必修一函數(shù)單調(diào)性及值域求法

函數(shù)的單調(diào)性●基礎(chǔ)知識一、單調(diào)性定義1．單調(diào)性定義：給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，若對于 ∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，則f(x)為區(qū)間D上的增函數(shù)．對于

∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)

f(x2)，則f(x)為區(qū)間D上的減函數(shù)．說明：①單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間密不可分，單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間．②單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間的“整體”性質(zhì)．因此，定義中的x1、x2具有任意性．任意的x1、x2任意的x1、x2>2．證明單調(diào)性的步驟：(1)利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：①

取值

；②

作差

；③

變形

．4

定號

．5

下結(jié)論

．任取x1、x2∈D，且x1<

x2作差f(x1)－f(x2)，并適當(dāng)變形同增異減因式分解、通分、分子分母有理化等與0比較大小二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論1．若f(x)，g(x)均為增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)

函數(shù)．2．若f(x)為增(減)函數(shù)，則－f(x)為

函數(shù)．3．若f(x)為增(減)函數(shù)，k>0,kf(x)為增（減）函數(shù).4.若f(x)為增(減)函數(shù)，為減（增）函數(shù)5．y＝f[g(x)]是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為

；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為

．同增異減仍為增(減)減(增)增函數(shù)減函數(shù)三、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用有：(1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量值的大小．(2)求某些函數(shù)的值域或最值．(3)解證不等式．(4)作函數(shù)圖象．

函數(shù)單調(diào)性的證明(1)f(x)＝，x∈(－1，＋∞)；(2)f(x)＝－x2＋2x＋1，x∈[1，＋∞)；(3)f(x)＝，x∈[－1，＋∞)．命題意圖：先判斷單調(diào)性，再用單調(diào)性的定義證明．(1)采用通分進行變形，(2)采用因式分解進行變形，(3)采用分子有理化的方式進行變形．解析：(1)函數(shù)f(x)＝在(－1，＋∞)上為減函數(shù)．利用定義證明如下：任取x1、x2∈(－1，＋∞)，且－1<x1<x2，則有x1－x2<0，(2)函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋1在[1，＋∞)上為減函數(shù)，證明如下：任取x1、x2∈[1，＋∞)，且x2>x1≥1，∵x2>x1≥1，∴x2－x1>0，x2＋x1>2，x2＋x1－2>0，∴f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)>0，即有f(x1)>f(x2)．故函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋1在[1，＋∞)上為減函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)＝在[－1，＋∞)上為增函數(shù)，證明如下：任取x1、x2∈[－1，＋∞)且－1≤x1<x2，則有x1－x2<0，總結(jié)評述：對于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義(基本步驟為取點、作差或作商、變形、判斷)求解．可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之.1、圖像法：

利用圖像判斷函數(shù)單調(diào)性是常用的方法，

且該法能直接準(zhǔn)確地求出單調(diào)區(qū)間.P38例1單調(diào)區(qū)間的求法2、常見函數(shù)（1）一次函數(shù)，y=kx+b,

k>0,y是R上的增函數(shù)；k<0,y是R上的減函數(shù).

(3)反比例函數(shù)

(2)二次函數(shù)，y=ax2+bx+c,a>0當(dāng)x<時，y是減函數(shù)；當(dāng)x>時，y是增函數(shù).當(dāng)k>0時，y在當(dāng)k<0時，y在1．單調(diào)性首先要求函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間．2．單調(diào)性的定義中x1，x2要有任意性，且不能用兩個特殊值的大小判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．例如：對函數(shù)f(x)＝－，由于f(－1)＞f(2)，所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)．這是錯誤的說法．其實函數(shù)f(x)＝－在(－∞，0)上是單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增．3．單調(diào)區(qū)間不能用并集表示．因為兩個區(qū)間的并集，并不一定是一個區(qū)間．4．重要性質(zhì)：(1)注意函數(shù)y＝f(x)與y＝kf(x)的單調(diào)性與k(k≠0)的相關(guān)性．(2)注意函數(shù)y＝f(x)與y＝的單調(diào)性間的關(guān)系．●回歸教材1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上是增函數(shù)的是(

)A．y＝－x＋1

B．y＝C．y＝x2－4x＋5 D．y＝2．(教材P1601題改編)函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則 (

)A．k＞ B．k＜C．k＞－ D．k＜－3．(教材P602題改編)反比例函數(shù)y＝.若k＞0，則函數(shù)的遞減區(qū)間是________．若k＜0，則函數(shù)的遞增區(qū)間是________．4．(華東師大附中)若函數(shù)y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是________．●基礎(chǔ)知識一、函數(shù)的值域的定義在函數(shù)y＝f(x)中，與自變量x的值對應(yīng)的y值叫做，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的

．函數(shù)值

值域函數(shù)的值域與最值求法函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，如果存在

∈A

滿足條件對于任意x∈A，都有f(x)≤

；對于任意x∈A，都有f(x)≥

；f(x0)為y=f(x)的最大值f(x0)為y=f(x)的最小值結(jié)論二、基本初等函數(shù)的值域1．y＝kx＋b(k≠0)的值域為

.2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是當(dāng)a>0時，值域為；當(dāng)a<0時，值域為.3．y＝(k≠0且x≠0)的值域是．R{y|y∈R且y≠0}三、確定函數(shù)的值域的原則1．當(dāng)函數(shù)y＝f(x)用表格給出時，函數(shù)的值域是指表格中實數(shù)y的集合．2．當(dāng)函數(shù)y＝f(x)的圖象給出時，函數(shù)的值域是指3．當(dāng)函數(shù)y＝f(x)用解析式給出時，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則唯一確定．4．當(dāng)函數(shù)由實際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義確定．圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合．四、求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點，它沒有固定的方法和模式．常用的方法有：1．直接法（圖像法、列表法）——從自變量x的范圍出發(fā)，推出y＝f(x)的取值范圍，如y＝x-1(x≥3)的值域為

．例P39，例32．配方法——配方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，形如F(x)＝ax2＋bx＋c的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法，如y＝x2-2x的值域為

．[2，＋∞)(-1，＋∞)3.單調(diào)性法——通過判斷函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，若為單調(diào)函數(shù)，則區(qū)間端點的函數(shù)取值即為函數(shù)的最值，且最值的范圍即函數(shù)的值域.例P39，例4P40，例54．反函數(shù)法——利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域．形如y＝(a≠0)的函數(shù)的值域，均可使用反函數(shù)法.此外，這種類型的函數(shù)值域也可使用“分離常數(shù)法”求解，5．判別式法——把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F(x，y)＝0，通過方程有實根，判別式△≥0，從而求得原函數(shù)的值域．形如y＝

(a1，a2不同時為零)的函數(shù)的值域常用此法求解．如y＝的值域為

．[－2,1]6．換元法——運用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．形如y＝ax＋b±(a、b、c、d均為常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)常用此法求解，如y＝x＋的值域為

．[1，＋∞)【例1】求下列函數(shù)的值域．(1)y＝4－