《解析幾何》教案

授課時(shí)間一第13次課

任課教師

授課章節(jié)§3.4空間直線的方程

及職稱

教學(xué)方法

課堂講授課時(shí)安排3

與手段

使用教材和《解析幾何》呂林根等編，高等教育出版社；《解析幾何》吳光磊等編，人民教育出版社;

主要參考書《解析幾何》丘維聲編，北京大學(xué)出版社

教學(xué)目的與要求：

1.掌握空間直線的點(diǎn)向式方程、兩點(diǎn)式方程的求法。

2.會(huì)空間直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程的互化

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：空間直線的各種方程的求法

難點(diǎn)：空間直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程的互化

教學(xué)內(nèi)容:

§3.4空間直線的方程

直線的點(diǎn)向式方程(由直線上一點(diǎn)與直線的方向所決定的直線方程)

1.直線/的方向矢量V：uwO且丫〃/

注1°.顯然，任何一個(gè)與直線/平行的非零矢量都為I的方向矢量

2°.一條直線I由它過的一點(diǎn)Mo和它的一個(gè)方向矢量完全唯一確定。

3°.直線/的方向矢量u的坐標(biāo)x,y,z或與它成比例的一組數(shù)/,w(x:y:z=/:m：〃)稱為

直線/的方向數(shù)，也稱為/的方向。由于/的方向數(shù)與/的方向矢量的坐標(biāo)x,y,z成比例，故我們將同

x:y:z表以u(píng)={x,y,z}為方向矢量的直線的方向數(shù)。

2.點(diǎn)向式方程

設(shè)/為一空間直線，n為/的一個(gè)方向矢量。M0e/o取標(biāo)架{。咫4?9}.設(shè)M

為/上的任意點(diǎn)，OM=r。

77H.4.1

MeloM0M與V共線oM()M=tv<=>r=tvor=r0-^-tv

故由空間曲線的向量式參數(shù)方程的定義知，?=(3.4-1)為/的矢量式參數(shù)方程。其中，為參

數(shù)，它可取任意實(shí)數(shù)。注意行為以/所過點(diǎn)M。為終點(diǎn)的徑矢。u為/的方向矢量。

設(shè)Mo(Xo，yo，Zo),M(x,y,z),則為={%,%,Z。}/={x,y,z},再設(shè)v={X,y,Z},則由

元=玉)+X，

(3.4-1)得：*y=yQ+Yt(3.4-2).稱其為/的坐標(biāo)式參數(shù)方程。

z=z0+Z/

由(3.4-2)消去參數(shù)f,則得二1=匕滋=三二%(3.4-3),

XYZ

稱其為I的標(biāo)準(zhǔn)方程或?qū)ΨQ式方程。

(3.4-1)(3.4-3)都稱為/的點(diǎn)向式方程。

注4°.若已知直線/過Mo(Xo，yo，Zo)，方向矢量為u={X,Y,Z},可立即寫出/的方程(3.4-2)

和(3.4-3)。

注5°.在直角坐標(biāo)系下，直線/的方向矢量常取單位矢量/={cosa,cos",cos/},此時(shí)/的參

數(shù)方程為：r=r()+tv°(3.4-7)

x=x0Eicosa

或<y=%+，cos￡(3.4-8)

z=z+tcosy

/的對(duì)稱方程為：三2=2二比==1為(3.4-9)

cosacos0cosy

此時(shí)參數(shù)/的幾何意義為：卜|=臥°|=小°卜卜—r°|=pWM()|，即為Mo和M的距離。

注6°.在直角坐標(biāo)系下，設(shè)丫={乂,匕2}為直線/的方向矢量，u的方向角月,/稱為/的方向

角。v的方向余弦cose,cos/?,cosy稱為/的方向余弦。

由于一丫也是/的方向矢量，而一n的方向角為〃一2,萬—萬,〃一/,故4—。,萬一尸,萬一了也可

看作/的方向角；

cos(i-a)=-cosa,cos(?-/3)=-cos/3,cos(1-/)=-cos/也可看作/的方向余弦。

設(shè)/,〃￡〃為直線/的方向數(shù)，則{l,m,n}或{-/,-租,-n}為/的方向矢量，由定義{l,m,n\或

的方向余弦即為/的方向余弦。故/的方向余弦與方向數(shù)之間有以下關(guān)系：

Imn

cosa=/=_:,cospn=[---,cosv=,---(Thl.7.6)

J/2+加2+.2yjl2+m2+n2\Jl2+nr+n2

,、一l八一m—n

或cosa=',—,cosp=,cos/=—

\j!'+m2+n2\ll2+m2+n2yjl2+m2+n2

直線的兩點(diǎn)式方程

顯然直線/完全由它通過的兩點(diǎn)唯一確定。

設(shè)直線/過兩點(diǎn)M(X,,加4),M(/，%，Z2)，求/的方程。

令=取》=知|“2=5一匕為/的方向矢量.以/所過點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為不

故由直線的點(diǎn)向式方程：r=%+川°得/的矢量式參數(shù)方程：廠=4+『(右一耳)(3.4-4)

X=X]+t(x2—Xj)

/的坐標(biāo)式參數(shù)方程為：＜＞=%+?(%-%)(3.4-5)

Z=Z]+t(z2-Zj)

/的對(duì)稱式方程為：33=七"=二1_(3.4-6)

%2一%%一＞1z?-Z|

方程(3.4-4)-(3.4-6)都叫做/的兩點(diǎn)式方程。

三.直線的一般方程

1.概念：任意一條直線可看成某兩個(gè)相交平面的交線。

設(shè)?仆1'1\(3.4-11)(在仿射坐標(biāo)系下的方程)

乃2:AyX+B2y+C2z+D2-0

由于可與萬2相交，故這里4：4：G。4：用：。2

D\-

M(x,y,z)e/=M(x,y,z)e巧I%=x，y，z滿足方程組4Ax+￡y+Gz+0

A^x+B^y+C2z+2=0

.?./可用方程組(3.4-11)表示，稱其為/的一般方程。

四.直線的射影式方程

設(shè)/:上也=上二b=三二生(3.4-3)(在仿射坐標(biāo)系下的方程)

XYZ

則x,y,z不全為零({x,y,z}為/的方向矢量，它非零)不妨設(shè)ZHO.將(3.4-3)改寫為

X—XQZ—ZQXX

x=x0+—z--z0

Xz

?

為Z—z°YY

y=y+-z--z

.YZ00

XXYYx=az-bc

令〃=2，C=Xo-7Zo,/?=,,[=%-—zo(3.4-12)

zy=bz+d

(顯然這是一種特殊的一般方程)

注7°.由以上討論可見(3.4-3)表示的直線/可看作(3.4-12)中兩個(gè)方程表示的兩個(gè)平面的交

線。這兩個(gè)平面通過該交線且分別平行與oy軸和。X軸，在直角坐標(biāo)系下，平面X=6ZZ+C與XOZ平

面y=0垂直（1?0+04+。?0=0）,平面y=6z+d與yoz平面x=0垂直。故稱（3412）為/的

射影式方程。由以上討論可知如何將/的標(biāo)準(zhǔn)方程化為射影式方程。

五.化直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

直線的一般方程（3.4-11）也總可化成標(biāo)準(zhǔn)方程（3.4-4）的形式，下面證明之。

A%+Ay+C]Z+￡)]=0

設(shè)/的一般方程為：《(3.4-11)則A避：C|NA?:與：G

^x-^-B2y+C2z+D2=0

C,c,AA44=0得4C,=B，G,即旦=邑

因此,B\不全為零，否則,由q

cp|c

B222B2B

B?c22G

GA

即CL=&.故A_="=CL,即A：與：G=4:員：仁，與

由=0得G4=C2\,

JAaA%B、c,"‘‘”22

4：4：c尸4：為：矛盾。

A4A4

不失一般性，設(shè)^0(為羽）的系數(shù)行列式，那么由（3.4-11）可分別消去y,x

4B?4B2

得到/的射影式方程）

Ax+4y=-C]z-D

將（3.4-11）寫成，]

AyX+B)y=—C?z—D-f

由克萊姆法則解出x,y得:

、A

BD}D]

BD&

22D2

以上為/的射影式方程,令—x0'=%>Zo=O則得/的標(biāo)準(zhǔn)方程:

A片A瓦

A,B、AB?

x-Xoj-y_z-z

00(**)

4GGAA4

CA

B2C224員

注8°.由/的標(biāo)準(zhǔn)方程（**）可知，若/的一般方程為（3.4-11）,則

與GGAA4

層c2,c244打

即為/的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)，即為/的一組方向數(shù)。

注9°.以上的證明給出了化直線的一般方程為射影式方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。哪兩個(gè)變量的系數(shù)

行列式不為零，分別消去這兩個(gè)變量即得/的射影式方程，再由射影式方程得標(biāo)準(zhǔn)方程。也可如下求

A5,

/的標(biāo)準(zhǔn)方程：不妨設(shè),?力0,在方程（*）中取z為任意指定的值2=20（特別地可取Z=0）。

4B,

解（*）得彳=40，丁=%,那么（玉）,%/（））為方程組（3.4-11）的一個(gè)解。點(diǎn)加0（%,%,20）在/上。

再由注8°得一組方向數(shù)。于是由直線的點(diǎn)向式方程（3.4-3）得/的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

尤-X。-y—y。一z-z()

4c,ric,「44

B?C2||C24A,B2

例『.化直線/的一般方程\2x+y）+z-5=O（二1）為射影式方程和標(biāo)準(zhǔn)方程。

[2x+y-3z-l=0（2）

111221

解法一./的方向數(shù)為=T:8:0=l:(—2):0

1-3-3221

y,z的系數(shù)行列式；；=-4。°（取元為自由未知量）

y+z=5

??.取x=0得，解得y=4,z=l

y-3z=1

故（0,4,1）為/上一點(diǎn)。

故/的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2=]二&=三二1

1-20

,xy-4/口1小

由一=-----得1=—y+2o

1-22

,xz-l加,

由一=----得Z=1。

10

y=—2x+4

,為/的射影式方程。

z=1

解法二.

(2)+3x(1)：(消去z)8x+4y-16=0,y=-2x+4,

(1)-(2)：(消去y)4z-4=0,z=l

.-=-2x+4為/的射影式方程。

z=l

或

y+z-5-2x

y,z的系數(shù)行列式-4^0,

1-3y—3z-l—2x

5-2x1

l-2x-3—15+6x—1+2x

-------------=-2x+4

y11

1-3

15-2x

1l-2xl-2x-5+2x,

z=--------=-----------=1

11-4

1-3

y——2x+4

V為/的射影式方程（.z=l既是/對(duì)yoz面又是對(duì)xoz面的射影標(biāo)面，故/只有

Z=1

一個(gè)射影式方程）

由y=-2x+4得三^=；

7—1Y

由z=l得Z—1=0,可寫為——=—

01

故土=Izf=三1為/的標(biāo)準(zhǔn)方程。

1-20

4.在直角坐標(biāo)系下化一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

Ax+4y+C[Z+￡>[=0

設(shè)直線/在直角坐標(biāo)系下的一般方程為：1「二八

Ax+^y+Gz+A=0

則3=0的一個(gè)法矢量為4={A，4，G}

%2:+B2y+C2z+D2=0的一個(gè)法矢量為〃2={A,,B2，Q）

vIG兀iQ7V2,:.I_L4且/_Ln2,

又。（〃[XT?2）J-勺且（〃|X%）J-%，，（"1X〃2）〃/

故8X%）可取為/的方向矢量，再求得/的一個(gè)點(diǎn)（%，為，z°），即可得/的標(biāo)準(zhǔn)方程。

例在直角坐標(biāo)系下，求直線/:4x—2'y+3z—4-0的標(biāo)準(zhǔn)方程.

x-2y-z=0

ijk

解：々x%={1,-2,3}X{1,—2,—1}=1-23={8,4,0}=4{2,l,0},Z//n,xrt2.

1-2-1

取丫=；（〃仆%）={2,1,0}為/的方向矢量

13

=TwO

1-1

x+3z-4

.?.取y=0得J-，解得X=1,Z=1

x—z=0

那么（1,0,1）e/

故/的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—=^=—

210

復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題

復(fù)習(xí)思考題：習(xí)題3.4：1(2)(4),2,3(2)(4),4(1)(3),5

作業(yè)題：習(xí)題3.4：1(1)(3)(5),3(1)(3),4(2)

下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)

1.直線與平面的相關(guān)位置的分類及其判定

2.直線與平面的夾角公式

3.點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo)

實(shí)施情況及教學(xué)效果分析

學(xué)院審核意見

學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字

年月日

授課時(shí)間第14次課

§3.5直線與平面的相關(guān)位置任課教師

授課章節(jié)許新齋教授

§3.6空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置及職稱

教學(xué)方法

課堂講授課時(shí)安排2

與手段

使用教材和《解析幾何》呂林根等編，高等教育出版社：《解析幾何》吳光磊等編，人民教育出版社;

主要參考書《解析幾何》丘維聲編，北京大學(xué)出版社

教學(xué)目的與要求：

3.掌握直線與平面的相關(guān)位置的分類及其判定

4.掌握直線與平面的夾角公式

5.掌握點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo)

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：直線與平面的相關(guān)位置的分類及其判定

難點(diǎn)：直線與平面的夾角公式

教學(xué)內(nèi)容：

§3.5直線與平面的相關(guān)位置

（直線與平面相關(guān)位置的）種類

1.相交：有唯一交點(diǎn)

2.平行：無交點(diǎn)

3.直線在平面上：有無窮多個(gè)交點(diǎn)。

二.判定條件

,_x-xy-y_z-z]

設(shè),x0—y0—Z0}（*）

;r:Ax+By+Cz+D-0）

由定義，討論/與力的相互位置關(guān)系即討論/與"的交點(diǎn)的存在性和唯一性，亦即討論方程組

（*）的解的存在性和唯一性，以下討論之。

x-x0+Xt

由（1）得,y=%+H（3）

z-z0+Zt

將（3）代入（2）得：（Ax+5y+Cz），=-（Axo+5x）+Czo+。）（4）

驗(yàn)證易見

為為（4）的解Ox=Xo+Xfo，y=yo+”o，z=Zo+Zfo為（*）的解（I）

（設(shè)曲為（4）的一個(gè)解，將小代入（3）得x=Xo+Xfo，y=%+Ho，z=Zo+Zfo，此為方

程組（*）的一個(gè)解。反之，設(shè)x=Xo+XMy=%+"o，z=Zo+Zfo為（*）的一個(gè)解，將其代入

（2）即得（4+助+。2）/=—（＞1￥0+珍0+。20+￡））,即辦為（4）的解）

另外，設(shè)（x,y,z）是（*）的解，則（x,y,z）是（1）的解。因此三包”=專為2%，

則x=飛+Xt°,y=y0+Yt0,z=z0+Zt0,即（*）的解具有x=x0+XtQ,y=yQ+Yt0,z=zQ+Zt。的

形式（II）

1./與%相交o/與萬有唯一交點(diǎn)=（*）有唯一解O（4）有唯一解0Ax+5y+CZH0。

2./〃4O/與乃無交點(diǎn)（*）無解。（4）

c^AX+BY+CZ=O,Ax{）+Byo+Cz（）+D^O

3./=〃0/與萬有無數(shù)交點(diǎn)。（*）有無數(shù)解O（4）有無數(shù)解

AX+BY+CZ=0,AXQ+Byo+Cz。+。=0

綜上，我們已證明了如下定理：

Th3.5.L（P124）直線（1）與平面（2）的相互位置……。

三.（以下證明一下）在直角坐標(biāo)系下判定直線與平面相互位置關(guān)系的條件的幾何意義。

注.u={X,F,Z}為/的一個(gè)方向矢量，而在直角坐標(biāo)系下，萬的一個(gè)法矢量為

〃={A,B,C},故在直角坐標(biāo)系下，

/與乃相交=AX+BF+CZ。0v與八不垂直。

",3.5.1

17）3.5.1

/與乃平行=AX+BY+CZ^O,Axi）+By?+Czo+D^O

=u_L〃,且/上的點(diǎn)（x°,y。，z。）不在平面燈上。

77:3.5.1

/在"上OAX+BY+CZ=0,Ar0+By0+Cz0+D=Q

ou_L〃且，/上的點(diǎn)（Xo，yo，Zo）在萬上。

四.直線與平面的交角

我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系下討論/與萬的交角的求法。用。表示/與萬的交角，當(dāng)/〃〃或/u萬時(shí)，

■rr

（P0；當(dāng)/_L〃時(shí)，否則，0定義為/和/在）上的射影所構(gòu)成的銳角（見圖）

?？捎?的方向矢量n={X,Y,Z}和乃的法矢量〃={48,。}來決定。

設(shè)N（〃,y）=e（o?e〈萬）

則夕=]22

I0--2,-<20<7T

71

sin(--(9)cos3,0<0<—

因此，sine=<2

TT

sin(^-y)-cos。,一<6<71

2

|n.v|_\AX+BY+CZ\

HMA/A2+B2+C27X2+K2+Z2

注：/〃%或/u〃osine=0oAX+8y+CZ=0

口…〃-C

XYZ

§3.6空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置

--相關(guān)位置

PeI

《與/的相關(guān)位置1°

.PCl

46/。兄的坐標(biāo)滿足/的方程

二.點(diǎn)到直線的距離

定義3.6.1(P124)

注：(P124,倒II行一一倒9行)

在空間直角坐標(biāo)系下,給頂空間一點(diǎn)M0(x0，加z0)和直線I:三二=三'=與幺，史/，

M](X],y,Z])為/上一點(diǎn)，如圖.

1VxMM)|=S=同4〃附0={/一%1，%-乂*0-4}

222

%—yz?！?Z0-ZiX0-Xix0—%%—X

++

yxMMyzZXXY

d=

Vx2+r2+z2

復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題

復(fù)習(xí)思考題：習(xí)題3.5：1(2)(4),4,6(2)2

作業(yè)題：習(xí)題3.5：1(1)(3),2,3,5,6；習(xí)題3.6：2

下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)

1.空間兩直線的相關(guān)位置的分類及其判定

2.空間兩直線的夾角公式

3.兩異面直線間的距離與公垂線的方程

實(shí)施情況及教學(xué)效果分析

學(xué)院審核意見

學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字

年月日

授課時(shí)間第15次課

任課教師

授課章節(jié)§空間兩直線的相關(guān)位置許新齋教授

及職稱

教學(xué)方法

課堂講授課時(shí)安排3

與手段

使用教材和《解析幾何》呂林根等編，高等教育出版社；《解析幾何》吳光磊等編，人民教育出版社;

主要參考書《解析幾何》丘維聲編，北京大學(xué)出版社

教學(xué)目的與要求：

4.掌握空間兩直線的相關(guān)位置的分類及其判定

5.掌握空間兩直線的夾角公式

6.掌握兩異面直線間的距離公式與公垂線的方程

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：空間兩直線的相關(guān)位置的分類及其判定

難點(diǎn)：兩異面直線間的距離公式與公垂線的方程

教學(xué)內(nèi)容：

§3.7空間兩直線的相關(guān)位置

分類

'相交

共面J平行

空間兩直線的相關(guān)位置壬人

重合

異面

二.判定條件

設(shè),0=口=二①

X升Z,

/3=口=三②

■X2Y2Z2

則陷（Xi，y,Z1）6,K={X1，K，ZJ為4的一個(gè)方向矢量,

M,（x2,^2,z2）e/2,V2={X2,Y2,Z2}為4的一個(gè)方向矢量

x,-x,z-Z|

顯然TA1.5.5/1_y2

（.1）4與異面oM%，匕，為不共面0-=X]YZ\*0

X?

（1）的逆否命題

（2）4與4共面u>_=o

（3）/]與4相交O4與，2共面且匕與不平行

由（2）和Thl.5.4

O=0,且X]：X：Z尸*2：匕：22

（4）////20H與匕共線且力與M例2不共線

77:1.5.4

OX]:工：Z]=乂2：EZ。（工2-5）：（%-、）:⑵一4）

（5）4與4重合0匕,嶺,加|加2三者共線

77:1.5.4

oX]:Y:Z|=X?:X：Z2=(%2-%)：(%一X)：?2-Z1)

綜上得：

Th3.7.1.設(shè)直線4與4的方程分別為①，②，令

々一玉Z2-Zl

..=(加1%,匕,畛)=X|Z],

Yx

Z

x2Y22

則

(i)4與4異面o.i。o

(2)4與共面o二=0

(3)4與4相交。產(chǎn)0,且％：x：z產(chǎn)X2：x：Z2

(4)/]〃(=X]:X:Z]=X2::Z?L(巧—:：(?2-ZI)

(5)/]與[重合=X]:Y]:Z}-X2:Y2:Z2=(x2-xl):(y2-yi):(z2-zJ

例求通過點(diǎn)口1,1,1）且與兩直線4：步=2=3Z2：—=^-=—都相交的直線程。

123-214

解：設(shè)所求直線/的一個(gè)方向矢量為u={x,y,z},又因?yàn)镻（I,i,i）e/,那么

,x-1y-1z-1

I:--=---=--

XYZ

/與4相交，且%（0,0,0）6，片=[1,2,3}為4的一個(gè)方向矢量，⑷={1,1,1}

111

.?臼=I23=0且X：y：Z，l:2:3

XYZ

即X-2Y+Z=0且X:Y:Zwl:2:3

/與4相交，且〃2(1，2,3)€目，彩={2,1,4}為4的一個(gè)方向矢量，M2P={0,-l,-2}

0-1-2

214=0且X:Y:ZH2:1:4

XYZ

即X+2V—Z=0且X:Y:Zw2:l:4

X-2Y+Z=QX:Y:ZH1:2:3

這樣,/與4,4都相交

X+2Y-Z=0X:Y:ZH2:1:4

-21111-2

解之得：X:Y:Z==0:2:4=0:1:2

2-1-1112

,,x—1y—1z—1

故==---為M所求。

012

解法二.設(shè)所求直線為/,由題意，P(l,l,l)e/,《(0,0,0)e4，v,={1,2,3)///,

^(1,2,3)G4-%={2,1,4}/〃2

設(shè)4與/決定的平面為勺，則/〃％(巧〃4/u%),片。={1,1,1}〃3(片,Pc多)

且X與6P不平行，又耳(0,0,0)e4u可，故

xyz

71123=0,即x-2y+z=0

111

3

設(shè)4與/決定的平面為萬2，則為〃萬2(嶺〃4，4U%)，11P={0,-1,—2}〃巧(￡,PG%)

且均與不平行，又P(l,l,l)€l2U兀2,故

x-\y-1z-1

萬2：214=0,即x+2y-z-2=0

0-1-2

1:(-2):1*1:2:(-1),.與萬2相交

.??/為相交平面多與犯的交線

x-2y+z=0

因此/:<,為所求(此方程為/的一般方程)。

x+2y-z-2=0

二.空間兩直線的夾角

設(shè)匕，彩分別為空間直線4,4的方向向量4,4的夾角4/）'/（匕,為）或萬一/（匕，為）

注意：這里4,4為空間中任意兩條直線，它們不一定相交。

Th3.7.2.在直角坐標(biāo)系下，空間兩直線①，②夾角的余弦為

“，、，X|X,+YK+ZZ，

'Jxj+H+zjg+f+z??

證：cosN?,4）=土COSN（W,%）=土Apr=±7,*產(chǎn)+分+在2.^---------:。

22

|叫嶺|《X：+甲+Z；《X；+Y2+Z2

推論：兩直線①，②垂直oXiXz+Y^+ZZ?=0

三.兩異面直線間的距離與公垂線方程

1.兩直線間的距離：兩直線上點(diǎn)的最短距離

注.顯然，兩相交或重合的直線之間的距離為零。兩平行直線間的距離等于其中一條直線上任

一點(diǎn)到另一直線的距離（點(diǎn)到直線的距離在下一節(jié)討論）。

2.兩異面直線的公垂線與公垂線的長：與兩條異面直線都垂直相交的直線；兩個(gè)交點(diǎn)間的線段

長叫公垂線的長。

注1°：異面直線的公垂線存在唯一。

Th3.7.3.兩異面直線間的距離等于它們的公垂線的長。

證：設(shè)異面直線4與4的公垂線4與4和4的交點(diǎn)分別為設(shè)修為4上任一點(diǎn)，7=1,2。

匕，為分別為4，4的方向矢量，匕x彩為"的一個(gè)方向矢量

4_L/o，二。為在上的射影，

則QQ=射影…必％，因此

|。回=|射影物/附2|=何此卜。54”彩,陷此）目加幽2|

故為4與4上的點(diǎn)之間的最短距離，從而”=1。?」。

3.兩異面直線間的距離公式（在直角坐標(biāo)系下討論）

Th3.7.4.設(shè)異面直線

口=口==

X|匕Z,

二=口==

2

x2Y2Z2

則直線①與②之間的距離］=四二^^，其中匕={X“工,Z』為4的一個(gè)方向向量，

Mi=(xi,yi,zi)eli,i=l,2.

證：設(shè)44與它們的公垂線/。分別交于9，。2,則/”4間的距離

。=|。聞=|射影舊/%|（由Th3.7.3的證明知）

而（43）?必也=|（4丫2）|射影忖必％（據(jù)（172））故

|(MAf,v,v)|

(v,xV)?MM1212

d=2}2

山嶺|

%-XZ2-Zlll

Z2-Zljdl

XZ\

X?丫2Z2

4

ijk

4

XI升4

x2Y2Z2

4.異面直線的公垂線方程

設(shè)有異面直線①，②，令可為由4與它們的公垂線決定的平面，則匕，匕X%為勺的方位矢量,

且G可。令匹為由4與它們的公垂線/（）決定的平面，則V2,V（X彩為乃2的方位矢量，且用2G萬2。

顯然，“u/n町。

4與4異面，.?.！與"2相交（否則，陽與萬2重合，這樣4與4共面，這同4與4異面矛盾）

于是，為可與町的交線，故

X-XyZ-Z]

X1Z\=0

X（41點(diǎn)位式方程）

%

X2Z2

x-xz-z

2y-%2（42點(diǎn)位式方程）

X1Z\二0

X。4

、

k

44

其中{x,y,z}=/x"=Z\）,即為/（）的方向矢量。

Z?Z?x2K

ZJH

2

例2已知兩直線4：：=S=—,/2：F=F=彳，試證明4與，2為異面直線，并求

乙與4間的距離與它們的公垂線。

解：⑴陷（叢,片={為的一個(gè)方向矢量,

0,0,-1）1,-1,0}4M2（i,i,i）4-2={1,1,0}為4的

一個(gè)方向矢量，M,M2={1,1,2）.

12

10=4*0,4與4為異面直線。

10

-10011；}={0,0,2}

(2)匕X為={

1o,o1,1

7|(M,M2,P?P2)|4

2

2

（3）公垂線q的方程為:

xyz+1

1-10=0

002x+y=0x=

即《，亦即4（它為z軸）

x-1y-1z-1x—y=0

10二0

002

補(bǔ)例（習(xí)題3,7,9（1））

復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題

復(fù)習(xí)思考題：習(xí)題3.7：2(2),3(3),5(1),9(2)

作業(yè)題：習(xí)題3.7：2(1),3(1)(2),4,5(2),6,7,8,9(2),10

下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)

1.有軸平面束的概念及其方程

2.平行平面束的概念及其方程

實(shí)施情況及教學(xué)效果分析

學(xué)院審核意見

學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字

年月日

授課時(shí)間第16次課

任課教師

授課章節(jié)§3.8平面束許新齋教授

及職稱

教學(xué)方法

課堂講授課時(shí)安排2

與手段

使用教材和《解析幾何》呂林根等編，高等教育出版社；《解析幾何》吳光磊等編，人民教育出版社;

主要參考書《解析幾何》丘維聲編，北京大學(xué)出版社

教學(xué)目的與要求：

3.掌握有軸平面束的概念及其方程

4.掌握平行平面束的概念及其方程

5.會(huì)靈活運(yùn)用平面束的觀點(diǎn)建立平面的方程

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：有軸平面束和平行平面束的方程

難點(diǎn)：運(yùn)用平面束的觀點(diǎn)建立平面的方程

教學(xué)內(nèi)容：

§3.8平面束

—.有軸平面束

1.定義空間中通過同一直線的所有平面的集合叫做有軸平面束。那條直線叫做平面束的軸。

2.有軸平面束的方程

TH3.8.1.若兩個(gè)平面

7ix:Atx+Bly+Ciz+Dt=0①

:A2X+B2y+C2z+D2=Q②

交于一直線/,則以/為軸的有軸平面束的方程是：

/(A%+>'+CjZ+)+m{A1x+B2y+C2z+D2)=0(3.8-1)

其中，/,加是不全為零的任意實(shí)數(shù)。

注.Th381的意思是(3.8-1)表示以/為軸的有軸平面束的中的全體平面。

證：(1)證明對(duì)任意一對(duì)取定的不全為零的實(shí)數(shù)/=/(),根=%，

/0(y4lx+B,y+C,z+D,)+mQ(A2x+B2y+C2z+D2)=Q(*)

表示以/為軸的有軸平面束的一個(gè)平面。將(*)改寫為：

z

(/()A+)X+(/(，^+m?B2)y+(/<￡+4C2)+(42+肛>3)=。(