初等變換與初等矩陣課件

解方程組：→把第1個方程分別乘以（-2）、（-1）加到第2個、3個方程把第1行分別乘以（-2）、（-1）加到第2、3行→把未知量系數(shù)和常數(shù)按原順序?qū)懗上卤硐ń夥匠探M增廣矩陣把第3個方程分別乘以（-4）、1加到第2個、1個方程把第3行分別乘以（-4）、1加到第2、1行→把第2個方程與第3個方程互換位置把第2行與第3行互換位置→把第3個方程分別乘以（-1）、1加到第1、2個方程分別把把第3行乘以（-1）、1加到第1、2行→分別把第1個方程和第3個方程乘以和分別用和乘第1行和第3行→線性方程組的系數(shù)可以排成下面的一個表：而利用（1）的系數(shù)和常數(shù)項又可以排成下表：（3）（4）

稱為線性方程組（1）的系數(shù)矩陣.稱為線性方程組（1）的增廣矩陣.

一個線性方程組的增廣矩陣顯然完全代表這個方程組.

下面三種變換稱為矩陣的初等行變換（1）對調(diào)兩行（對調(diào)i,j兩行，記作（2）以不為零的數(shù)k乘某一行的所有元素

(第i行乘數(shù)k,記作一、矩陣的初等變換和初等矩陣1、矩陣的初等變換（3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行對

應(yīng)的元素上去

（第i行的k倍加到第j行上去,記作定義

●矩陣的初等變換相應(yīng)地有三種列初等變換（1）交換矩陣的兩列，記作（2）用非0常數(shù)乘以矩陣的某一列的元素，記作（3）某一列的元素乘以數(shù)k后加到另一列上去，記作上述六種變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換(換法矩陣)1.將E的第i行與第j行交換得到的初等矩陣2、初等矩陣

單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣，它們是：(倍法矩陣)2以數(shù)乘單位矩陣的第i

行得初等矩陣注倍法矩陣的特點是：；其它元素與單位矩陣相同.(消法矩陣)

3、把E的第j行的k倍加到第i行上，得到初等矩陣注消法矩陣的特點是：；

其它元素與單位矩陣相同.如n=4

用初等矩陣右乘給定矩陣，其結(jié)果就是對給定矩陣施行相應(yīng)的初等列變換。

用初等矩陣左乘給定的矩陣，其結(jié)果就是對給定的矩陣施以相應(yīng)的初等行變換。3、初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系的右邊乘以相應(yīng)的l

階初等矩陣.定理

設(shè)A

是一個n

l

矩陣,對A

施行一次初等行變換,相當(dāng)于在A

的左邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣;對A

施行一次初等列變換,相當(dāng)于在A

例如如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成容易驗證等價關(guān)系滿足：（1）反身性：對任意矩陣

A，（2）對稱性：（3）傳遞性：二、矩陣的等價和矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形1、等價矩陣定義

矩陣B，則稱矩陣A與矩陣B等價，記作矩陣A的行階梯形的矩陣稱為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形。（主對角線上1的個數(shù)可以是0）第r行即2、矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形形如例2

設(shè)問：矩陣A和B是否等價？解

先求A、B的標(biāo)準(zhǔn)形對B施行一系列初等變換得定理

對任意矩陣存在一系列m階初等和n階初等矩陣使得于是有:在定理中令:推論

對任意矩陣存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使得例化為等價標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣。解可以看成是由3階單位矩陣經(jīng)4次初等變換,而得.而這4次初等變換所對應(yīng)的初等方陣為:由初等方陣的性質(zhì)得教學(xué)目的

理解初等矩陣的概念，理解矩陣的等價和標(biāo)準(zhǔn)形，掌握初等變換和初等矩陣的關(guān)系，熟練掌握矩陣等價的充要