《解析幾何》教案

授課時間一第13次課

任課教師

授課章節(jié)§3.4空間直線的方程

及職稱

教學方法

課堂講授課時安排3

與手段

使用教材和《解析幾何》呂林根等編，高等教育出版社；《解析幾何》吳光磊等編，人民教育出版社;

主要參考書《解析幾何》丘維聲編，北京大學出版社

教學目的與要求：

1.掌握空間直線的點向式方程、兩點式方程的求法。

2.會空間直線的標準方程、一般方程的互化

教學重點、難點：

重點：空間直線的各種方程的求法

難點：空間直線的標準方程、一般方程的互化

教學內(nèi)容:

§3.4空間直線的方程

直線的點向式方程(由直線上一點與直線的方向所決定的直線方程)

1.直線/的方向矢量V：uwO且丫〃/

注1°.顯然，任何一個與直線/平行的非零矢量都為I的方向矢量

2°.一條直線I由它過的一點Mo和它的一個方向矢量完全唯一確定。

3°.直線/的方向矢量u的坐標x,y,z或與它成比例的一組數(shù)/,w(x:y:z=/:m：〃)稱為

直線/的方向數(shù)，也稱為/的方向。由于/的方向數(shù)與/的方向矢量的坐標x,y,z成比例，故我們將同

x:y:z表以u={x,y,z}為方向矢量的直線的方向數(shù)。

2.點向式方程

設/為一空間直線，n為/的一個方向矢量。M0e/o取標架{。咫4?9}.設M

為/上的任意點，OM=r。

77H.4.1

MeloM0M與V共線oM()M=tv<=>r=tvor=r0-^-tv

故由空間曲線的向量式參數(shù)方程的定義知，?=(3.4-1)為/的矢量式參數(shù)方程。其中，為參

數(shù)，它可取任意實數(shù)。注意行為以/所過點M。為終點的徑矢。u為/的方向矢量。

設Mo(Xo，yo，Zo),M(x,y,z),則為={%,%,Z。}/={x,y,z},再設v={X,y,Z},則由

元=玉)+X，

(3.4-1)得：*y=yQ+Yt(3.4-2).稱其為/的坐標式參數(shù)方程。

z=z0+Z/

由(3.4-2)消去參數(shù)f,則得二1=匕滋=三二%(3.4-3),

XYZ

稱其為I的標準方程或?qū)ΨQ式方程。

(3.4-1)(3.4-3)都稱為/的點向式方程。

注4°.若已知直線/過Mo(Xo，yo，Zo)，方向矢量為u={X,Y,Z},可立即寫出/的方程(3.4-2)

和(3.4-3)。

注5°.在直角坐標系下，直線/的方向矢量常取單位矢量/={cosa,cos",cos/},此時/的參

數(shù)方程為：r=r()+tv°(3.4-7)

x=x0Eicosa

或<y=%+，cos￡(3.4-8)

z=z+tcosy

/的對稱方程為：三2=2二比==1為(3.4-9)

cosacos0cosy

此時參數(shù)/的幾何意義為：卜|=臥°|=小°卜卜—r°|=pWM()|，即為Mo和M的距離。

注6°.在直角坐標系下，設丫={乂,匕2}為直線/的方向矢量，u的方向角月,/稱為/的方向

角。v的方向余弦cose,cos/?,cosy稱為/的方向余弦。

由于一丫也是/的方向矢量，而一n的方向角為〃一2,萬—萬,〃一/,故4—。,萬一尸,萬一了也可

看作/的方向角；

cos(i-a)=-cosa,cos(?-/3)=-cos/3,cos(1-/)=-cos/也可看作/的方向余弦。

設/,〃￡〃為直線/的方向數(shù)，則{l,m,n}或{-/,-租,-n}為/的方向矢量，由定義{l,m,n\或

的方向余弦即為/的方向余弦。故/的方向余弦與方向數(shù)之間有以下關系：

Imn

cosa=/=_:,cospn=[---,cosv=,---(Thl.7.6)

J/2+加2+.2yjl2+m2+n2\Jl2+nr+n2

,、一l八一m—n

或cosa=',—,cosp=,cos/=—

\j!'+m2+n2\ll2+m2+n2yjl2+m2+n2

直線的兩點式方程

顯然直線/完全由它通過的兩點唯一確定。

設直線/過兩點M(X,,加4),M(/，%，Z2)，求/的方程。

令=取》=知|“2=5一匕為/的方向矢量.以/所過點為終點的向量為不

故由直線的點向式方程：r=%+川°得/的矢量式參數(shù)方程：廠=4+『(右一耳)(3.4-4)

X=X]+t(x2—Xj)

/的坐標式參數(shù)方程為：＜＞=%+?(%-%)(3.4-5)

Z=Z]+t(z2-Zj)

/的對稱式方程為：33=七"=二1_(3.4-6)

%2一%%一＞1z?-Z|

方程(3.4-4)-(3.4-6)都叫做/的兩點式方程。

三.直線的一般方程

1.概念：任意一條直線可看成某兩個相交平面的交線。

設?仆1'1\(3.4-11)(在仿射坐標系下的方程)

乃2:AyX+B2y+C2z+D2-0

由于可與萬2相交，故這里4：4：G。4：用：。2

D\-

M(x,y,z)e/=M(x,y,z)e巧I%=x，y，z滿足方程組4Ax+￡y+Gz+0

A^x+B^y+C2z+2=0

.?./可用方程組(3.4-11)表示，稱其為/的一般方程。

四.直線的射影式方程

設/:上也=上二b=三二生(3.4-3)(在仿射坐標系下的方程)

XYZ

則x,y,z不全為零({x,y,z}為/的方向矢量，它非零)不妨設ZHO.將(3.4-3)改寫為

X—XQZ—ZQXX

x=x0+—z--z0

Xz

?

為Z—z°YY

y=y+-z--z

.YZ00

XXYYx=az-bc

令〃=2，C=Xo-7Zo,/?=,,[=%-—zo(3.4-12)

zy=bz+d

(顯然這是一種特殊的一般方程)

注7°.由以上討論可見(3.4-3)表示的直線/可看作(3.4-12)中兩個方程表示的兩個平面的交

線。這兩個平面通過該交線且分別平行與oy軸和。X軸，在直角坐標系下，平面X=6ZZ+C與XOZ平

面y=0垂直（1?0+04+。?0=0）,平面y=6z+d與yoz平面x=0垂直。故稱（3412）為/的

射影式方程。由以上討論可知如何將/的標準方程化為射影式方程。

五.化直線的一般方程為標準方程的方法

直線的一般方程（3.4-11）也總可化成標準方程（3.4-4）的形式，下面證明之。

A%+Ay+C]Z+￡)]=0

設/的一般方程為：《(3.4-11)則A避：C|NA?:與：G

^x-^-B2y+C2z+D2=0

C,c,AA44=0得4C,=B，G,即旦=邑

因此,B\不全為零，否則,由q

cp|c

B222B2B

B?c22G

GA

即CL=&.故A_="=CL,即A：與：G=4:員：仁，與

由=0得G4=C2\,

JAaA%B、c,"‘‘”22

4：4：c尸4：為：矛盾。

A4A4

不失一般性，設^0(為羽）的系數(shù)行列式，那么由（3.4-11）可分別消去y,x

4B?4B2

得到/的射影式方程）

Ax+4y=-C]z-D

將（3.4-11）寫成，]

AyX+B)y=—C?z—D-f

由克萊姆法則解出x,y得:

、A

BD}D]

BD&

22D2

以上為/的射影式方程,令—x0'=%>Zo=O則得/的標準方程:

A片A瓦

A,B、AB?

x-Xoj-y_z-z

00(**)

4GGAA4

CA

B2C224員

注8°.由/的標準方程（**）可知，若/的一般方程為（3.4-11）,則

與GGAA4

層c2,c244打

即為/的一個方向向量的坐標，即為/的一組方向數(shù)。

注9°.以上的證明給出了化直線的一般方程為射影式方程和標準方程的方法。哪兩個變量的系數(shù)

行列式不為零，分別消去這兩個變量即得/的射影式方程，再由射影式方程得標準方程。也可如下求

A5,

/的標準方程：不妨設,?力0,在方程（*）中取z為任意指定的值2=20（特別地可取Z=0）。

4B,

解（*）得彳=40，丁=%,那么（玉）,%/（））為方程組（3.4-11）的一個解。點加0（%,%,20）在/上。

再由注8°得一組方向數(shù)。于是由直線的點向式方程（3.4-3）得/的標準方程為：

尤-X。-y—y。一z-z()

4c,ric,「44

B?C2||C24A,B2

例『.化直線/的一般方程\2x+y）+z-5=O（二1）為射影式方程和標準方程。

[2x+y-3z-l=0（2）

111221

解法一./的方向數(shù)為=T:8:0=l:(—2):0

1-3-3221

y,z的系數(shù)行列式；；=-4?！悖ㄈ≡獮樽杂晌粗浚?/p>

y+z=5

??.取x=0得，解得y=4,z=l

y-3z=1

故（0,4,1）為/上一點。

故/的標準方程為：2=]二&=三二1

1-20

,xy-4/口1小

由一=-----得1=—y+2o

1-22

,xz-l加,

由一=----得Z=1。

10

y=—2x+4

,為/的射影式方程。

z=1

解法二.

(2)+3x(1)：(消去z)8x+4y-16=0,y=-2x+4,

(1)-(2)：(消去y)4z-4=0,z=l

.-=-2x+4為/的射影式方程。

z=l

或

y+z-5-2x

y,z的系數(shù)行列式-4^0,

1-3y—3z-l—2x

5-2x1

l-2x-3—15+6x—1+2x

-------------=-2x+4

y11

1-3

15-2x

1l-2xl-2x-5+2x,

z=--------=-----------=1

11-4

1-3

y——2x+4

V為/的射影式方程（.z=l既是/對yoz面又是對xoz面的射影標面，故/只有

Z=1

一個射影式方程）

由y=-2x+4得三^=；

7—1Y

由z=l得Z—1=0,可寫為——=—

01

故土=Izf=三1為/的標準方程。

1-20

4.在直角坐標系下化一般方程為標準方程的方法

Ax+4y+C[Z+￡>[=0

設直線/在直角坐標系下的一般方程為：1「二八

Ax+^y+Gz+A=0

則3=0的一個法矢量為4={A，4，G}

%2:+B2y+C2z+D2=0的一個法矢量為〃2={A,,B2，Q）

vIG兀iQ7V2,:.I_L4且/_Ln2,

又。（〃[XT?2）J-勺且（〃|X%）J-%，，（"1X〃2）〃/

故8X%）可取為/的方向矢量，再求得/的一個點（%，為，z°），即可得/的標準方程。

例在直角坐標系下，求直線/:4x—2'y+3z—4-0的標準方程.

x-2y-z=0

ijk

解：々x%={1,-2,3}X{1,—2,—1}=1-23={8,4,0}=4{2,l,0},Z//n,xrt2.

1-2-1

取丫=；（〃仆%）={2,1,0}為/的方向矢量

13

=TwO

1-1

x+3z-4

.?.取y=0得J-，解得X=1,Z=1

x—z=0

那么（1,0,1）e/

故/的標準方程為：—=^=—

210

復習思考題、作業(yè)題

復習思考題：習題3.4：1(2)(4),2,3(2)(4),4(1)(3),5

作業(yè)題：習題3.4：1(1)(3)(5),3(1)(3),4(2)

下次課預習要點

1.直線與平面的相關位置的分類及其判定

2.直線與平面的夾角公式

3.點到直線的距離公式及其推導

實施情況及教學效果分析

學院審核意見

學院負責人簽字

年月日

授課時間第14次課

§3.5直線與平面的相關位置任課教師

授課章節(jié)許新齋教授

§3.6空間直線與點的相關位置及職稱

教學方法

課堂講授課時安排2

與手段

使用教材和《解析幾何》呂林根等編，高等教育出版社：《解析幾何》吳光磊等編，人民教育出版社;

主要參考書《解析幾何》丘維聲編，北京大學出版社

教學目的與要求：

3.掌握直線與平面的相關位置的分類及其判定

4.掌握直線與平面的夾角公式

5.掌握點到直線的距離公式及其推導

教學重點、難點：

重點：直線與平面的相關位置的分類及其判定

難點：直線與平面的夾角公式

教學內(nèi)容：

§3.5直線與平面的相關位置

（直線與平面相關位置的）種類

1.相交：有唯一交點

2.平行：無交點

3.直線在平面上：有無窮多個交點。

二.判定條件

,_x-xy-y_z-z]

設,x0—y0—Z0}（*）

;r:Ax+By+Cz+D-0）

由定義，討論/與力的相互位置關系即討論/與"的交點的存在性和唯一性，亦即討論方程組

（*）的解的存在性和唯一性，以下討論之。

x-x0+Xt

由（1）得,y=%+H（3）

z-z0+Zt

將（3）代入（2）得：（Ax+5y+Cz），=-（Axo+5x）+Czo+。）（4）

驗證易見

為為（4）的解Ox=Xo+Xfo，y=yo+”o，z=Zo+Zfo為（*）的解（I）

（設曲為（4）的一個解，將小代入（3）得x=Xo+Xfo，y=%+Ho，z=Zo+Zfo，此為方

程組（*）的一個解。反之，設x=Xo+XMy=%+"o，z=Zo+Zfo為（*）的一個解，將其代入

（2）即得（4+助+。2）/=—（＞1￥0+珍0+。20+￡））,即辦為（4）的解）

另外，設（x,y,z）是（*）的解，則（x,y,z）是（1）的解。因此三包”=專為2%，

則x=飛+Xt°,y=y0+Yt0,z=z0+Zt0,即（*）的解具有x=x0+XtQ,y=yQ+Yt0,z=zQ+Zt。的

形式（II）

1./與%相交o/與萬有唯一交點=（*）有唯一解O（4）有唯一解0Ax+5y+CZH0。

2./〃4O/與乃無交點（*）無解。（4）

c^AX+BY+CZ=O,Ax{）+Byo+Cz（）+D^O

3./=〃0/與萬有無數(shù)交點。（*）有無數(shù)解O（4）有無數(shù)解

AX+BY+CZ=0,AXQ+Byo+Cz。+。=0

綜上，我們已證明了如下定理：

Th3.5.L（P124）直線（1）與平面（2）的相互位置……。

三.（以下證明一下）在直角坐標系下判定直線與平面相互位置關系的條件的幾何意義。

注.u={X,F,Z}為/的一個方向矢量，而在直角坐標系下，萬的一個法矢量為

〃={A,B,C},故在直角坐標系下，

/與乃相交=AX+BF+CZ。0v與八不垂直。

",3.5.1

17）3.5.1

/與乃平行=AX+BY+CZ^O,Axi）+By?+Czo+D^O

=u_L〃,且/上的點（x°,y。，z。）不在平面燈上。

77:3.5.1

/在"上OAX+BY+CZ=0,Ar0+By0+Cz0+D=Q

ou_L〃且，/上的點（Xo，yo，Zo）在萬上。

四.直線與平面的交角

我們在直角坐標系下討論/與萬的交角的求法。用。表示/與萬的交角，當/〃〃或/u萬時，

■rr

（P0；當/_L〃時，否則，0定義為/和/在）上的射影所構成的銳角（見圖）

?？捎?的方向矢量n={X,Y,Z}和乃的法矢量〃={48,。}來決定。

設N（〃,y）=e（o?e〈萬）

則夕=]22

I0--2,-<20<7T

71

sin(--(9)cos3,0<0<—

因此，sine=<2

TT

sin(^-y)-cos。,一<6<71

2

|n.v|_\AX+BY+CZ\

HMA/A2+B2+C27X2+K2+Z2

注：/〃%或/u〃osine=0oAX+8y+CZ=0

口…〃-C

XYZ

§3.6空間直線與點的相關位置

--相關位置

PeI

《與/的相關位置1°

.PCl

46/。兄的坐標滿足/的方程

二.點到直線的距離

定義3.6.1(P124)

注：(P124,倒II行一一倒9行)

在空間直角坐標系下,給頂空間一點M0(x0，加z0)和直線I:三二=三'=與幺，史/，

M](X],y,Z])為/上一點，如圖.

1VxMM)|=S=同4〃附0={/一%1，%-乂*0-4}

222

%—yz?！?Z0-ZiX0-Xix0—%%—X

++

yxMMyzZXXY

d=

Vx2+r2+z2

復習思考題、作業(yè)題

復習思考題：習題3.5：1(2)(4),4,6(2)2

作業(yè)題：習題3.5：1(1)(3),2,3,5,6；習題3.6：2

下次課預習要點

1.空間兩直線的相關位置的分類及其判定

2.空間兩直線的夾角公式

3.兩異面直線間的距離與公垂線的方程

實施情況及教學效果分析

學院審核意見

學院負責人簽字

年月日

授課時間第15次課

任課教師

授課章節(jié)§空間兩直線的相關位置許新齋教授

及職稱

教學方法

課堂講授課時安排3

與手段

使用教材和《解析幾何》呂林根等編，高等教育出版社；《解析幾何》吳光磊等編，人民教育出版社;

主要參考書《解析幾何》丘維聲編，北京大學出版社

教學目的與要求：

4.掌握空間兩直線的相關位置的分類及其判定

5.掌握空間兩直線的夾角公式

6.掌握兩異面直線間的距離公式與公垂線的方程

教學重點、難點：

重點：空間兩直線的相關位置的分類及其判定

難點：兩異面直線間的距離公式與公垂線的方程

教學內(nèi)容：

§3.7空間兩直線的相關位置

分類

'相交

共面J平行

空間兩直線的相關位置壬人

重合

異面

二.判定條件

設,0=口=二①

X升Z,

/3=口=三②

■X2Y2Z2

則陷（Xi，y,Z1）6,K={X1，K，ZJ為4的一個方向矢量,

M,（x2,^2,z2）e/2,V2={X2,Y2,Z2}為4的一個方向矢量

x,-x,z-Z|

顯然TA1.5.5/1_y2

（.1）4與異面oM%，匕，為不共面0-=X]YZ\*0

X?

（1）的逆否命題

（2）4與4共面u>_=o

（3）/]與4相交O4與，2共面且匕與不平行

由（2）和Thl.5.4

O=0,且X]：X：Z尸*2：匕：22

（4）////20H與匕共線且力與M例2不共線

77:1.5.4

OX]:工：Z]=乂2：EZ。（工2-5）：（%-、）:⑵一4）

（5）4與4重合0匕,嶺,加|加2三者共線

77:1.5.4

oX]:Y:Z|=X?:X：Z2=(%2-%)：(%一X)：?2-Z1)

綜上得：

Th3.7.1.設直線4與4的方程分別為①，②，令

々一玉Z2-Zl

..=(加1%,匕,畛)=X|Z],

Yx

Z

x2Y22

則

(i)4與4異面o.i。o

(2)4與共面o二=0

(3)4與4相交。產(chǎn)0,且％：x：z產(chǎn)X2：x：Z2

(4)/]〃(=X]:X:Z]=X2::Z?L(巧—:：(?2-ZI)

(5)/]與[重合=X]:Y]:Z}-X2:Y2:Z2=(x2-xl):(y2-yi):(z2-zJ

例求通過點口1,1,1）且與兩直線4：步=2=3Z2：—=^-=—都相交的直線程。

123-214

解：設所求直線/的一個方向矢量為u={x,y,z},又因為P（I,i,i）e/,那么

,x-1y-1z-1

I:--=---=--

XYZ

/與4相交，且%（0,0,0）6，片=[1,2,3}為4的一個方向矢量，⑷={1,1,1}

111

.?臼=I23=0且X：y：Z，l:2:3

XYZ

即X-2Y+Z=0且X:Y:Zwl:2:3

/與4相交，且〃2(1，2,3)€目，彩={2,1,4}為4的一個方向矢量，M2P={0,-l,-2}

0-1-2

214=0且X:Y:ZH2:1:4

XYZ

即X+2V—Z=0且X:Y:Zw2:l:4

X-2Y+Z=QX:Y:ZH1:2:3

這樣,/與4,4都相交

X+2Y-Z=0X:Y:ZH2:1:4

-21111-2

解之得：X:Y:Z==0:2:4=0:1:2

2-1-1112

,,x—1y—1z—1

故==---為M所求。

012

解法二.設所求直線為/,由題意，P(l,l,l)e/,《(0,0,0)e4，v,={1,2,3)///,

^(1,2,3)G4-%={2,1,4}/〃2

設4與/決定的平面為勺，則/〃％(巧〃4/u%),片。={1,1,1}〃3(片,Pc多)

且X與6P不平行，又耳(0,0,0)e4u可，故

xyz

71123=0,即x-2y+z=0

111

3

設4與/決定的平面為萬2，則為〃萬2(嶺〃4，4U%)，11P={0,-1,—2}〃巧(￡,PG%)

且均與不平行，又P(l,l,l)€l2U兀2,故

x-\y-1z-1

萬2：214=0,即x+2y-z-2=0

0-1-2

1:(-2):1*1:2:(-1),.與萬2相交

.??/為相交平面多與犯的交線

x-2y+z=0

因此/:<,為所求(此方程為/的一般方程)。

x+2y-z-2=0

二.空間兩直線的夾角

設匕，彩分別為空間直線4,4的方向向量4,4的夾角4/）'/（匕,為）或萬一/（匕，為）

注意：這里4,4為空間中任意兩條直線，它們不一定相交。

Th3.7.2.在直角坐標系下，空間兩直線①，②夾角的余弦為

“，、，X|X,+YK+ZZ，

'Jxj+H+zjg+f+z??

證：cosN?,4）=土COSN（W,%）=土Apr=±7,*產(chǎn)+分+在2.^---------:。

22

|叫嶺|《X：+甲+Z；《X；+Y2+Z2

推論：兩直線①，②垂直oXiXz+Y^+ZZ?=0

三.兩異面直線間的距離與公垂線方程

1.兩直線間的距離：兩直線上點的最短距離

注.顯然，兩相交或重合的直線之間的距離為零。兩平行直線間的距離等于其中一條直線上任

一點到另一直線的距離（點到直線的距離在下一節(jié)討論）。

2.兩異面直線的公垂線與公垂線的長：與兩條異面直線都垂直相交的直線；兩個交點間的線段

長叫公垂線的長。

注1°：異面直線的公垂線存在唯一。

Th3.7.3.兩異面直線間的距離等于它們的公垂線的長。

證：設異面直線4與4的公垂線4與4和4的交點分別為設修為4上任一點，7=1,2。

匕，為分別為4，4的方向矢量，匕x彩為"的一個方向矢量

4_L/o，二。為在上的射影，

則QQ=射影…必％，因此

|?；?|射影物/附2|=何此卜。54”彩,陷此）目加幽2|

故為4與4上的點之間的最短距離，從而”=1。?」。

3.兩異面直線間的距離公式（在直角坐標系下討論）

Th3.7.4.設異面直線

口=口==

X|匕Z,

二=口==

2

x2Y2Z2

則直線①與②之間的距離］=四二^^，其中匕={X“工,Z』為4的一個方向向量，

Mi=(xi,yi,zi)eli,i=l,2.

證：設44與它們的公垂線/。分別交于9，。2,則/”4間的距離

。=|。聞=|射影舊/%|（由Th3.7.3的證明知）

而（43）?必也=|（4丫2）|射影忖必％（據(jù)（172））故

|(MAf,v,v)|

(v,xV)?MM1212

d=2}2

山嶺|

%-XZ2-Zlll

Z2-Zljdl

XZ\

X?丫2Z2

4

ijk

4

XI升4

x2Y2Z2

4.異面直線的公垂線方程

設有異面直線①，②，令可為由4與它們的公垂線決定的平面，則匕，匕X%為勺的方位矢量,

且G可。令匹為由4與它們的公垂線/（）決定的平面，則V2,V（X彩為乃2的方位矢量，且用2G萬2。

顯然，“u/n町。

4與4異面，.?.！與"2相交（否則，陽與萬2重合，這樣4與4共面，這同4與4異面矛盾）

于是，為可與町的交線，故

X-XyZ-Z]

X1Z\=0

X（41點位式方程）

%

X2Z2

x-xz-z

2y-%2（42點位式方程）

X1Z\二0

X。4

、

k

44

其中{x,y,z}=/x"=Z\）,即為/（）的方向矢量。

Z?Z?x2K

ZJH

2

例2已知兩直線4：：=S=—,/2：F=F=彳，試證明4與，2為異面直線，并求

乙與4間的距離與它們的公垂線。

解：⑴陷（叢,片={為的一個方向矢量,

0,0,-1）1,-1,0}4M2（i,i,i）4-2={1,1,0}為4的

一個方向矢量，M,M2={1,1,2）.

12

10=4*0,4與4為異面直線。

10

-10011；}={0,0,2}

(2)匕X為={

1o,o1,1

7|(M,M2,P?P2)|4

2

2

（3）公垂線q的方程為:

xyz+1

1-10=0

002x+y=0x=

即《，亦即4（它為z軸）

x-1y-1z-1x—y=0

10二0

002

補例（習題3,7,9（1））

復習思考題、作業(yè)題

復習思考題：習題3.7：2(2),3(3),5(1),9(2)

作業(yè)題：習題3.7：2(1),3(1)(2),4,5(2),6,7,8,9(2),10

下次課預習要點

1.有軸平面束的概念及其方程

2.平行平面束的概念及其方程

實施情況及教學效果分析

學院審核意見

學院負責人簽字

年月日

授課時間第16次課

任課教師

授課章節(jié)§3.8平面束許新齋教授

及職稱

教學方法

課堂講授課時安排2

與手段

使用教材和《解析幾何》呂林根等編，高等教育出版社；《解析幾何》吳光磊等編，人民教育出版社;

主要參考書《解析幾何》丘維聲編，北京大學出版社

教學目的與要求：

3.掌握有軸平面束的概念及其方程

4.掌握平行平面束的概念及其方程

5.會靈活運用平面束的觀點建立平面的方程

教學重點、難點：

重點：有軸平面束和平行平面束的方程

難點：運用平面束的觀點建立平面的方程

教學內(nèi)容：

§3.8平面束

—.有軸平面束

1.定義空間中通過同一直線的所有平面的集合叫做有軸平面束。那條直線叫做平面束的軸。

2.有軸平面束的方程

TH3.8.1.若兩個平面

7ix:Atx+Bly+Ciz+Dt=0①

:A2X+B2y+C2z+D2=Q②

交于一直線/,則以/為軸的有軸平面束的方程是：

/(A%+>'+CjZ+)+m{A1x+B2y+C2z+D2)=0(3.8-1)

其中，/,加是不全為零的任意實數(shù)。

注.Th381的意思是(3.8-1)表示以/為軸的有軸平面束的中的全體平面。

證：(1)證明對任意一對取定的不全為零的實數(shù)/=/(),根=%，

/0(y4lx+B,y+C,z+D,)+mQ(A2x+B2y+C2z+D2)=Q(*)

表示以/為軸的有軸平面束的一個平面。將(*)改寫為：

z

(/()A+)X+(/(，^+m?B2)y+(/<￡+4C2)+(42+肛>3)=。(