2023-2024學(xué)年福建省百校聯(lián)考高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題及答案

保密★啟用前準(zhǔn)考證號(hào)__________姓名__________（在此卷上答題無(wú)效）2023~2024學(xué)年高中畢業(yè)班第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題2023.118小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．圖中的陰影部分表示的集合為（A．ABCB．ABeCUD．UABCC．AeBCU2．若Z，Z為復(fù)數(shù)，則“ZZ是純虛數(shù)”是“Z，Z互為共軛復(fù)數(shù)”的（121212A．充分不必要條件C．充要條件B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件21e3．函數(shù)fx1x的部分圖象為（xA．C．B．D．4．故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群．故宮宮殿房檐設(shè)計(jì)恰好使北房在冬至前75°約為30°，圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐AB的長(zhǎng)度（單位：米）約為（A．35．已知數(shù)列n滿足B．4C．63naD．33n1，且21，若k168，則正整數(shù)k為（an1nn12A．13B．12C．11D．106．如圖，AB是圓O的一條直徑，且AB4．C，D是圓O上的任意兩點(diǎn)，CD2．點(diǎn)P在線段CD上，則PAPB的取值范圍是（A．1,2C．3,4D．1,0B．3,25π4ππ0圖像相鄰的兩條對(duì)稱軸，將fx的圖7．已知直線x，x是函數(shù)fx4sinx636π像向右平移gxgx在,mm6的取值范圍為（7ππ12127π13π12125π13π12125ππ1212A．,B．,C．,D．,8．已知ae，b1.1，c1.11，則（A．a(chǎn)bcB．a(chǎn)cbC．bacD．bca4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足ab2，則下列說(shuō)法正確的是（ba2A．的最小值為3B．a(chǎn)b的最大值為1D．a(chǎn)b2的最小值為2bC．a(chǎn)b的最小值為22π2的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與fx的圖象交于M，N10．函數(shù)fx2sinx,兩點(diǎn)，且M在y軸上，則（3πA．函數(shù)fx在,π上單調(diào)遞增2273B．圓的半徑為2πC．函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn),0成中心對(duì)稱3π2023πD．函數(shù)fx在,上單調(diào)遞減121211．如圖，在長(zhǎng)方體ABCDABCD，224，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P1111111R，則三棱錐P1F外接球表面積的取值可能是在側(cè)面A內(nèi)，且xBEyBFx,y11（A．10πB．20πC．12πD．44π12．已知數(shù)列n滿足11，an12aa1，則下列說(shuō)法正確的有（nn231a2A．5B．a(chǎn)nn12n1234n1n2n12C．若n2，則1D．i1i1i1i1三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．ππππ313．已知sin，且,，則sin______．64433π14a，b滿足b3,1，a,babaa在向量b方向上的投影向3量的坐標(biāo)為_(kāi)_____．a(chǎn)a222an2nnnN，nnn24nn為單調(diào)遞增數(shù)15n滿足1L2列，則的取值范圍為_(kāi)_____．16邊三角形的外接圓圓心恰好是一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．在ABC中，A60ABBCAC為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為O，O，O，則OAO______OOO的面積為3，則12313123三角形中ABAC的最大值為_(kāi)_____．四、解答題：共65分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．ππ，將fx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所17．已知函數(shù)fx3sin2x2x23得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．（1）求函數(shù)fx的解析式；π56（2）若關(guān)于x的方程fxa在,π上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．已知函數(shù)fxxax1aR．（1）討論函數(shù)fx的單調(diào)性；N，都有fxmx恒成立，若存在求出實(shí)數(shù)m的最小值，（2）若a2，是否存在整數(shù)mm若不存在說(shuō)明理由．n1，nN．19．設(shè)數(shù)列n前n項(xiàng)和Sn滿足Snnn2n1n1（1）證明：數(shù)列S為等比數(shù)列；n11nnn1Sn，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T．n（2）記nn120．如圖，在四棱錐PABCD中，PAD為等邊三角形，M為PA的中點(diǎn)，PDAB，平面平面ABCD．（1）證明：平面平面PAB；33434（2）若AD//BC，24，2，直線PB與平面MCD所成角的正弦值為P的體積．，求三棱錐21．如圖，在海岸線EF一側(cè)有一休閑游樂(lè)場(chǎng)，游樂(lè)場(chǎng)的前一部分邊界為曲線段FGBC，該曲線段是函數(shù)π，x0B2xAyAsin分為長(zhǎng)1千米的直線段CD，且CD//，游樂(lè)場(chǎng)的后一部分邊界是以O(shè)為圓心的一段圓弧DE．（1）求曲線段FGBC的函數(shù)表達(dá)式；（2）曲線段FGBC上的入口G距海岸線EF最近距離為1千米，現(xiàn)準(zhǔn)備從入口G修一條筆直的景觀路到O，求景觀路GO長(zhǎng)；（3ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)平行四邊形休閑區(qū)OMPQEF半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧DE上，且POE，求平行四邊形休閑區(qū)OMPQ面積的最大值及此時(shí)的值．22．已知函數(shù)fxxsinxcosx．（1）求fx在xπ,π的單調(diào)區(qū)間與最值；11（2）當(dāng)a時(shí)，若gxfxax，證明：gx有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．2322023年~2024學(xué)年高中畢業(yè)班第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)評(píng)分參考標(biāo)準(zhǔn)8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．12345678BDCCBDAA4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9101112ABDCDBCDBCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．631382π13．14．,15．,16．，43443四、解答題：共65分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．π171）fx3sin2x2x2sin2x，6π將函數(shù)fx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，3π3π56所得函數(shù)為y2sin2x2sin2xπ，65ππ∴ππ，kZ，∴π，kZ．623πππ又，∴，∴fx2sin2x．623π5612ππ2π63（2）∵x,π，∴2x,，6πππππ當(dāng)當(dāng)2x2xπ，即x時(shí)，fx單調(diào)遞增；6π6π22π635ππ，即x時(shí)，fx單調(diào)遞減．263312π65π12且f2，f1，f3．3π5π6∵方程fxa在,上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴3a2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為3,2．1181）∵x0，fxa，x當(dāng)a0，fx0，∴fx在單調(diào)遞增，1ax當(dāng)a0時(shí)，fx，x11令fx0，得x，fx0得x，aa1∴fx在單調(diào)遞增，在,a1a單調(diào)遞減．綜上，a0時(shí)，fx在單調(diào)遞增；1a1a當(dāng)a0時(shí)，fx在單調(diào)遞增，在,單調(diào)遞減．（2）∵a2，∴fxx2x1，x2x1，∴m∴x2x1mx1，x112xx2x1x1x令gx，∴gx，x121110，∴ux在單調(diào)遞減．令ux2x，uxxx2x11ue22e2220230，1∵∵e2e211ue32e3e3e310xe2,e3，使得ux0，即200，20，∴000當(dāng)x0，ux0，gx0，gx單調(diào)遞增，，ux0，gx0，gx單調(diào)遞減，當(dāng)xx,012030201x021203012∴∵gxg0，0101xx01001xe2,e3，，∴m3，∴m的最小值為3．n100191）證明：∵Sa，，且nSnSn1n2nnn2n21∴2SnSn1n2，n1n1Sn1n111n1n2，∴2SSn1，∴n2n1n2Sn1n112令n1，可得S0，∴S，1121n111所以數(shù)列S是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．n22n11n2111（2）由（1）可得Sn，n12211n12n1∴∴S，∴b2n，nnnn1b2n11n1，22b1nn12n1211nn1111111133771512121∴TL1．nnn12n111201）取AD中點(diǎn)為N，連接PN，因?yàn)镻AD為等邊三角形，所以PNAD，且平面平面ABCD，平面平面ABCDAD，面PAD，所以PN平面ABCD，又AB平面ABCD，所以PNAB，又因?yàn)镻DAB，PNPDP，PN，平面PAD，所以AB平面PAD，又因?yàn)槠矫鍼AD，所以ABDM，因?yàn)镸為AP中點(diǎn)，所以，且PAABA，PA，PB平面PAD，所以DM平面PAB，且平面CDM，所以平面平面PAB．（2）由（1）可知，PNAB且PDAB，PNPDP，所以AB平面PAD，且平面PAD，所以ABAD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD所在直線為x，y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，則可得設(shè)AD2aa2aa，Ca,0，D2a,0，A0，B0，Pa,a，M,2233即PBa,a，DCa,0，a,a，22設(shè)平面MCD的法向量為nx,y,z，n2xay0則323nayaz02axy2y2xa則可得，取，則，z23，z3y所以平面MCD的一個(gè)法向量為na,2,23，設(shè)直線PB與平面MCD所成角為，PBn6a16a3sinPB,n所以解得，PBn44a2234a216，或a1，即a4（舍去）或1，2111AB1323所以2，PS．3323211）由已知條件，得A2，T2ππ又∵3，T12，∴．46π62π又∵當(dāng)x1時(shí)，有y2sin2，∴，3π∴曲線段FBC的解析式為y2sinx2π3，x0．6π（2）由y2sinx2π1得x6kk4kZ，63又x0，∴k0，x3，∴G，10，∴景觀路GO長(zhǎng)為10千米．π（3）如圖，3，CD1，∴2，COD，6作PPx軸于P點(diǎn)，在Rt中，PPOPsin2sin，1111sin60在中，，sin120sin604233∴sin602sin，sin1203233SPP2sin2sin1433233234sincossin22sincos23433π23π3sin，63πππ23當(dāng)時(shí)，即時(shí)，平行四邊形面積最大值為．6263221）∵fxsinxxxsinxxx0，ππ解得x或0或，22∴fx與fx的分布列如下：π2ππ,0π2ππ2π1π,,ππx0222＋↑－↓＋－極小值1極大值↑極大值↓1ππ22π2π2π2π2所以，fx的增區(qū)間為：π,，，減區(qū)間為：,0，,π，πfx的最大值為，最小值為1．2（2）gx的定義域?yàn)镽，12∵gxxsinxxa2gx，x所以gx為偶函數(shù)．1∵g010，∴當(dāng)a時(shí)，gx有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)31當(dāng)a時(shí)，gx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．3∵gxxxa，當(dāng)a1時(shí)，若x0，則gx0，所以gx在上單調(diào)遞減，1aπ20，∴gx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；∵gπ121π2當(dāng)a1時(shí)，存在