=bc0

正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與B成正

比。

反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反

比。

比例尺：圖上距離與實(shí)際距離