2024屆山東省日照實驗高級中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆山東省日照實驗高級中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列，若、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．2．將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案種數(shù)是()A．18種 B．36種 C．54種 D．72種3．已知平面平面，且是正方形，在正方形內(nèi)部有一點，滿足與平面所成的角相等，則點的軌跡長度為（）A． B．16 C． D．4．已知集合，，若，則（）A． B． C． D．5．連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為，連接4個焦點的四邊形的面積為，則當(dāng)取得最大值時，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．為雙曲線的左焦點，過點的直線與圓交于、兩點，（在、之間）與雙曲線在第一象限的交點為，為坐標(biāo)原點，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．8．已知焦點為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，點在拋物線上，則當(dāng)取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．或 C．或 D．9．已知雙曲線的一條漸近線方程為，，分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線C上，且，則()A．9 B．5 C．2或9 D．1或510．某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù),繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B．全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢11．已知函數(shù)且的圖象恒過定點，則函數(shù)圖象以點為對稱中心的充要條件是()A． B．C． D．12．已知，，若，則實數(shù)的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x，y滿足，且y≥?1，則3x+y的最大值_____14．已知，復(fù)數(shù)且（為虛數(shù)單位），則__________，_________．15．如果復(fù)數(shù)滿足，那么______（為虛數(shù)單位）.16．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，如圖是過且垂直于長軸的弦，則的內(nèi)切圓方程是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，、、分別是、、的中點.（1）證明：平面；（2）若底面是正三角形，，在底面的投影為，求到平面的距離.18．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，若同時滿足下列四個條件中的三個：①；②；③；④.（1）滿足有解三角形的序號組合有哪些？（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對應(yīng)的面積.（若所選條件出現(xiàn)多種可能，則按計算的第一種可能計分）19．（12分）已知函數(shù)，，（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)有且僅有一個零點，且此時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.20．（12分）如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點．求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.21．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若函數(shù)最小值為，且，求的最小值.22．（10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為3，其中．（1）求的值；（2）若，，，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值．【詳解】數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列，、滿足，由等比數(shù)列的通項公式得，即，，可得，且、都是正整數(shù)，求的最小值即求在，且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值，討論、取值.當(dāng)且時，的最小值為.故選：B．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)運算求解能力和分類討論思想，是中等題．2、B【解析】

把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的分配方案有種.故選：.【點睛】本題考查排列組合，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)與平面所成的角相等，判斷出，建立平面直角坐標(biāo)系，求得點的軌跡方程，由此求得點的軌跡長度.【詳解】由于平面平面，且交線為，，所以平面，平面.所以和分別是直線與平面所成的角，所以，所以，即，所以.以為原點建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，則，，設(shè)（點在第一象限內(nèi)），由得，即，化簡得，由于點在第一象限內(nèi)，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以點的軌跡長度為.故選：C【點睛】本小題主要考查線面角的概念和運用，考查動點軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.4、A【解析】

由，得，代入集合B即可得.【詳解】，，，即：，故選：A【點睛】本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標(biāo)，四個頂點構(gòu)成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構(gòu)成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個頂點的坐標(biāo)為，四個焦點的坐標(biāo)為，四個頂點形成的四邊形的面積，四個焦點連線形成的四邊形的面積，所以，當(dāng)取得最大值時有，，離心率，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.6、D【解析】

過點作，可得出點為的中點，由可求得的值，可計算出的值，進(jìn)而可得出，結(jié)合可知點為的中點，可得出，利用勾股定理求得（為雙曲線的右焦點），再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示，過點作，設(shè)該雙曲線的右焦點為，連接.，.，，，為的中點，，，，，由雙曲線的定義得，即，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題時要充分分析圖形的形狀，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.7、D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.8、A【解析】

過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，利用拋物線的定義可得，要使最大，則應(yīng)最大，此時與拋物線相切，再用判別式或?qū)?shù)計算即可.【詳解】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，，則當(dāng)取得最大值時，最大，此時與拋物線相切，易知此時直線的斜率存在，設(shè)切線方程為，則.則，則直線的方程為.故選：A.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到拋物線的定義，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.9、B【解析】

根據(jù)漸近線方程求得，再利用雙曲線定義即可求得.【詳解】由于，所以，又且，故選：B.【點睛】本題考查由漸近線方程求雙曲線方程，涉及雙曲線的定義，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關(guān)，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個，故C正確；在D中，從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查了折線圖，意在考查學(xué)生的理解能力.11、A【解析】

由題可得出的坐標(biāo)為，再利用點對稱的性質(zhì)，即可求出和.【詳解】根據(jù)題意，，所以點的坐標(biāo)為，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點問題和函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，化簡即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，代入化簡可得.∴解得.故選：C.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5.【解析】

由約束條件作出可行域，令z＝3x+y，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè),當(dāng)直線經(jīng)過點時,取最大值5.故答案為：5【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．14、【解析】∵復(fù)數(shù)且∴∴∴∴，故答案為，15、【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后利用復(fù)數(shù)模的計算公式求解.【詳解】∵，∴，∴，故答案為：.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運算，考查復(fù)數(shù)的模的求法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用公式計算出，其中為的周長，為內(nèi)切圓半徑，再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標(biāo).【詳解】由已知，，，，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則，故有，解得，由，或（舍），所以的內(nèi)切圓方程為.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問題，涉及到橢圓焦點三角形、橢圓的定義等知識，考查學(xué)生的運算能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）連接，連接、交于點，并連接，則點為的中點，利用中位線的性質(zhì)得出，，利用空間平行線的傳遞性可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）推導(dǎo)出平面，并計算出，由此可得出到平面的距離為，即可得解.【詳解】（1）連接，連接、交于點，并連接，則點為的中點，、分別為、的中點，則，同理可得，.平面，平面，因此，平面；（2）由于在底面的投影為，平面，平面，，為正三角形，且為的中點，，，平面，且，因此，到平面的距離為.【點睛】本題考查線面平行的證明，同時也考查了點到平面距離的計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.18、（1）①，③，④或②，③，④；（2）.【解析】

（1）由①可求得的值，由②可求出角的值，結(jié)合題意得出，推出矛盾，可得出①②不能同時成為的條件，由此可得出結(jié)論；（2）在符合條件的兩組三角形中利用余弦定理和正弦定理求出對應(yīng)的邊和角，然后利用三角形的面積公式可求出的面積.【詳解】（1）由①得，，所以，由②得，，解得或（舍），所以，因為，且，所以，所以，矛盾.所以不能同時滿足①，②.故滿足①，③，④或②，③，④；（2）若滿足①，③，④，因為，所以，即.解得.所以的面積.若滿足②，③，④由正弦定理，即，解得，所以，所以的面積.【點睛】本題考查三角形能否成立的判斷，同時也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面積的計算，要結(jié)合三角形已知元素類型合理選擇正弦定理或余弦定理解三角形，考查運算求解能力，屬于中等題.19、（1）時，在上單調(diào)遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）．【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得結(jié)論．【詳解】（1）函數(shù)定義域是，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；時，令得，時，，遞減，時，，遞增，綜上所述，時，在上單調(diào)遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）易知，由函數(shù)單調(diào)性，若有唯一零點，則或．當(dāng)時，，，從而只需時，恒成立，即，令，，在上遞減，在上遞增，∴，從而．時，，，令，由，知在遞減，在上遞增，，∴．綜上所述，的取值范圍是．【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點個數(shù)與不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．這又可通過導(dǎo)數(shù)求解．20、（1）見解析（2）見解析【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連結(jié)NE.則N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.∴＝，＝.∴＝且NE與AM不共線．∴NE∥AM.∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝，∵D(，0，0)，F(xiàn)(，，1)，∴＝(0，，1)，∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.21、（1）（2）【解析】

（1）利用零點分段法，求得不等式的解集.（2）先求得，即，再根據(jù)“的代換”的方法，結(jié)合基本不等式，求得的最小值.【詳解】（1）當(dāng)時，，即，無解；當(dāng)時，，即，得；當(dāng)時，，即，得.故所求不等式的解集為.（