新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義課后訓(xùn)練北師大版選擇性必修第二冊(cè)

2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義課后訓(xùn)練鞏固提升A組1.如果曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,3)處的切線過(guò)點(diǎn)(-1,2),那么有().A.f'(2)<0 B.f'(2)=0C.f'(2)>0 D.f'(2)不存在解析:由題意知切線過(guò)點(diǎn)(2,3),(-1,2),所以切線的斜率k=f'(2)=2-3-1-2答案:C2.已知曲線y=3x2上一點(diǎn)A(2,12),則曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率為().A.4 B.6 C.8 D.12解析:∵Δy=3(2+Δx)2-12=12Δx+3(Δx)2,∴f'(2)=limΔx→0ΔyΔx=∴曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率k=f'(2)=12.答案:D3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則在f(x)的圖象上A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)附近,有().(第3題)A.A處下降,B處上升B.A處上升,B處下降C.A處下降,B處下降D.A處上升,B處上升解析:∵所給圖象是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)的圖象,且點(diǎn)A處f'(x)<0,點(diǎn)B處f'(x)>0,∴函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A處的切線的斜率小于0,在點(diǎn)B處的切線的斜率大于0.故選A.答案:A4.過(guò)點(diǎn)P(-1,2)且與曲線y=3x2-4x+2在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線方程為().A.y=-2x-4 B.y=2x-4C.y=2x+4 D.y=-2x+4解析:∵Δy=3(1+Δx)2-4(1+Δx)+2-1=3(Δx)2+2Δx,∴曲線在點(diǎn)M處的切線的斜率k=f'(1)=limΔx→0ΔyΔ∴所求的直線方程為y-2=2(x+1),即y=2x+4.答案:C5.已知曲線y=1x在點(diǎn)P處的切線的斜率為-14,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(A.-2,-1C.12,2解析:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則Δy=1x曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率k=f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=lim所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,答案:D6.若曲線y=f(x)=x2的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直,則l的方程為().A.4x-y-4=0 B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0解析:設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),∵f'(x0)=limΔx→0(x0+Δx)2由題意可知,切線斜率k=4,即f'(x0)=2x0=4,∴x0=2,∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),∴切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0,故選A.答案:A7.已知直線y=-x+m是曲線y=f(x)=x2+x的一條切線,則m的值為.

解析:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則曲線在點(diǎn)(x0,y0)處的切線的斜率k=f'(x0)=limΔx→0f(x由題意知,2x0+1=-1,解得x0=-1,則y0=(-1)2+(-1)=0,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).又切點(diǎn)在直線y=-x+m上,所以0=1+m,解得m=-1.答案:-18.已知函數(shù)y=f(x),y=g(x),y=h(x)的大致圖象如圖所示,其導(dǎo)數(shù)的大致圖象如圖所示,(第8題)則y=f(x)對(duì)應(yīng);y=g(x)對(duì)應(yīng);y=h(x)對(duì)應(yīng).

解析:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.由于曲線y=f(x)在任一點(diǎn)處的切線斜率均小于0且保持不變,故y=f(x)對(duì)應(yīng)B.曲線y=g(x)在任一點(diǎn)處的切線斜率均小于0,且隨x的增大,切線的斜率增大,且趨于0,故y=g(x)對(duì)應(yīng)C.曲線y=h(x)在任一點(diǎn)處的切線的斜率均大于0,且先小后大,故y=h(x)對(duì)應(yīng)A.答案:BCA9.已知直線y=x+2是曲線y=-x2+b的切線,則b=.

解析:令f(x)=y=-x2+b.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則f'(x0)=limΔx→0f由題意得-2x0=1,則x0=-12由切點(diǎn)在直線y=x+2上,得y0=-12+2=3∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為-1又切點(diǎn)在曲線上,∴32=--1解得b=74答案:710.在曲線y=f(x)=2x2上求一點(diǎn)P,使得它到直線4x-y-5=0的距離最近.解:當(dāng)曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線與直線4x-y-5=0平行時(shí),點(diǎn)P到直線4x-y-5=0的距離最近.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),則曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為f'(x0)=limΔx→02(x0+Δx)由4x0=4,得x0=1,從而f(x0)=2.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2).B組1.曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為2x+y+1=0,則f'(x0)=().A.2 B.-2 C.12 D.-解析:由題意知,曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率為-2,所以f'(x0)=-2.故選B.答案:B2.(多選題)直線y=kx+1與曲線y=f(x)=x3+ax+b相切于點(diǎn)A(1,3),則().A.a=-1 B.b=2C.k=2 D.f'(1)=2解析:由導(dǎo)數(shù)定義可得曲線y=f(x)在(x0,f(x0))處的切線斜率為3x02由題意得13+a+b=3,3×12答案:ACD3.已知曲線y=f(x)=2ax2+1過(guò)點(diǎn)(a,3),則曲線在該點(diǎn)處的切線方程為().A.y=-4x-1 B.y=4x-1C.y=4x+8 D.y=4x或y=4x-4解析:∵曲線y=2ax2+1過(guò)點(diǎn)(a,3),∴a2=1.由題意得a≥0,∴a=1,故y=f(x)=2x2+1.從而曲線y=2x2+1在點(diǎn)(1,3)處的切線的斜率k=f'(1)=4,∴切線方程為y-3=4(x-1),即y=4x-1.答案:B4.已知A,B分別是曲線y=f(x)=12x2上的兩點(diǎn),A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是4,-2,曲線y=f(x)=12x2在A,B兩點(diǎn)處的切線交于一點(diǎn)M,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為(A.1 B.3 C.-4 D.-8解析:由題意可得,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,8),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,2).∵曲線y=12x2在點(diǎn)(4,8)處的切線的斜率k1=f'(4)=limΔ∴曲線在點(diǎn)(4,8)處的切線方程為y-8=4(x-4),即y=4x-8.同理可得曲線在點(diǎn)(-2,2)處的切線方程為y=-2x-2.由y=4x∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-4.答案:C5.已知函數(shù)f(x)=x2+bx的圖象在x=1處的切線與直線x+3y+2=0垂直,若數(shù)列1f(n)的前n項(xiàng)和為Sn,則S2020解析:函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率k=f'(1)=limΔx→0由題意得,2+b=3,解得b=1,所以f(x)=x2+x=x(x+1).所以1f所以S2020=11-12+12-1答案:20206.如圖,函數(shù)y=g(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程為y=-x+8,則g(5)+g'(5)=.

(第6題)解析:由題圖及切線方程知,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,3),即g(5)=3,又由切線方程知g'(5)=-1,所以g(5)+g'(5)=3+(-1)=2.答案:27.已知拋物線C:y=-x2+92x-4,過(guò)原點(diǎn)O作拋物線C的切線y=kx,使切點(diǎn)P在第一象限(1)求實(shí)數(shù)k的值;(2)過(guò)點(diǎn)P作切線的垂線,求它與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)Q.解:(1)設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),則k=f'(x1)=limΔx→0f(x1∵切點(diǎn)P在切線及拋物線C上,∴y1=kx1,②y1=-x12+92x聯(lián)立①②③,解得x1=-2或x1=2.∵點(diǎn)P在第一象限,∴x1=2,∴k=12(2)由(1)可得點(diǎn)P(2,1),過(guò)點(diǎn)P的切線的垂線的斜率為-2,∴該垂線方程為y=-2x+5.由y=∴該垂線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為928.求曲線y=1x和y=x2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積解:聯(lián)立兩曲線方程,得y=1即交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).曲線y=1x在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為f'(1)=limΔ∴曲