安徽省淮北市樹人高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試卷

高二第一期開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷(理)

選擇題(每題5分，共12小題)

1.設(shè)集合A={)，|y=2',xGR),xGR},則AnB=()

A.{1}B.(0,+8)C.(0,1)D.(0,1]

2.f(x)==_-在()

l-x

A.(-°°,1)U(1,+8)上是增函數(shù)

B.(-1)U(1,+8)上是減函數(shù)

C.(-8,1),(1,+8)分別是增函數(shù)

D.(-8,1),(1,4-00)分別是減函數(shù)

3.能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是().

A.眾數(shù)B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

4.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是工，中獲勝的概率是工，則甲不輸?shù)母怕蕿?)

23

5211

(A)-(B)-(C)-(D)-

6563

5.如圖，已知點C為A0AB邊AB上一點，且AC=2CB,若存在實數(shù)m,n,使得

OC=mOAi-nOt則加一〃的值為().

，x+y>_]

6.若變量x,y滿足約束條件《2x-y<l?則z=3x-)，的最小值是()

A.-7B.-9C.-1D.-5

7.若A，B為互斥事件，貝I()

A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)<1

C.P(A)+P(B)=1D.P(A)+P(B)>1

8.如圖是2016年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去

掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)依次為（）

79

844647

93

A.84,84B.84,85C.86,84D.84,86

9.從1,2,3,4,5中任取三個數(shù)，則這三個數(shù)成遞增的等差數(shù)列的概率為（）

10.已知點尸是邊長為4的正方形內(nèi)任一點，則點尸到四個頂點的距離均大于2的概率是（）

A.子B.13C.1D.年

11.若直線辦+力=1與圓V+y2=i有兩個公共點，則點尸（a,h）與圓％2+y2=i的位置

關(guān)系是（）

A.在圓上B.在圓外C.在圓內(nèi)D.以上都有可能

12.已知函數(shù)/（x）=2cos2x—6sin2x,在口48。中，內(nèi)角A3,C的對邊分別是a,"c,

內(nèi)角A滿足/（4）=-1，若。=#，則口46c的面積的最大值為（）

A.3#>B.遇C.BD.243

24

二.填空題（每題5分，共20分）

13.一組樣本數(shù)據(jù)x,4,5,6,y的平均數(shù)為5,標(biāo)準(zhǔn)差為4,則/+/=128.

14.已知某種產(chǎn)品產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料y（噸）具有線性相關(guān)關(guān)系，在生產(chǎn)過程中

收集了6組數(shù)據(jù)，由6組數(shù)據(jù)得到數(shù)據(jù)的中心點為（4.5,3.5）,y關(guān)于x的線性回歸方程為丫=

出+0.35,據(jù)此可估計x=7時，y=

15.從裝有大小相同的2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，下列事件中是互斥事件的

序號為③④.

①至少有1個白球；都是白球.

②至少有1個白球；至少有1個紅球.

③恰有1個白球；恰有2個白球.

④至少有1個白球；都是紅球.

16.三棱柱ABC-ABG各頂點都在一個球面上，側(cè)棱與底面垂直，ZACB=120°,

CA=CB=2百，AA1=4,則這個球的表面積為.

三.解答題（共6小題，計70分）

17.（10分）己知A45C三內(nèi)角A，B,C的對邊分別為“，八點。為8c邊的中點,

acos3=-（/?+2c）cosA,AD=\.

（1）求A；

（2）求AABC面積的最大值.

18.（12分）廬江縣統(tǒng)計局統(tǒng)計了該縣2019年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計資料如

表：

年收入（萬元）24466677810

年飲食支出），（萬元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3

（1）由散點圖可知y與x是線性相關(guān)的，求線性回歸方程；

（2）若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測其年飲食支出.

￡（Xj-x）（y「y）

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:

n_

2

X（Xi-x）

￡（xiyi-n

--1010

a=y-fcx-（參考數(shù)據(jù)：￡Xi%=115,￡X2=406.）

i=li=l

19.（12分）已知Sn為數(shù)列｛aj的前n項和，且向量方二（-4,n）,b=（Sn,n+3）垂直.

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項公式;

(2)數(shù)列一二前n項和為Tn,求證：T?<-.

20.(12分)疫情期間，在家中適當(dāng)鍛煉，合理休息，能夠提高自身免疫力，抵抗病毒.某小

區(qū)為了調(diào)查“宅”家居民的運動情況，從該小區(qū)隨機抽取了100位居民，記錄了他們某天

的鍛煉時間，其頻率分布直方圖如下：

(1)求。的值；

(2)估計這100位居民鍛煉時間的平均值彳；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)

(3)求中位數(shù)的估計值.

21.(12分)如圖，四棱錐尸-ABC。中，底面ABCZ)是邊長為2的正方形，平面平

?lABCD,AP=PB,APLPB,E為。尸的中點.

(1)求證：AP〃平面8DE；

(2)求點。到平面ACP的距離.

22.(12分)某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購

進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買,

則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種

機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

頻數(shù)

0161718192021更換的易損零件數(shù)

記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺機器在購買易損零件上所需

的費用（單位：元），〃表示購機的同時購買的易損零件數(shù).

（I）若〃=19,求y與x的函數(shù)解析式；

（II）若要求"需更換的易損零件數(shù)不大于〃”的頻率不小于05求〃的最小值；

（III）假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零

件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機

器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件？

高二第一期開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷

選擇題(每題5分，共12小題)

I.設(shè)集合A={)，|y=2',xGR),8={x僅xGR),則AAB=()

A.{1}B.(0,+8)C.(0,1)D.(0,1]

【解答]解：A={y|y>0),B={x|x<l}；

???AG8=(0,1].

故選：

2.f(x)=1■在()

l-x

A.(-1)U(1,+8)上是增函數(shù)

B.(-8,1)U(1,4-00)上是減函數(shù)

C.(-8,1),(1,+8)分別是增函數(shù)

D.(-8,1),(1,+8)分別是減函數(shù)

【解答】解：/(x)=上=-上

l-xX-1

X-1

由函數(shù)y=二上在x>0,XV0均為增函數(shù)，

x

則將產(chǎn)二L的圖象向右平移1個單位，可得尸-，的圖象，

XX-1

再向下平移1個單位，即可得到/(X)的圖象，

則有了(X)在X>1,X<1上均為增函數(shù)，

則有函數(shù)/(X)的增區(qū)間為(-8,1),(1,+8).無減區(qū)間.

故選：C.

3.能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是().

A.眾數(shù)B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

【答案】D

4.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是,，甲獲勝的概率是工，則中不輸?shù)母怕蕿?)

23

521、1

(A)-(B)-(C)-(D)-

6563

【答案】A

【解析】甲不輸?shù)氖录?，包括兩人下成和棋或甲獲勝，且兩個事件互斥，所以甲不輸概率為

236

5.如圖，已知點C為△OAB邊AB上一點，且AC=2CB,若存在實數(shù)m,n,使得

元=加西+"而，則機的值為().

112

A.---B.0C.-D.一

333

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的基本定理和共線定理，結(jié)合已知求出m-n的值.

【詳解】

OC^OB+BC-OB+-BA^OB+-BO+-OA^-OA+-OB,所以加―〃=—』.

333333

故選：A

x+y》-l

6.若變量x,y滿足約束條件］2x-y<l，

貝ijz=3x-y的最小值是()

yCl

A.-7B.-9C.-1D.-5

x號》-1

【解答】解：由變量x,y滿足約束條件2x-y<b作出可行域如圖，

yCl

由圖可知，最優(yōu)解為A,

聯(lián)立卜4y=7,解得C(0,-1).

l2x-y=l

由卜4y7解得4(-2,1),

ly=l

由［2x-y=l,解得8(1,1)

ly=l

r.z=3x-y的最小值為3X(-2)-

故選：A.

7.15.若A，3為互斥事件，貝IJ()

A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)<1

C.P(A)+P(8)=1D.P(A)+P(B)>1

【答案】B

【解析】

因為A,B互斥，但A,B不一定對立，所以尸（A）+P（B）W1

8.如圖是2016年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去

掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)依次為（）

79

844647

93

A.84,84B.84,85C.86,84D.84,86

【解答】解：由莖葉圖知，去掉一個最高分93和一個最低分79后，

所剩數(shù)據(jù)84,84,86,84,87的中位數(shù)為84；

眾數(shù)為：84；

故選：A.

9.從1,2,3,4,5中任取三個數(shù)，則這三個數(shù)成遞增的等差數(shù)列的概率為（）

【答案】B

42

【解析】成等差的基本事件有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},（1,3,5}=。=歷=?,故選B

10.已知點尸是邊長為4的正方形內(nèi)任一點，則點尸到四個頂點的距離均大于2的概率是（）

A.—B.1-—C.AD.—

4443

【解答】解：滿足條件的正方形ABCD如下圖所示：

其中正方形的面積S正方形=4X4=16；

滿足到正方形的頂點A、B、C、。的距離均不小于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示

則S陰影=16-4n,

故該正方形內(nèi)的點到正方形的頂點A、B、C、。的距離均不小于1的概率是「=,陰翱—=

S正方形

16-4兀一兀.

16丁

故選：B.

11.若直線"+川=1與圓好+；/=1有兩個公共點，則點P（q,b）與圓/+卜2=1的位置

關(guān)系是（）

A.在圓上B.在圓外C.在圓內(nèi)D.以上都有可能

【答案】B

【解析】

【分析】

直線"+圾=1與圓V+y2=i有兩個公共點，可得</,即為/<+/,

+b-

由此可得點與圓的位置關(guān)系。

【詳解】

解：因為直線女+力=1與圓f+y2=l有兩個公共點,

所以有-7=,

y]a2+b2j<

因為點P與圓心的距離為，容+萬，圓的半徑為1,

所以點P在圓外，故選B。

12.已知函數(shù)/(x)=2cos2x—Gsin2x,在口48。中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,

內(nèi)角A滿足/(4)=-1，若a=#，則口4?。的面積的最大值為()

A.36B.半C.乎D.2^/3

【答案】B

【解析】

/(x)=2cos2x—6sin2x=cos2x一道sin2x+1=2cos(2x+?)+1

/[

/(A)=2cosl2A+yj+l=-l=>cosl2A+1j=-l,A為三角形內(nèi)角，則A=]

a=A/6>a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2—bc>2bc-bc=bc>當(dāng)且僅當(dāng)人=。時取等號

qG3百

QABC=-/?csinA<—x6x

22

填空題(每題5分，共20分)

13.一組樣本數(shù)據(jù)x,4,5,6,y的平均數(shù)為5,標(biāo)準(zhǔn)差為4,則/+丫2=⑵.

【解答】解：平均數(shù)為工義(x+4+5+6+y)=5,即x+y=10,

5

方差為(x-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(y-5)2]=16,所以(%-5)2+

5

(y-5)2=78,BPx2+/-10(x+y)=28,

所以7+)2=28+10(x+y)=28+10X10=128.

故答案為：128.

14.已知某種產(chǎn)品產(chǎn)量x(噸)與所需某種原材料y(噸)具有線性相關(guān)關(guān)系，在生產(chǎn)過程中

收集了6組數(shù)據(jù)，由6組數(shù)據(jù)得到數(shù)據(jù)的中心點為(4.5,3.5),y關(guān)于x的線性回歸方程為

y=芹+0.35,據(jù)此可估計x=7時，y=5.25.

【解答】解：由題意中心點為(4.5,3.5),代入回歸方程為：丫=y+0.35,可得3.5=4$b+0.35,

解得b=07

所以：=0.7x+0.35,x=7時，=0.7X7+0.35=5.25,

故答案為：5.25.

15.從裝有大小相同的2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，下列事件中是互斥事件的

序號為③④.

①至少有1個白球；都是白球.

②至少有1個白球；至少有1個紅球.

③恰有1個白球；恰有2個白球.

④至少有1個白球；都是紅球.

【解答】解：從裝有大小相同的2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，

在①中，至少有1個白球和都是白球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故①錯誤；

在②中，至少有1個白球與至少有1個紅球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故②錯誤.

在③中，恰有1個白球與恰有2個白球不能同時發(fā)生，是互斥事件，故③正確；

在④中，至少有1個白球與都是紅球不能同時發(fā)生，是互斥事件，故④正確.

故選：③④.

16.三棱柱ABC-各頂點都在一個球面上，側(cè)棱與底面垂直，ZACB=120°,

CA=CB=26,AA1=4,則這個球的表面積為.

【答案】64萬

【解析】

試題分析：在&中，CA=CB=/3,NACB=120。，則根據(jù)余弦定理求出

4爐=2x(2府-

2x(2囪ycos120°=36==6,設(shè)A的與的外接圓的圓心分別為

外02,半徑分別為分與，則4=苞=—"f=-^-r=2M,連接04，

2sin120

線段。4的中點o為球心，oq=；陽=2,連接

04,04=+00；=712^4=4,S球=44x16:64乃；

三.解答題（共6小題，計70分）

17.（10分）己知AA5C三內(nèi)角A，B,C的對邊分別為“，入c,點。為8c邊的中點，

?cosB=-（/?+2c）cosA,AD=1.

（1）求A；

（2）求AABC面積的最大值.

【答案】（1）4=年（2）百

【解析】

（1）由正弦定理得：sinAcosB=-（sinB+2sinC）cosA

即：sinAcoscosAsinB=sin（A+B）=sinC=-2sinCeosA

VCG（O,^,）sinCw0/.cosA=——

2

VAG（0,7T）

3

:.AD=^（AB+AC）

（2）QO為BC邊的中點

4AD*2=（AS+AC）2=AB2+2AB-AC+AC2,又AD=1

/.4=c2+2/?ccos——+〃2=b2-be2-hc>2bc-bc,即力c<4

3

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號

.-.SMec=|z?csinA<|x4x^^^（當(dāng)且僅當(dāng)Z?=c時取等號）

...AABC面積的最大值為百

18.（12分）廬江縣統(tǒng)計局統(tǒng)計了該縣2019年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計資料如

表:

年收入（萬元）244666778K）

年飲食支出y（萬元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3

（1）由散點圖可知y與x是線性相關(guān)的，求線性回歸方程；

（2）若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測其年飲食支出.

n__

￡（xx「1x）（y「y）

工=1

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:b=n_.

E（x「x）2

i=l

E（xy--nxy）

i=l1￡1*__1010in

=yx-

n，a'b（參考數(shù)據(jù)：￡￡x：=406?）

v2-2i=li=i

i=l

【解答】解：（1）Y=——（2+4+4+6+6+6+7+7+8+10）—6,

10

v=-^（1.0+1.5+1.6+2.0+1.8+1.9+1.8+2.0+2.1+2.3）=1.8.

丫10

10—

-Exiyi-10xy

h=izl____________115-10X6X1.8-7

10c5----

D-222

XX1-io7406-10X646

i=l

一，一一7—102

a=y-bx=l.8-TTX6=77^

46-115

關(guān)于x的線性回歸方程為1°2”

,丫46115

（2）在為102?中，取x=9，得

.y46115

x9?102?2.26.

y46115

...若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測其年飲食支出為2.26萬元.

19.（12分）已知S,,為數(shù)列⑸｝的前n項和，且向量￡=（-4,n）,b=（S?,n+3）垂直.

（1）求數(shù)列｛aj的通項公式；

（2）數(shù)列~二^|前n項和為T.，求證：T?<~.

1（2??+1）44

〃1

【答案】（1）a=-+-（2）見解析

）"t22

【解析】(1)因為向量G=(-4,n),b=(S,,n+3)垂直，：+〃(打+3)=0：鼠=""；''

?汗之那

??2：4=S〃-SN=^^=Lq=5]=(>：.an=^+--

一.L工

1111Z11、

證明：⑵國而=而，時jr-j

311_3

——------------：.’”<一

4打+1打+24

20.(12分)疫情期間，在家中適當(dāng)鍛煉，合理休息，能夠提高自身免疫力，抵抗病毒.某小

區(qū)為了調(diào)查“宅”家居民的運動情況，從該小區(qū)隨機抽取了100位居民，記錄了他們某天

的鍛煉時間，其頻率分布直方圖如下：

(1)求a的值；

(2)估計這100位居民鍛煉時間的平均值7(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)

(3)求中位數(shù)的估計值.

【解答】解：(1)由題意，得(0.005+0.012+4+0.035+().015+0.003)X10=1.

解得a=0.03.

(2)估計這100位居民鍛煉時間的平均值為:

x=5X0.005X10+15X0.012X10+25X0.03X10+35X0.035X10+45X0.015X10+55X0.003

X10=30.2(分鐘).

(3)設(shè)中位數(shù)的估計值為x+30.

由(0.005+0.012+0.03)X10+0.035x=0.035(10-%)+(0.015+0.003)X10,

得x&,所以中位數(shù)的估計值為

7

21.(12分)如圖，四棱錐P—ABC。中，底面ABC。是邊長為2的正方形，平面243人平

^ABCD,AP=PB,APLPB,E為CP的中點.

Bc

（1）求證："〃平面BDE；

（2）求點。到平面AC尸的距離.

【答案】（1）證明見解析：（2）班.

3

【解析】

【分析】

（1）連接AC交于0,則0為AC的中點，利用中位線的性質(zhì)可得出0E〃巳4,然后利

用直線與平面平行的判定定理可證明出APH平面BDE；

（2）取A3的中點M，連接尸加，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面ABCZ）,由

此可計算出三棱錐P-AC。的體積，并計算出AAPC的面積，并設(shè)點。到平面AC尸的距離

為〃，由VP_ACD=1SMCP?人可計算出點。到平面AC尸的距離的值.

【詳解】

（1）如圖，連接AC交于0,連接。￡,則。為AC的中點.

又E為CP上的中點，所以0E〃/%.

又平面BDE，OEu平面8OE，所以AP〃平面8DE；

（2）如圖，取A8的中點M，連接PM，

因為AP=PB,所以PM=AP=PB=叵,

又平面P4B_L平面ABC。，平面平面ABCD=AB，HWu平面243,

所以PM_L平面ABC。.

同理可得8CJ"平面P4B，?.?A。、8/?(=平面八48，..3。14尸，BCA.BP.

又因為A