安徽省蚌埠市育人中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

安徽省蚌埠市育人中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1____4

L已知非負(fù)實(shí)數(shù)號(hào)『滿足則x+i的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

參考答案：

C

2.（10）已知三棱柱忿。-44。的6個(gè)頂點(diǎn)都在球0^1球面上若=3,AC=4,

ABLAC.A^^n,則球吮半徑為

3^13

A.~2~B.2而C.~2

D.入伍

參考答案：

C

3.如圖，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4U）,若函數(shù)（a>0,且<i，l）及尸=1?8.工

（b>0,且。，1）的圖象與線段Qi分別交于點(diǎn)”，N,且“，N恰好是線段口的兩

個(gè)三等分點(diǎn)，則"，。滿足（）.

A.a<b<lB.b<a<lc.4>cr>l

D.a>i>l

參考答案:

A

由圖象可以知道，函數(shù)均為減函數(shù)，

所以0<6<1,

...點(diǎn)Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4I),...直線。<為，=工，

...〉=??經(jīng)過點(diǎn)M,則它的反函數(shù)y=l?8?x也經(jīng)過點(diǎn)”,

又(i>0,且的圖象經(jīng)過點(diǎn)N,

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：九

故選A.

4.在正方體檢co-45GA中，瓦尸分別為棱4hCG的中點(diǎn),則在空間中與三條

直線AA-班?CD都相交的直線()

A.不存在B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有無數(shù)條

參考答案：

答案：D

解析：本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題，考查學(xué)生的空間想象能力。

在EF上任意取一點(diǎn)M,直線4A與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1

個(gè)交點(diǎn)N,當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N,而直

線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)的.如右圖：

2222

孑+^^l(a>b>0)今-9=i

5.已知橢圓「b”，雙曲線a'b”和拋物線y'2px(p>0)的離心率

分別為日、e2>e3,則()

A.eie2>e：<B.eie2=e3C.eie2<e：iD.ee'e：］

參考答案:

C

【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【分析】根據(jù)題意先分別表示出e”已和e3,然后求得ee的取值范圍，檢驗(yàn)選項(xiàng)中的結(jié)

論即可.

【解答】解：依題意可知e】二a,e2=a,e3=l

"-b2"+b2J］上J.

.\eie2=a?a=Va4<1,A,B,D不正確.

故選C.

6.下列命題中，真命題是()

3X€R.sin2(-^-)+cos2(-^-)=4-

A.QJJJ

B.?x￡(0,n),sinx>cosx

3€2

XoXo+Xo

cR,

D.?xG(0,+8),e">x+l

參考答案：

D

【考點(diǎn)】21：特稱命題；2H：全稱命題.

【專題】2A：探究型；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5L：簡(jiǎn)易邏輯.

【分析】根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)概念，可判斷A,B,利用配方法，可判斷C；構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo),

可判斷D.

【解答】解：S1n2(y)+cos2(j)=l故人是假命題；

7T

當(dāng)*￡(0,4］時(shí)，sinxWcosx,故B是假命題；

VxER,x'+x>~

4,故C是假命題；

令f(x)=e"-x-1,貝ijf'(x)=ex-1,

當(dāng)XW(0,+8)時(shí)，廣(X)>0,則f(x)為增函數(shù),

故f(x)>f(0)=0,

即?xe(0,+8),es>x+l,

故選：D

參考答案：

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像.B9

【答案解析】D解析：定義域2'2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?/p>

/(-x)=-2x+tanx=-(2x-tanx)=-/(*),所以函數(shù)為定義域內(nèi)的奇函數(shù)，故排除

B,C,

n/升)2/rn

x=_y-=—tan->A0

令3,則13133，排除A,故選C.

【思路點(diǎn)撥】先利用函數(shù)的奇偶性排除B,C,再利用函數(shù)的值排除A即可.

8.關(guān)于兩條不同的直線m、n與兩個(gè)不同的平面ot、P，有下列四個(gè)命題：

①若m||a,n|IB且a|IB，則m||n；

②若m||a,n邛且al。，則m||n；

③若m?a,n?P且alp,則mln；

④若mla,nip且aip,則mln.

其中假命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

參考答案：

C

略

9.已知雙曲線回回的離心率為兇，則兇的漸近線方程為（）

回回回國(guó)

（A）」（B）U（C）二（D）二

參考答案：

C

略

io.已知網(wǎng)、耳是兩條不同的直線，a、6是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

（）

A,若加工且掰_Lx,則aJ?尸B.若加4%〃〃尸，且州〃力，則

all

c.若mLa,nil且州_L”，則a，,D.若mijnll且用力”，

則a〃尸

參考答案：

A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

II.圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底面

半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是cm.

參考答案:

4

【考點(diǎn)】L@：組合幾何體的面積、體積問題.

【分析】設(shè)出球的半徑，三個(gè)球的體積和水的體積之和，等于柱體的體積，求解即可.

4322

【解答】解：設(shè)球半徑為,r,則由3V,*+V水斗枝可得3X3M兀r+九rx8=兀rx6r,

解得r=4.

故答案為：4

12.對(duì)于下列命題：①在△ABC中，若皿乂一加四,則△A8C為等腰三角形；②已知

〃，b,c是ZkABC的三邊長(zhǎng)，若a?2,67,.?司則△ABC有兩組解；③設(shè)

°川201丁2<，—.2丁012月，一.儂20丁12<,則④將函數(shù)A?叫MV圖象向左

平移'個(gè)單位，得到函數(shù)"‘'"一+3圖象其中正確命題的序號(hào)是.

參考答案:

③④

4+8/

①2獨(dú)?仙加，貝以4■龍，或24+2B?，，."?8,或2,所以△/比為等腰三角

形或直角三角形，故此命題錯(cuò)；②由正弦定理知藐百,

bsinA25.2012石,2<W

:.仙B?丁顯然無解，故此命題錯(cuò)；③°?皿丁?仙丁?亍,

&?舊華CT皿華-ng一忑

332,33,.\a>b>c；

④…限?加卜傘示分2M3局,正確

13.等比數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和為S.,已知S”2sz,3s3成等差數(shù)列，則瓜｝的公比

為.

參考答案：

~3

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì).

【分析】先根據(jù)等差中項(xiàng)可知4s*SI+3S3,利用等比數(shù)列的求和公式用a和q分別表示出

Si,S?和S”代入即可求得q.

【解答】解：?.?等比數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S“，己知答2s2,3s3成等差數(shù)列,

二3n=aiq"',又4sz=Si+3s3,即4(ai+a1q)=ai+3(ai+aiq+aq),

_1

解q.

i

故答案為石

14.已知函數(shù)75)=*+3/(2"，令”/(2),

則二項(xiàng)式5,展開式中常數(shù)項(xiàng)是第項(xiàng).

參考答案：

5

y=-!-s?r+—OBxfxe[o?—])

15.函數(shù)221I2”的單調(diào)遞增區(qū)間是.

參考答案：

149

------+-------+------

16.已知正數(shù)x,y,z滿足x+2y+3z=l,則工+一.p二v+"+'的最小值

為.

參考答案：

18

17.某幾何體的三視圖如下圖所示，其左視圖為正三角形，則該幾何體的表面積為

（俯視圖）p

參考答案:

24+2市

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.（本小題滿分10分）某中學(xué)有4位學(xué)生申請(qǐng)A,B,C三所大學(xué)的自主招生.若每位學(xué)

生只能申請(qǐng)其中一所大學(xué)，目申請(qǐng)其中任何一所大學(xué)是等可能的.

（1）求恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)的概率；

（2）求被申請(qǐng)大學(xué)的個(gè)數(shù)X的概率分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）.

參考答案：

（1）記"恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)”為事件A,

/、C,:X2:248

P(A)=-=E=^-

答：恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)的概率

（2）X的所有可能值為1,2,3.。

i::

_CXA3+3XAs_42_14

P（X=2）~~81—27,

,、CrXAs3364

P(X=3)

X的概率分布列為：。

1Q2-3。

1144

PC-P—PT

27279

所以X的數(shù)學(xué)期望E（X）=1X2+2X總+3X9會(huì)

19.（本小題滿分12分）

如圖所示，已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓E上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC

過橢圓中心0,且“一"■?,\BC\=2\AC\.

（1）求橢圓E的方程；

⑵在橢圓E上是否存點(diǎn)°,使得|@『一3『=2?

若存在，有幾個(gè)（不必求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)），若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)過橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)尸，作Oo'T'的兩條切線,

切點(diǎn)分別為M、N,若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為相、〃，證明：3一為定

值.

參考答案:

解：(1)依題意知：橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)1=2,則A(2,0),

W+Z=l

設(shè)橢圓E的方程為4y------------------1分

由橢圓的對(duì)稱性知|OC1=|O8|又：AC8c=0,\BC\=2\AC\

J.ACLBC,|OC|=|AC|.?.△40C為等腰直角三角形，

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(一1,-1),----------------------3分

將C的坐標(biāo)(1,1)代入橢圓方程得一不

-1

???所求的橢圓E的方程為44-...................................................4分

(2)解法一：設(shè)在橢圓E上存在點(diǎn)Q,使得1。『一1胡|’-2,設(shè)夜。,兒)，則

可

+UTo-2y*=6/+2yo-2=1

即點(diǎn)。在直線如+了-2=0上，.........................................6分

...點(diǎn)。即直線>十/-2二°與橢圓后的交點(diǎn)，

22

…1A(-.0)(-,0)

?.?直線”+尸-2二°過點(diǎn)3,而點(diǎn)橢圓3在橢圓E的內(nèi)部，

滿足條件的點(diǎn)Q存在，且有兩個(gè).--------------------------------------8分

解法二：設(shè)在橢圓E上存在點(diǎn)Q,使得1磔「一10<|'-2,設(shè)。.鼻)，則

一|以『=&+葉式外+lfTA-2yf'=6耳+2凡-2=1

即3。**2=0------①--------------------------------------6分

又?.?點(diǎn)。在橢圓E上，.?M+3,T=O.---------------②

由①式得比=23。代入②式并整理得：7?—9%+2=0,__③

???方程③的根判別式A=81-56=25>0,

二.方程③有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即滿足條件的點(diǎn)Q存在，且有兩個(gè)..........8分

(3)解法一：設(shè)點(diǎn)用。，乂)，山m、N是。。的切點(diǎn)知，±MPfON±AP,

：.O.M、P、N四點(diǎn)在同一圓上，-----------------------------9分

且圓的直徑為OP,則圓心為6'重乙

e功“，一少=更長(zhǎng)

其方程為224-------------------10分

即/t/一￥-皿=0―④

即點(diǎn)M、N滿足方程④，又點(diǎn)、M、N都在。。上,

J，4

：.M.N坐標(biāo)也滿足方程。0J7-3-------------⑤

4

tr+jUr=-

⑤-④得直線MN的方程為r"3,--------------------------11分

4

H=----

,令x=0得3鼻，

,又點(diǎn)尸在橢圓E上,

V.即白T二定值.12分

y

J=—―=-^,

解法二：設(shè)點(diǎn)史無勇入”（巧，影A則JJ5--------9分

，-力=*<L巧4M+jyr=-,

直線PM的方程為辦化簡(jiǎn)得3...............④

4

x^x?jyr=-,

同理可得直線PN的方程為3--------------⑤----------------10分

4

v?+Ayj=-

（

4

把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入④、⑤得I3

4

??jyr=-

??.直線MN的方程為r3,...........................................................11分

44

m=-n=

令，=0?得3。，令x=0得3鼻，

,_4

??."一3|?|''一3|1,又點(diǎn)P在橢圓E上，

f—f+X—

/.3iw3?,即3m7/4=定值.-------------------------------12分

x=14-/cDsa

《

20.在直角坐標(biāo)系xO），中，直線/的參數(shù)方程為1產(chǎn)=2+，64c為參數(shù)，O4acir）,

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

/一6℃066-叩—。+21=0,已知直線/與曲線c交于不同的兩點(diǎn)A,B.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

⑵設(shè)P(L2),求I網(wǎng)24■網(wǎng)的取值范圍.

參考答案：

(1)直線M的普通方程為**a-yma-g1a?2cosa=0曲線C的直角坐標(biāo)方程為

/+爐一8-盯+21-。(2)電％]

【分析】

(1)消去參數(shù)可得直線?的普通方程，利用工二夕立國(guó)色丁二,而e可以化成直角坐標(biāo)方程；

(2)聯(lián)立直線和曲線方程，結(jié)合參數(shù)的幾何意義可求..

不=1Hcosax?a=sin<zi/casasm4Z

<<

【詳解】解：(1)因?yàn)榭?2Hrina,所以卜Bsa=2a>saH&iaBsa,兩式相

減可得

直線’的普通方程為da-jrawa-riaa+2cma=0

因?yàn)楣ざ?COS0y=psnO

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程L+V-&-町+21?9.

(2)將直線J的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,

整理得關(guān)于工的方程：^-4(?a?cosaX14=0.

因?yàn)橹本€I與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以上述方程有兩個(gè)不同的解，設(shè)為小右,

則4W=4(sina+aBa),±=4

并且A二】6(G?a?<x?a)2-16-32CnaoKa>0,

一0<a<—

注意到0?a<“，解得2.

因?yàn)橹本€1的參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，所以根據(jù)參數(shù)上的幾何意義，

有『二4?=16(?inaicosa)2-8

-16sm2ai-8,

因?yàn)椤?<為所以而加w((Ul,16弱加+配偎24]

因此I尸川',口『的取值范圍是他24]

【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,

利用參數(shù)的幾何意義求解范圍等，側(cè)重考查了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

/(x)=sin0x+sm~|

21.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)'I2AxeR.

=工

(1)若0一萬，求/(X)的最大值及相應(yīng)的X的取值集合；

_71

(2)若“一京是/(X)的一個(gè)零點(diǎn),且0<0<10,求0的值和/(X)的最小正周期.

參考答案：

=刖8+而卜.g卜曲。X-C8S

(D/(X)：：：2分?

當(dāng)CB-1時(shí)，/(x)=m:一8$?=應(yīng)

222

而所以/(x)的.大值為后，?一??:4分~

HtB1---=-+2*Ji,A：€Z,BPx=—+4in,i€Z,-

2422

相應(yīng)的X的集合為｛x|xN=+4Kt"eZ)...........................

?七分3

/昨4絲一4=。絲上=E

(2)依題意\8；184；，即84"eZ,8

分

整理，得0=既+2,...................9分

又0<。<10,所以04肽+2<10,4C,,...................10分

/(x)=V2sm[2x--1.、

而上WZ,所以k=0,0=2,所以I4人/。。的最小正周期為71.

??,12