《高等數(shù)學(xué)》教案

2、D,那么點(diǎn)集像。

3、不同的表達(dá)式。

：不同自變量取值范圍的并集。

例3

麗:五像、性質(zhì)。

四、：設(shè)y=f(u),u=g(x),且與x對應(yīng)的u使y=f(u)有意義，那么y=f［g(x)］是xu

稱為中間變量。

說明：⑴

⑵交集。

從外到內(nèi)進(jìn)行；復(fù)合時(shí)，那么直接代入消去中間變量即可。

例5、設(shè)

或)構(gòu)成？

(1)(2)(3)

五、

西:(1);

一般形成方式：復(fù)合運(yùn)算、四那么運(yùn)算。

思考題|：

1、［定義域、對應(yīng)法那么］

2、？［奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性］

［不能］

探究題

一位旅客住在旅館里，圖1-5描述了他的一次行動，請你根據(jù)圖形給縱坐標(biāo)賦予某一

個(gè)物理量后，再表達(dá)他的這次行動.你能給圖1一個(gè)

小結(jié)|：關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,是事物普遍聯(lián)系的7~\I

定量反映反映了事物聯(lián)系的復(fù)雜性的多樣性。/\/

作業(yè)|：P4(A：2-3)；P7(A：2-3)'\/、

圖1—5時(shí)間

課堂練習(xí)（初等）

【A組】

1

(1)(2)(3)(x-1)(4)

2

(1)(2)(3)

3

(1)(2)(3)

4

(1)(2)(3)(4)

【B組】

1

2

3、設(shè)？

4、設(shè)=,求，？

數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)

1、幕（如）

()

（）

第二講導(dǎo)數(shù)的概念〔一〕、極限與導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目的：復(fù)習(xí)極限的概念及求法；理解導(dǎo)數(shù)的概念，掌握用定義求導(dǎo)數(shù)。

重難點(diǎn)卜求極限，導(dǎo)數(shù)定義及由定義求導(dǎo)法

教學(xué)程序|：極限的定義及求法（例）一＞導(dǎo)數(shù)的引入（速度問題）一＞導(dǎo)數(shù)的概念

—＞導(dǎo)數(shù)與極限一＞根本的導(dǎo)數(shù)（定義法）一＞例子（簡單）

授課提要:

前言：在前面的教學(xué)中，我們已討論了變量間的關(guān)系0,本節(jié)將復(fù)習(xí)(極限)，

在此根底上變化率導(dǎo)數(shù))。導(dǎo)數(shù)是高數(shù)的重點(diǎn),它的本質(zhì)是極限(比值的極

限)，在現(xiàn)實(shí)中有極豐富的應(yīng)用。

一、理論根底——極限(復(fù)習(xí))

1、極限的概念0

2、極限的四那么運(yùn)算法那么(略)

(1)假設(shè)為多項(xiàng)式，那么

例1：求以下極限

(1)(2)(3)

(2)假設(shè)為有理分式且，那么(代入法)

例2：求以下極限

(1)(2)(3)

(3)假設(shè)分式，當(dāng)時(shí)，，那么用約去零因子法求極限

例3：求以下極限

(1)(2)(3)

(4)假設(shè)分式，當(dāng)時(shí)，分子分母都是無窮大，那么適用無窮小分出法求極限。

例4：求以下極限

(1)(2)(3)

3、兩個(gè)重要極限

(1)⑵

說明：其中可以是的形式，且當(dāng)時(shí)，。

例5：求以下極限

(1)(2)(3)(4)

二、導(dǎo)數(shù)定義(復(fù)習(xí)增量的概念)

引例1、速度問題(自由落體運(yùn)動)

引例2、切線問題(曲線)

以上兩個(gè)事例具體含義各不相同，但從抽象的數(shù)量關(guān)系來看，戶在某一點(diǎn)處

的變化率，即特殊的極限導(dǎo)數(shù)。

解決問題的思路：

1、自變量X作微小變化zlx小段內(nèi)的平均變化率，作為點(diǎn)處變化率的近似

值；

2、對求的極限，假設(shè)它存在，這個(gè)極限即為點(diǎn)處變化率的精確值。

定義

麗:(1)在點(diǎn)隨自變量變化的快慢程度；

(2)假設(shè)不存在(包括)，那么稱在點(diǎn)不可導(dǎo)；

(3)假設(shè)在(a,b)a,b)內(nèi)可導(dǎo)，記，稱

為，簡稱導(dǎo)數(shù)。

(4)/7%)是M(期)是一個(gè)數(shù)值，/1(%)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)[(期)「(%)在點(diǎn)X0o

三、導(dǎo)數(shù)與極限的關(guān)系

導(dǎo)數(shù)是一種特殊(比值)的極限，即有導(dǎo)數(shù)-9有極限，反之不成立。

四(定義)

三步驟)

(1)求增量；(2)求比值；(3)求極限。

例7(推導(dǎo))

|思考題卜

1、是否存在，為什么？[0]

2、假設(shè)曲線=在處切線斜率等于3,求點(diǎn)的坐標(biāo)。

3、，利用導(dǎo)數(shù)定義求極限。[0]

探究題中，你對“極限法”有什么體會?

小結(jié)|：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)從微觀(局部)上研究非均勻量的變化率問題，是處理非

均勻量的“除法〃；其思想:⑴在小范圍內(nèi)以“勻”代"不勻”或"不變”代

“變”，獲得近似值；(2)利用極限思想使“近似值”轉(zhuǎn)化為"精確值”。

作業(yè)|：P22(A：1-3；B：3-4)

課堂練習(xí)(導(dǎo)數(shù)的概念一)

【A組】

1、求以下極限

(1)(2)(3)

⑷⑸⑹

2、求極限？3、求極限：？口

4、，求a的值？[2]

5在x=l處的導(dǎo)數(shù)？

6、設(shè)物體的運(yùn)動方程為，求(1)物體在t=2秒和t=3秒間的平均速度？

(2)求物體在t=2秒時(shí)的瞬時(shí)速度？

【B組】

1、設(shè)？口

2、［2］

3、證明導(dǎo)數(shù)公式：

4、一藥品進(jìn)入人體t小時(shí)的效力，求t=2,3,4時(shí)的效力E的變化率？

5、設(shè)A。

A、左右導(dǎo)數(shù)都存在B、左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在

C、右導(dǎo)數(shù)存在，左導(dǎo)數(shù)不存在D、都不存在

6.假設(shè)（為常數(shù)），試判斷以下命題是否正確。［全部］

（1）在點(diǎn)處可導(dǎo)；12）在點(diǎn)處連續(xù)；

⑶=；

數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)|：兩個(gè)重要極限的圖像認(rèn)識

1、極限：

2、極限：

3、等價(jià)無窮小的直觀認(rèn)識：0

第三講導(dǎo)數(shù)的概念〔二〕

教學(xué)目的卜熟悉導(dǎo)數(shù)根本公式；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求切線方程。

重難點(diǎn)|：根本導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義（求切線方程）

教學(xué)程序|：復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)定義一〉根本導(dǎo)數(shù)公式一〉例子［求導(dǎo)數(shù)）一〉導(dǎo)數(shù)的幾何意

義一＞例子（切線方程）一＞導(dǎo)數(shù)的物理意義（例子）

授課提要:

例1、求的導(dǎo)數(shù)？(由導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo))

于是我們有公式：

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么

1、代數(shù)和：

2、數(shù)乘：

(1)(2)(3)(4)

(1)(2)

三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義(作圖說明)

結(jié)論:表示曲線y=f(x)在點(diǎn)lx。,f(X。))的切線斜率。

例4、求曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程？

例5、設(shè)f(x),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(l,f(D)處的切線斜率？［導(dǎo)數(shù)定義及幾何

意義］

四、導(dǎo)數(shù)的物理意義

結(jié)論:設(shè)物體運(yùn)動方程為，那么表示物體在時(shí)刻t的暖間速度。

例6、設(shè)物體的運(yùn)動方程為，求物體在時(shí)刻t=l時(shí)的速度？

例7、求曲線上一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的切線平行于直線

。［］

思考題：與有無區(qū)別？］

探究題卜導(dǎo)數(shù)的值可不可以為負(fù)值？舉例說明。［可以］

IE3：導(dǎo)數(shù)的美學(xué)意義：局部線性之美()的

|作業(yè)kP25(A：1)；P28(A：1,3)

課堂練習(xí)(導(dǎo)數(shù)概念二)

【A組】

1

(1)(2)(3)(4)(5)

2

(1)(2)(3)(4)

3在x=l處的導(dǎo)數(shù)值？

4、設(shè)

5、設(shè)物體的運(yùn)動方程為，求時(shí)刻t=3時(shí)的速度？

6、拋物線=在何處切線與軸正向夾角為，并且求該處切線的方程.

【B組】

1、一球體受力在斜面上向上滾動，在t秒末離開初始位置的距離為，問其初

速度為多少？何時(shí)開始向下滾動？

2、曲線與相交于點(diǎn)(1,1),證明兩曲線在該點(diǎn)處相切，并求出切線方程？

數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)卜導(dǎo)數(shù)的幾何意義和美學(xué)價(jià)值

3、導(dǎo)數(shù)的美學(xué)意義：曲線的局部線性化。

(1)在x=0處比擬：曲線與切線；

(2)在x=l處比擬：曲線與切線。

第四講求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法那么〔一〕

教學(xué)目的：掌握根本導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么導(dǎo)數(shù)。

重難點(diǎn)|：根本導(dǎo)數(shù)公式與法那么

教學(xué)程序卜根本公式一〉運(yùn)算法那么一＞例子一〉二階導(dǎo)數(shù)的定義及求法

授課提要:

一、根本導(dǎo)數(shù)公式

由導(dǎo)數(shù)的定義，我們可以得到如下根本導(dǎo)數(shù)公式:

二、導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么

1、2、

3、4、

例1

(1)(2)(3)(4)

例2

(1)(2)

例3、設(shè)

例4、曲線的切線與直線垂直，求此切線方程?

三、二階導(dǎo)數(shù)

例5、求以下二階導(dǎo)數(shù)

(1)(2)(3)(4)

3、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義

設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律為：，那么表示物體在時(shí)刻t的加速度。

例6、設(shè)物體的運(yùn)動方程為：，求t=2時(shí)的速度和加速度？

思考題卜

1.思考以下命題是否成立？

(1)假設(shè)，在點(diǎn)處都不可導(dǎo)，那么點(diǎn)處也一定不可導(dǎo).

答：命題不成立.

如：==

,在=0=0處可導(dǎo).

(2)假設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，在點(diǎn)處不可導(dǎo)，那么+在點(diǎn)處一定不可導(dǎo).

答：命題成立.

原因：假設(shè)+在處可導(dǎo)，由在處點(diǎn)可導(dǎo)知=［+］在點(diǎn)處也可導(dǎo)，矛盾.

探究題

［導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義］

小結(jié)I:導(dǎo)數(shù)的物理意義更深層次反映了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)：研究非勻速物體運(yùn)動的

變化率。指路程對時(shí)間的變化率，指速度對時(shí)間的變化率。二階導(dǎo)數(shù)的幾何意

義：反映曲線的凹向。

作業(yè)：P30（A：1-2）

小知識|：數(shù)學(xué)的三次危機(jī)

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)：無理數(shù)的產(chǎn)生。(單位正方形的對角線長)

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)：微積分的產(chǎn)生和完善。[極限和無窮小的定義)

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)：集合論的產(chǎn)生。(羅素悖論)

課堂練習(xí)(導(dǎo)數(shù)公式與法那么一)

【A組】

1、求以下導(dǎo)數(shù)

(1)(2)(3)(4)

2、曲線在何處有水平切線？[x=-2/3]

3、曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？?

4、求以下二階導(dǎo)數(shù)

(1)(2)(3)

【B組】

1、設(shè)曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線與X軸的交點(diǎn)為(Xn,O),求極限？

2、假設(shè)？[1]

3、設(shè)，求?[-2]

4、，二階連續(xù)可導(dǎo)，求？[]

5、設(shè)某種汽車剎車后運(yùn)動規(guī)律為，假設(shè)汽車作直線運(yùn)動，求汽車在秒時(shí)的速

度和加速度。

數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：0

第五講求導(dǎo)法那么〔二〕、連續(xù)與導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目的：了解，理解連續(xù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

重難點(diǎn)：根本導(dǎo)數(shù)公式，連續(xù)的幾何直觀、連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系

教學(xué)程序|:復(fù)習(xí)根本導(dǎo)數(shù)公式、法那么一＞連續(xù)概念（極限定義）一＞連續(xù)的條件

一一＞可導(dǎo)與連續(xù)（例）-

授課提要：

一、復(fù)習(xí)根本導(dǎo)數(shù)公式和法那么

舉例：（略）

二、連續(xù)的概念（作圖直觀理解）

1、定義:X。點(diǎn)及附近有定義，當(dāng)時(shí)，有

，那么稱f（X）在X。點(diǎn)連續(xù)。

畫：連續(xù)是一種特殊的極限。連續(xù)少有極限，反之不成立。

例1、試證在x=0處連續(xù)？

（1）f（x）在X。點(diǎn)及附近有定義

（2）f（x）在X。點(diǎn)的極限存在

例2x=0處的連續(xù)性?

連綿不斷的曲線。

五、可導(dǎo)與連續(xù)

1、可導(dǎo)與連續(xù)的圖象特征

連綿不斷的曲線。（作圖例如）

曲線具有平滑性（無尖點(diǎn)、折點(diǎn)）

2、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理f（x）在X。點(diǎn)可導(dǎo)，那么f（x）在點(diǎn)X。連續(xù)；反之，結(jié)論不成立。

x=0點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)。

x=0點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo),但切線存在。

3、極限、連續(xù)、可導(dǎo)之間的關(guān)系

可導(dǎo)分連續(xù)少有極限；反之不一定成立。如在x=0處。

假設(shè)f(x)在X。點(diǎn)連續(xù)，那么

例5、求以下極限

⑴(2)⑶(4)

例6、討論在x=0處的連續(xù)性？

思考題

1.如果在處連續(xù)，問||在處是否連續(xù)？［連續(xù)］

2.如果在處可導(dǎo)，問||在處是否可導(dǎo)？［不一定］

3.

探究題|：型。［不連續(xù)點(diǎn)、尖點(diǎn)、折點(diǎn)］

小結(jié)|：意義：和諧與奇異之美。連續(xù)表達(dá)的是自然和諧、社會開展的生生不

息；間斷那么表現(xiàn)為不規(guī)那么和與眾不同，表達(dá)了自然界的豐富多彩和社會開展

中的跳躍性。

作業(yè)P34(A：1-2)；復(fù)習(xí)題(2-5)

課堂練習(xí)(求導(dǎo)公式與法那么二)

【A組】

1

(1)(2)(3)(4)

在x=l處的導(dǎo)數(shù)值？

3、求曲線在點(diǎn)(-1,0)處的切線方程？［］

4、口

5、設(shè)⑵

【B組】

1、的圖像？

f(x)在x=2處連續(xù)，且,求？⑵

3、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，?[12]

4、設(shè)，問a,bf(x)處處連續(xù)、可導(dǎo)？

(A)連續(xù)點(diǎn)(B)可去間斷點(diǎn)(C)跳躍間斷點(diǎn)(D)無窮間斷點(diǎn)

*6、假設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，且f(0)=f(a),試證：方程在

(0,a)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。

數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)不可導(dǎo)點(diǎn)的類型

1、連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)(尖、折點(diǎn))(如：)

2、不連續(xù)點(diǎn)為不可導(dǎo)點(diǎn)：

第六講定積分的概念

教學(xué)目的：了解定積分的概念，理解定積分的幾何意義。

重難點(diǎn)：作為面積的定積分概念

教學(xué)程序|：提出問題一〉解決問題(思想)一〉定積分定義一〉定積分的幾何意義

(例子)一＞定積分的性質(zhì)(簡單)

授課提要：

前言：在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的許多連續(xù)圍成的圖形的面積就不會

計(jì)算。下面討論由連續(xù)曲線

一、問題引入

1、曲邊梯形的定義

所謂曲邊梯形是指有三條直線段,其中兩條相互平行，第三條與這兩條相互

垂直，第四條邊為一條連續(xù)曲線所圍成的四邊形。(如下圖)

2、引例：如何求曲線所圍成的面積？(特殊曲邊梯形)

(1)分析問題

假設(shè)將曲邊梯形與矩形比擬，差異在于矩形的四邊都是直的，而曲邊梯形有

一條邊是曲的。

邈：用矩形近似代替曲邊梯形。為了減少誤差，把曲邊梯形分成許多小曲

邊梯形，并用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。當(dāng)分割越細(xì)，所得的近

似值越接近準(zhǔn)確值，通過求小矩形面積之和的極限，就求得了曲邊梯形得面積。

(2)解決問題(思路)本

第一步：分割yT，/

第二步：近似代替y=x/

第三步：求和/

第四步：取極限~?x

二、定積分的定義?1

現(xiàn)實(shí)中許多“分割取近似,求和取極限”和式極限。我們稱這種“和式極

限”

定義：()

由定積分的定義知，以上實(shí)例可以表示成定積分：面積

說明卜定積分是一個(gè)特殊的和式極限，因此，它是一個(gè)常量f(x)、積分區(qū)間

［a,b］有關(guān)，而與積分變量用何字母表示無關(guān)。

三、定積分的幾何意義(作圖)

f(x)在［a,b］上連續(xù)時(shí)，定積分可分成三種形式：

1、假設(shè)在［a,b］上，，那么定積分表示由曲線f(x),直線x=a,x=b,y=O所圍成的

曲邊梯形的面積A,即

2、假設(shè)在［a,b］上，，那么定積分表示由曲線f(x),直線x=a,x=b,y=O所圍成的

曲邊梯形的面積A的相反數(shù)，即

3、假設(shè)在［a,b］上，f(x)可正可負(fù)，那么定積分表示x軸上方圖形的面積Ai與

下方圖形的面積A2之差，即

結(jié)論:定積分的幾何意義：""，即。

例1、用定積分幾何意義判定以下積分的正負(fù):

(1)(2)

例2、用定積分表示由曲線y=x2+l,直線x=l,x=3和y=0所圍成的圖形面積？

四、定積分的性質(zhì)（簡略）

⑴⑵⑶

（4）積分中值定理:

/U）在以a,6為上下限的積分區(qū)間上連續(xù)，那么在a,b之間至少存在一個(gè)匕

（中值），使=/?（b—a）

積分中值定理有以下的幾何解釋：假設(shè)翼幻在［a,“上連

y=f(x)

續(xù)且非負(fù)，定理說明在［a,切上至少存在一點(diǎn)多使得以

［a,〃為底邊、曲線y=f（x）為曲邊的曲邊梯形的面積，與同

底、高為大。的矩形的面積相等，如下圖.因此從幾何角

度看，的

X

角度上看，/1（號理所當(dāng)然地應(yīng)該是我幻在［a,切上的平均值.Q

aJb

因此積分中值定理這里解決了如何求一個(gè)連續(xù)變化量的平均值問題.

思考題卜

1、用定積分的定義計(jì)算定積分，其中為一定常數(shù)。［矩形的面積］

2、如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義求以下積分的值:

⑴，卬,⑶，⑷.

探究題“什么是定積分"？

小結(jié)|：定積分的本質(zhì)：從宏觀1整體）研究非均勻量的“改變量”問題。是

處理非均勻量的“乘法〃；其感想：⑴在小范圍內(nèi)以“不變"代"變"，獲得近

似值；（2）利用極限思想使“近似值”轉(zhuǎn)化為"精確值”。其中，"分”是為了

“勻〃的需要，而“求和”是整體量的要求。

作業(yè)|：P40（A：1-3）

課堂練習(xí)（定積分的概念）

【A組】

—＞判定正誤：

1、定積分表示曲邊梯形的面積。（F）

f（x）、積分區(qū)間［a,b］及積分變量x有關(guān)。F

3、（T［4、（F）

二、用定積分表示面積：

(1)曲線

(2)由方程所確定的圓的面積？

三、用定積分的定義計(jì)算定積分，其中為一定常數(shù)。

【B組】

一、由定積分的幾何意義計(jì)算：？[]

二、由定積分的幾何意義求直線所圍成的平面圖

形的面積？

三、用定積分的定義求曲線所圍成的平面圖形的

面積？

數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：定積分思想的幾何直觀

門)步長為0.1的分割。(n=10)

(2)步長為0.05的分割。(n=20)

(3)步長為。01的分割。(n=100)

第七講定積分與導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目的:

重難點(diǎn)：作為路程的定積分、微積分根本定理

教學(xué)程序|：復(fù)習(xí)定積分概念(和式極限)一一〉N-L公式(求路程)

推導(dǎo)一＞N—-＞定積分的計(jì)算(簡單)

授課提要：

前言：下面將研究定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

定義：假設(shè)在某一區(qū)間上有，那么稱F(x)是f(x)的一個(gè)。

o(說明

*

f(x)在［a,b］。記。它有如下性質(zhì):

⑴；

(2)假設(shè)在［a,b］上連續(xù)，那么在［a,b］上可導(dǎo)，且有。

由性質(zhì)(2)p(x)是f(x)

定理()假設(shè)f(x)在［a,b］

例1、求？例2、求？

三、N-L公式(直觀推導(dǎo))

設(shè)一輛汽車作變速直線運(yùn)動(如圖)，從時(shí)刻a到b,求其經(jīng)過的路程?

,那么由定積分有；

一般地，有如下定理：

f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)

說明：(1)N-L聯(lián)系，給

(2)由定義知求定積分的步驟：①②的增量

例3、求以下定積分：

⑴(2)(3)

例4、求由曲線，直線x=0,x="，y=0所圍成的圖形面積？

例5、求曲線所圍成的平面圖形的面積？

例6、設(shè)物體的速度，求時(shí)段的距離？

思考題|：

1、?

2、

答：因?yàn)槭浅?shù)，故.

3、?

答：因?yàn)榈慕Y(jié)果中不含，故0.

4、?

答：由變上限定積分求導(dǎo)公式，知.

小結(jié)：N—L公式的意義：將矛盾的“微分〃與“積分”統(tǒng)一起來，是哲學(xué)中

的“對立統(tǒng)一”規(guī)律的具體表現(xiàn)，是微觀與宏觀的辨證統(tǒng)一。其美學(xué)價(jià)值：宏觀

上的統(tǒng)一之美。

作業(yè)|：P46(A：1)；(B：1)

課堂練習(xí)(定積分與導(dǎo)數(shù))

【A組】

1、計(jì)算以下定積分：

⑴(2)⑶

(4)(5)(6)

2、求曲線所圍成的圖形的面積？

3、設(shè)，求k的值？⑵

4、設(shè)［兩邊求導(dǎo)數(shù)］

【B組】

1、設(shè)，求a的值？［3］

2、求導(dǎo)數(shù)：？n

3、用定積分求極限：()

*4、利用定積分的性質(zhì)求極限：？(估值定理、夾值定理)

*5、證明方程在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根。

*6、設(shè)f(x)在［0,4］上連續(xù)，且，那么f(2)=1/4。

數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：定積分：的幾何直觀

第八講習(xí)題課〔導(dǎo)數(shù)與定積分〕

教學(xué)目的：系統(tǒng)化。

2、導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法那么

3、導(dǎo)數(shù)的幾何、物理及經(jīng)濟(jì)意義

4、定積分的概念，定積分的幾何、物理意義(經(jīng)濟(jì)意義)

5、用N-L公式求定積分

二、基此題型：

1、求以下極限

(1)(2)(3)⑷

2、求以下導(dǎo)數(shù)

(1)⑵(3)

3、求以下導(dǎo)數(shù)

(1)(2)(3)

4、求以下積分

(1)⑵(3)

5、求曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線方程？

6、求在t=2時(shí)的速度？

8、求曲線所圍成的圖形的面積？

9、物體的速度為，求時(shí)段經(jīng)過的路程？

10、設(shè)［可加性］

11＞設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，那么曲線y=f(x),直線x=a,x=b及y=O所圍成的曲

邊梯形的面積為。［］

三、提不與提高：

1、無窮小的定義與性質(zhì)

定義：假設(shè),那么稱時(shí)為無窮小。

性質(zhì):

例1、求極限，？

2、無窮小的比擬：(略)

當(dāng)時(shí)，有等價(jià)；

當(dāng)時(shí)，；

例2、當(dāng)時(shí)，比擬的階？

(1)有界定理；(2)最值定理；［3)零點(diǎn)定理；(4)介值定理

例3、設(shè)例x)在［0,2］上連續(xù)，且f(0)=f(2),證明方程在［0,1］上至少有一實(shí)

根。

5、定積分的性質(zhì)

(1);

⑵假設(shè)在［a,b］上有，那么

特別地，假設(shè)在［a,b］上有，那么

(3)對任意實(shí)數(shù)C有

(5)設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，那么其在［a,b］上的平均值

例3、比擬大?。号c

例4、求定積分：，其中

例5、求在區(qū)間［1,3］上的平均值？

第九講求導(dǎo)法那么〔三〕

教學(xué)目的：掌握根本導(dǎo)數(shù)公式和四那么運(yùn)算法那么,

重難點(diǎn)：四那么運(yùn)算法那么

教學(xué)程序：復(fù)習(xí))一〉導(dǎo)數(shù)四那么運(yùn)算法那么一〉例子

授課提要：

前面節(jié)將系統(tǒng)學(xué)習(xí)導(dǎo)。

一、復(fù)習(xí)(重點(diǎn))

(略)

二、復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)四那么運(yùn)算法那么(重點(diǎn))

設(shè)u(x),v(x)

(1)(2)(3)

(1)(2)(3)(4)

例2、求的導(dǎo)數(shù)？(由商的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo))

于是有

同理：

例4、求過點(diǎn)(1,2)且與曲線相切的直線方程?

三概念及分解

畫從外向內(nèi)

U)(2)(3)

四

畫首先復(fù)合結(jié)構(gòu)再使用連鎖法那么

由外向內(nèi)的順序進(jìn)行。

例6、求以下導(dǎo)數(shù)(先分解后求導(dǎo))

(1)(2)(3)(4)

例7、設(shè)在可導(dǎo)，且，記，其中a為

常數(shù)，求？

例8、設(shè)？[5e]

思考題卜

1、設(shè)，求？[利用指數(shù)恒等式：]

2、設(shè)求？口

垣1：“連鎖法那么”。

作業(yè)|：P55(A：1-2；B：2)；P58(A：1)

思考題:

課堂練習(xí)(求導(dǎo)法那么三)

【A組】

(1)(2)(3)(4)

2、設(shè)

3、在曲線上取兩點(diǎn)XI=1,X2=3,過這兩點(diǎn)引割線，問曲線上哪點(diǎn)的切線平行于

所引割線？

(1)(2)(3)(4)

在x=l處的導(dǎo)數(shù)值？

6、曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？

【B組】

1、

2、設(shè)？[1/3]

3、設(shè)，問a,bf(x)處處連續(xù)、可導(dǎo)？

4,設(shè)?[]

5,設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，?fl2]

數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn):

教學(xué)目的：，會求

重難點(diǎn)|求導(dǎo)、二階導(dǎo)數(shù)

|教學(xué)程序|一〉例子一＞高階導(dǎo)數(shù)定義一＞例子

—＞二階導(dǎo)數(shù)的物理意義一〉求高階導(dǎo)數(shù)

授課提要:

，G⑵3

、

制

I2切r1

~、LJ

闡

-設(shè)

-H3

W、

口

1-4演

、

■#

二、高階導(dǎo)數(shù)的概念

y=f(x)nTn階導(dǎo)數(shù)。

例5

(1)(2)(3)

例6、設(shè)？

例7、求和的n階導(dǎo)數(shù)？

例8、求的n階導(dǎo)數(shù)？口

例9、求的n階導(dǎo)數(shù)？口

三、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義(復(fù)習(xí))

設(shè)物體的運(yùn)動方程為s(t),那么表示物體在時(shí)刻t的加速度。

例10、設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律為：時(shí)的速度和加速度？

探究題

U)股票價(jià)格上升得越來越快；[]

(2)股票價(jià)格接近最低點(diǎn)。[]

思考題|：[說明銷量增長速度很快]

小結(jié)：理解高階導(dǎo)數(shù)的“遞歸定義法”(即，高一階導(dǎo)數(shù)是通過低一階導(dǎo)數(shù)

求導(dǎo)而來)；

作業(yè)：P59(A：2-3；B：1)

課堂練習(xí)()

【A組】

1、求以下導(dǎo)數(shù)

(1)(2)(3)

(1)(2)(3)

4、設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律為，求物體在t=0時(shí)的速度和加速度？

,求？

f(x)在R內(nèi)可導(dǎo)，周期為4,又，那么曲線y=f(x)在點(diǎn)(5,f(5))的切線斜率為

2o

【B組】

1、設(shè)？[1]

2、假設(shè)，求？[6]

3、求的n階導(dǎo)數(shù)？[變形]

第十一講'對數(shù)求導(dǎo)法

教學(xué)目的：，了解對數(shù)求導(dǎo)法。

重難點(diǎn)的求導(dǎo)法

|教學(xué)程序|——＞對數(shù)求導(dǎo)法

(例子)一〉參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)一〉例子

授課提要：

自變量與因變量的。

如：等所確定的y是x

：在方程的兩邊各項(xiàng)分別對x求導(dǎo)，視y為xy'即可。

在點(diǎn)[0,1)的導(dǎo)數(shù)值？[1/e]

說明|x和y的表達(dá)式。

例4、求曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程？

三、對數(shù)求導(dǎo)法

(其中U,v是X:應(yīng)先對方程兩邊取對數(shù),然后用求導(dǎo)數(shù)。(即先取對數(shù)，后求

導(dǎo)數(shù))

?

例7、求導(dǎo)數(shù)：

*四、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合

說明：參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)一般是含參變量t的表達(dá)式。

思考題卜

1、如何求的導(dǎo)數(shù)？［兩次取對數(shù)后再求導(dǎo)數(shù)］

2、求的導(dǎo)數(shù)？［先區(qū)對數(shù)再求導(dǎo)數(shù)］

3、一球形細(xì)胞以/天增長體積，當(dāng)3的半徑為時(shí)，其半徑增長速度是多少？

小結(jié)卜求導(dǎo)；（3）解出（一般是含的表達(dá)式）。

參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)：推導(dǎo)得來。

作業(yè)：P62（A：2-3；B：1-2）

課堂練習(xí)0

【A組】

(1)(2)(3)

2、求由方程y在點(diǎn)(0,1)處的導(dǎo)數(shù)？

4、設(shè)物體的運(yùn)動方程為：，求(1)物體任意時(shí)刻的速度和加速度？(2)何時(shí)速度

為0?(3)何時(shí)加速度為0?

*5、求以下導(dǎo)數(shù)

(1)⑵

【B組】

y=y(x)由方程所確定，求？

的二階導(dǎo)數(shù)？

3、確定a,b,c的值，使拋物線與曲線在x=0處相交，并具有相同的一、二階

導(dǎo)數(shù)。

4、設(shè)

5、設(shè)_____o

*6、定而小線上任一點(diǎn)的切線所截二坐標(biāo)軸的截距之和等于lo

*7、,求。

歸納總結(jié)

1、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)

⑵求比值：；

(3)求極限:或。

2、根本導(dǎo)數(shù)公式(常用)

3、四那么運(yùn)算法那么(可導(dǎo))

或

6、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)

第十二講習(xí)題課〔導(dǎo)〕

教學(xué)目的：系統(tǒng)化本單元內(nèi)容，系統(tǒng)掌握

1、由定義求導(dǎo)(三步驟)；

3、

4、

5、

二、基此題型：

1、求以下導(dǎo)數(shù)

⑴⑵⑶

2、求以下導(dǎo)數(shù)

(1)⑵⑶

(1)(2)(3)

4、設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律為，求物體在t=0時(shí)的速度和加速度？

5、設(shè)，求？

6、設(shè)？

7、設(shè)，且，求曲線在點(diǎn)處

的切線方程？

(1)(2)(3)

9、求由方程y在點(diǎn)（0,1）處的導(dǎo)數(shù)？

11、，求？

三、微積分的開展史11615—1883年）

我絕對相信歷史事實(shí)是一種出色的教育指南一一M.Kline

1615年，德國的開卜勒發(fā)表?酒桶的立體幾何學(xué)?，研究了圓錐曲線旋轉(zhuǎn)體的體積。

1637年，法國的笛卡爾出版?幾何學(xué)?，提出了解析幾何，把變量引進(jìn)數(shù)學(xué)，成為“數(shù)學(xué)

中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)"。

1638年，法國的費(fèi)馬開始用微分法求極大、極小問題。

1665-1676年，牛頓（1665-1666年）先于萊布尼茨（1673-1676年）制定了微積分，萊

布尼茨（1684-1686年）早于牛頓（1704-1736年）發(fā)表了有關(guān)微積分的著作。

1691年，瑞士的約.貝努利出版?微分學(xué)初步？，這促進(jìn)了微積分在物理學(xué)和力學(xué)上的應(yīng)

用及研究。

1696年，法國的洛比達(dá)創(chuàng)造求不定式極限的“洛比達(dá)法那么"。

1697年，瑞士的約.貝努利解決了一些變分問題，發(fā)現(xiàn)最速下降線和測地線。

1704年，英國的牛頓發(fā)表?三次曲線枚舉?、？利用無窮級數(shù)求曲線的面積和長度?、？流

數(shù)法？。

1711年，英國的牛頓發(fā)表?使用級數(shù)、流數(shù)等的分析?。

第十三

教學(xué)目的：單調(diào)區(qū)間。

重難點(diǎn)：單調(diào)性判別法

教學(xué)程序|:簡介微分中值定理一〉復(fù)習(xí)單調(diào)性的定義一＞單調(diào)性的判定(導(dǎo)數(shù))

—＞求單調(diào)區(qū)間1例子)一一＞歸納總結(jié)解題步驟

授課提要：

一、拉格郎日中值定理

門分在以團(tuán)上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。

(作圖說明)

M|：⑴此定理是微積分學(xué)超立要度理局部性整體性的重要工具。

(2)此定理是充分而不必要的。

［任取閉區(qū)間］

例2、證明：［用Lagrange定理］

二、羅比達(dá)法那么(表達(dá))

1、使用條件:(1)屬于的不定式；(2)導(dǎo)數(shù)的極限存在;

2、：先求導(dǎo)數(shù)，后求極限；滿足條件時(shí)可連續(xù)使用。

例2、求以下極限

⑴(2)(3)

(4)⑸(6)

三的單調(diào)性及判定(一階導(dǎo)數(shù))

1、復(fù)習(xí)單調(diào)性的概念：(略)

作圖演示)

3、單調(diào)性判定定理:

設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

⑴假設(shè)，那么f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加;

(2)假設(shè)，那么f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少；

(3)假設(shè),那么在la,b)內(nèi)，f(x)=Co

例3、判定的單調(diào)性？

例4

四

1、駐點(diǎn)的概念(一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn))

2、y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟：

(1)

(2)求出的點(diǎn)和不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)將定義域

區(qū)間分成假設(shè)干局部區(qū)間；

(3)

例5

例6

例7、證明：當(dāng)()

思考題|：

1、用洛必達(dá)法那么求極限時(shí)應(yīng)注意什么？［注意使用條件］

2、試

Rift微分中值定理是連接“局部性質(zhì)與整體性質(zhì)〃的橋梁。

作業(yè)：P72(A：1)

課堂練習(xí)0

【A組】

在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增？

的駐點(diǎn)？

的單調(diào)區(qū)間？

4、證明不等式：

5、判定正誤:

⑴假設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么-f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減。(T)

⑵假設(shè)，那么xo必為駐點(diǎn)。(T)

⑶假設(shè)xof(x)的駐點(diǎn)，那么曲線f(x)在點(diǎn)(xo,f(xo))處的切線方程為

(T)

【B組】

在(一8,0)內(nèi)單調(diào)遞增。

間的關(guān)系？

3、在內(nèi)有唯一實(shí)根。

4、設(shè)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且

單調(diào)增加。

求極限：？[-1]

*6、求證：方程

數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：微分中值定理的幾何直觀

1、比擬羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的幾何意義

,于是由Lagrange定理得Cauchy定理。

2、單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的幾何直觀

第十四的極值

教學(xué)目的：理解

重難點(diǎn)：極值概念及求法

教學(xué)程序|:極值的概念一>極值存在的必要條件一〉極值存在的充分條件(第一、

第二充分條件)------>歸納總結(jié)解題步驟

授課提要：

1、定義：(略)(作圖直觀理解)

畫：⑴極值是一個(gè)局部概念:

(2)

2、極值存在的必要條件

f(x)在點(diǎn)取極值，那么不存在。

畫：(1)假設(shè)，不一定是極值點(diǎn)。如：在x=0處。

(2)假設(shè)不存在，也可能是極值點(diǎn)。如：在x=0處。

二、極值存在的第一充分條件(一階導(dǎo)數(shù)法：格)

的極值點(diǎn)和極值？

例2、求的單調(diào)區(qū)間和極值？

三、極值存在的第二充分條件(二階導(dǎo)數(shù)法)

設(shè)f(x)在點(diǎn)有一、二階導(dǎo)數(shù)，且，那么

(1)假設(shè)，那么f(x。)為極小值；

(2)假設(shè),那么f(x0)為極大值。

(1)

(2)

(3)用極值的第一或第二充分條件確定極值點(diǎn)；

(4)把極值點(diǎn)代入f(x),求出極值并指明是極大還是極小。

麗1適用范圍。

是極大值還是極小值？并求極值?

思考題卜

1、可能極值點(diǎn)有哪幾種？［駐點(diǎn)或不存在的點(diǎn)］

2、如何判定可能極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？［兩個(gè)極值存在的充分條件］

丕窗：的極值“相對性”。

作業(yè)|：P72(A：2；B：2)

課堂練習(xí)(的極值)

【A組】

的極值？

(1)(2)

在x=l處有極值-2,求a,b的值？

的極值？

5、判定正誤：

(1)假設(shè)X。為極值點(diǎn)，且曲線在X。處有切線，那么切線平行于x軸。［T］

⑵y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一駐點(diǎn)，那么此駐點(diǎn)必是極值點(diǎn)。［F］

⑶f(x)在(a,b)內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)xo,那么f(X。)就是f(x)的最值。［F］

【B組】

2,設(shè)y=y(x)由方程所確定，求y=y(x)的駐點(diǎn)，并判別其是否為極值點(diǎn)？［二階

導(dǎo)數(shù)法］

3、y=f(x)對一切x滿足那么

(B)

A、￡(而)是￡6)的極大值B、f(x。)是f(x)的極小值

C、點(diǎn)(Xo,f(Xo))是拐點(diǎn)D、都不是

數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn):

第十五講曲線的凹凸性

教學(xué)目的：理解凹凸性的定義，會求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。

重難點(diǎn)：求曲線的凹凸區(qū)間

教學(xué)程序：凹凸性的概念一＞凹凸性的判定一＞求凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)一＞應(yīng)用

授課提要：

一、凹凸的概念

比擬曲線的變化)

畫

2、定義：(略)(通過曲線與切線的位置關(guān)系定義)

啊：(D注意拐點(diǎn)的定義(凹與凸的分界點(diǎn)，即二階駐點(diǎn))；

(2)凹凸性可看成二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

二、凹凸性判定

定理

(1),那么在內(nèi)是凹的；

(2),那么在內(nèi)是凸的；

(3)凹與凸的分界點(diǎn)，稱為拐點(diǎn)。

例1、求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)？

例2、求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)？

三、求曲線凹凸區(qū)間的步驟(比擬求單調(diào)區(qū)間與極值的步驟)

(1)求；

(2)求二階駐點(diǎn)和二階奇點(diǎn)；

(3)分段(區(qū)間)討論凹凸性、確定拐點(diǎn)。

例3、求曲線的單調(diào)和凹凸區(qū)間，極值與拐點(diǎn)？

四、凹凸性的應(yīng)用

(1)由曲線的凹凸性可知。

例4、

(2)了解曲線的凹凸性便于。

思考題

1、

[]

小綺曲線的

作業(yè)|：P77(A：1-2；B：1)

課堂練習(xí)(曲線的凹凸性)

【A組】

1、求以下曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)：

(1)

⑵

2、求曲線的單調(diào)和凹凸區(qū)間，極值與拐點(diǎn)？

3、點(diǎn)(1,2)為曲線的拐點(diǎn)，求a,b的值？

【B組】

1、證明曲線有三個(gè)拐點(diǎn)，且其在一條直線上。

2、

(1)(2)

第十六的最值

教學(xué)目的：理解最值的概念，會求簡單實(shí)際問題的最值。

重難點(diǎn):

教學(xué)程序|：最值的概念一＞最值求法(比擬法)一〉兩種特殊情況的最值一〉實(shí)際

問題的最值(例子)一一》數(shù)學(xué)建模介紹(最優(yōu)化)

授課提要：

一、最值的定義(略)

邈最值是一個(gè)全局概念,是針對整個(gè)區(qū)間而言的。

二、求連續(xù)f(x)在［a,b］上最值的一般(比擬法)。

三、兩種特殊情況下求最值：

(1)假設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)、單調(diào)，那么f(a),f(b)一定是最值;

(2)假設(shè)f(x)在某一區(qū)間上僅有唯一駐點(diǎn)，且該駐點(diǎn)是極值點(diǎn)，那么此極值

點(diǎn)

一定是最值點(diǎn)。

例2、求在［1,2］上和R上的最值？

例3、求在［0,2］上的最值？

四、最值應(yīng)用

(a,b)內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，又根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，可以判定(a,b)內(nèi)必有最

大(最小)值，且唯一駐點(diǎn)就是最值點(diǎn)，勿需進(jìn)行數(shù)學(xué)判定。

例4、用邊長為48cm的正方形鐵皮作一個(gè)無蓋鐵盒，問在四周截去多大的四個(gè)

相同的小正方形后，才能使所作的鐵盒容積最大？

例5、假設(shè)長方形周長一定時(shí)，何時(shí)面積最大？

麗:求實(shí)際問題的最值時(shí)，很重要一點(diǎn)

例6、設(shè)總本錢和總收入由下式給出，其中，求獲得最大利潤的產(chǎn)量x?

五、最優(yōu)化問題及數(shù)學(xué)建模871,例15)

例7、樂山大佛通高71米，假設(shè)乘船欣賞大佛的游人眼睛在大佛腳底水平線

下1米，為得到欣賞大佛的最正確視角(應(yīng)使視角最大)，這時(shí)游人離大佛(中

心線)有多遠(yuǎn)的水平距離？［8.5米］

思考題卜

0［局部與整體］

丕窗：最值指區(qū)間特性。對于某個(gè)區(qū)間，它是絕對的，對于不同的區(qū)間，它是

相對的；表達(dá)了“絕對性〃與“相對性〃的辨證統(tǒng)一。

作業(yè)P82(A：1-3)；P78(最優(yōu)化問題)。

課堂練習(xí)0

【A組】

1、求以下最值：

(1)(2)

2、某企業(yè)生產(chǎn)每批某產(chǎn)品x單位的總本錢，得到的總收入，為提高經(jīng)濟(jì)效

益，每批生產(chǎn)多少時(shí)，才能使總利潤最大？

*3、某工程的利潤有兩個(gè)方案可供選擇，它們的關(guān)系分別為：，，其中t為時(shí)

間，問t=l時(shí)，哪個(gè)方案最優(yōu)？［二階導(dǎo)數(shù)］

【B組】

1、設(shè)y=y(x)由方程所確定，求y=y(x)的駐點(diǎn)，并判別其是否為極值點(diǎn)？

2、某公司在市場上推出一種產(chǎn)品時(shí)發(fā)現(xiàn)需求量由方程確定，總收益，且生產(chǎn)x

單位的本錢為，求獲得最大利潤的單位價(jià)格p?

3、將10分成兩個(gè)正數(shù)，使其平方和最??？

4、試求內(nèi)接于半徑為厘米的圓的周長最大的矩形的邊長？

數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn):

1、最值與極值:

2、從二階導(dǎo)討論曲線的凹凸性:

第十七講微分〔一〕

教學(xué)目的：理解

重難點(diǎn)：微分的定義、微分的形式不變性

教學(xué)程序:問題引進(jìn)一＞微分定義一＞可導(dǎo)與可微一＞微分公式一

微分(形式不變性)一〉求微分舉例

授課提要：

一、微分定義

1、問題：一塊正方形鐵皮受溫度變化的影響，

其邊長由變化到時(shí)，其面積改變了多少？

解：

當(dāng)較小時(shí)，。

■x()Ax

2、定義y=f(x)在x()f(x)在點(diǎn)X。的微分，記dy,即,一般地，。

，那么，所以，即。(dx稱為自變量的微分)

畫：(1)導(dǎo)數(shù)乘上自變量的微分。

12)說明微分、微商含義。

例1、設(shè)，當(dāng)時(shí)，求例和Ay?

(1)(2)(3)

二、可微與可導(dǎo)之間的關(guān)系

定理f(x)

麗:此定理僅對。

y=|xT|在x=l處的可微性？(可導(dǎo)性)

三、微分的幾何意義

設(shè)y=f(x),那么dy等于曲線在點(diǎn)(x,y)處的切線的縱坐標(biāo)的增量。(作圖)

四、微分根本公式

由和導(dǎo)數(shù)根本公式得到微分根本公式。(略)

設(shè)y=f(u),u=g(x)y=f［g(x)］,那么

邈：不管u是中間變量還是自變量，微分的形式都可表示為：

(一階微分的形式不變性)

例4、填空

(1)(2)(3)(4)

(5)(6)

例5

(1)(2)(3)

在x=0和x=l處的微分？

思考題卜

1、答復(fù)以下問題：

⑴儀的在點(diǎn)選是］

(2)￡6)在俎口上可微，f(x)的微分隨哪些變量變化？口

(3)du與是否相等？［u為中間變量時(shí)不相等］

2、可導(dǎo)與可微有何關(guān)系？其幾何意義分別表示什么？有何區(qū)別？［等價(jià)］

3、在一點(diǎn)可微，可導(dǎo)，連續(xù)間有何關(guān)系？

正窗：微分的本質(zhì)：增量的線性主部，的依據(jù)。

作業(yè)卜P87(A：1-3)

課堂練習(xí)(微分一)

【A組】

1、填空

(1)(2)(3)(4)

(5)(6)

2、當(dāng)x從0變到0.01y=e'的近似值？

(1)(2)(3)

4、當(dāng)自變量x有改變量時(shí)，問Ay,分別表示什么含義?

【B組】

1、作兩個(gè)圖，分別表示和？

2、設(shè)f(x)可微，求的微分?

3、設(shè)，那么=o

數(shù)學(xué)認(rèn)識實(shí)驗(yàn)：增量的圖像比擬

1、微分量與增量:

2、微分思想：“以直代曲”的幾何意義。

在上圖中，在x的附近，可以用切線PT代替曲線PQ,即

(泰勒公式)：()

近似多項(xiàng)式：(在x=0處展開)

第十八講微分〔二〕

教學(xué)目的：熟悉湊微分式，了解微分的簡單應(yīng)用。

重難點(diǎn)：湊微分式，微分的應(yīng)用

教學(xué)程序：湊微分式(填空)—＞微分的應(yīng)用—＞近似計(jì)算—＞例子

授課提要：

一、湊微分式

例1、填空：

(1)(2)(3)

(4)(5)

(6)(7)

二、微分應(yīng)用

1、利用微分求導(dǎo)數(shù)(微分的形式不變性)

在方程的兩邊求微分,通過求微商而求出導(dǎo)數(shù)。

例2、求由方程

例3、求由方程

2、近似公式

由微分的定義知，當(dāng)，于是有

近似公式：

例4、求近似值：？

例5、球殼外徑為20厘米，厚度為2毫米，求球殼體積的近似值?

在上面公式中，取

例6、當(dāng)x較小時(shí)，證明以下公式：

(1)(2)

*3、泰勒公式(選講)

f(x)在x=0點(diǎn)有直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么

例7、用泰勒公式求極限：[1/2]

提示:

探究題|：

掌握微分的應(yīng)用一一近似計(jì)算，熟練“湊微分”式子。

作業(yè)：P87(A：5；B：2-3)

課堂練習(xí)(微分二)

【A組】

1、填空

(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

2、求，的近似值？

3、證明近似公式：

(1)(2)

4、正方體鐵箱外沿為1米，鐵皮厚為2毫米，求裝進(jìn)液體體積的近似值?

【B組】

x有O〈f(x)〈l,且，試證在(0,1)內(nèi)有且只有一個(gè)x使f(x)=x.

2、設(shè)，其中f(t)yx的二階微分？

3、用泰勒公式求極限：？

提示:

4在點(diǎn)(0,1)的微分？

第十九講習(xí)題課〔導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用'微分〕

教學(xué)目的：。

一、根本概念

拉格郎日定理、單調(diào)性、極值、最值、微分

二、根本法那么

1、拉格郎日定理

3、極值存在的充分條件4、單調(diào)性的判別法

5、最值的求法6、微分的應(yīng)用

三、典型例題

1、求以下極限：

(1)(2)(3)

2、證明：。

3、證明：。

4、設(shè)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，假設(shè)f(x)f'(x)

5、證明：方程在內(nèi)有3個(gè)實(shí)數(shù)根。

7、求的極值？

8、求曲線的單調(diào)區(qū)間與極值，凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)？

9、容積為16九立方分米的圓柱形罐頭盒，怎樣設(shè)計(jì)才能使用料最??？

lOx有0<f(x)<l,且，試證在(0,1)內(nèi)有且只有一個(gè)x使f(x)=x

11>填空

(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

12、證明近似公式：〔當(dāng)岡較小時(shí))

⑴⑵⑶

13、

(1)(2)(3)

14、，求？

15、設(shè)

提示:

四、提示與提高

1、洛比達(dá)法那么求極限的考前須知

(1)只有滿足定理?xiàng)l件時(shí)，才能使用。

例1、求極限？(不滿足條件)

(2)用一次法那么后，假設(shè)算式比擬繁瑣應(yīng)進(jìn)行化簡；假設(shè)算式中有非未定

式，

應(yīng)將其別離出